中考数学精创资料-专题特训-三角形

中考数学专题特训——三角形一、单选题1．如图，，添加下列条件，不能使≌的是（）A． B． C． D．2．已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（）A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝253．下列四组图形中，是全等形的一组是（）A． B．C． D．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，75．如图，，，，则（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，则CD的长为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，矩形ABCD，作图痕迹，则下列结果说法错误的是（）A．四边形BHDG是菱形 B．C．若，则 D．DG平分9．如图，数轴上点A所表示的数是（）A． B．﹣+1 C．+1 D．﹣110．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①；②平分；③；④A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于点E，连接AD．则∠CAD的度数为．12．如图，中，，，于点D，若，则．13．已知在中，已知点、、分别为、、的中点，且，则的值为.14．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，.下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是.三、解答题15．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m（AC＝0.5m），求梯子底端B外移的距离（BD的长）．16．如图，、、三点共线，，，.求证：.17．如图[感知]如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA（1）[探究]如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）[拓展]如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE=CF，若AF=2AD，S△ABF=6，则S△BCD的大小为18．如图【感知】如图①在△ABC中，点D为边BA延长线上的点，若=，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E.若DE=5，求BC的长.【探究】如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F，若=.小明尝试探究的值，在图②中.小明过点D作DM∥AC交BE于点M，易证△DFM∽△CFE，则==.从而得到的值为，易证△DBM∽△ABE，则=，从而得到的值为，从而得到的值为.【应用】如图③，在△ABC中，点D是边AB上的点，E为边CA延长线上的点，连接BE，延长CD，交BE于点F.=，=，且△ACD的面积为1，则△BDF的面积为？

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：，，当添加∠CAB=∠DAB时，根据“ASA”可证明△ABC≌△BAD，所以A选项不符合题意；当添加AC=BD时，不能判断△ABC≌△BAD，所以B选项符合题意；当添加∠C=∠D时，根据“AAS”可证明△ABC≌△BAD，所以C选项不符合题意；当添AD=BC时，根据“SAS”可证明△ABC≌△BAD，所以D选项不符合题意.故答案为：B.【分析】由于题干给出了∠1=∠2，AB=BA，根据三角形全等的判定方法SAS可以添加AC=BD，根据三角形全等的判定方法ASA可以添加∠CAB=∠DAB，根据三角形全等的判定方法AAS可以添加∠C=∠D，从而一一判断得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故△ABC是锐角三角形，不是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故△ABC为直角三角形；D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；故答案为：B．【分析】A、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知条件∠A-∠B=∠C可求得∠A=90°，于是可得△ABC是直角三角形；

B、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知可得最大角∠C=75°，于是可得△ABC是锐角三角形；

C、将已知的等式去括号可得b2=a2+c2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；

D、根据已知的线段长度计算可得c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.3．【答案】C【解析】【解答】解：因为A中的两个图形形状相同，但是大小不同，不能够重合，所以A选项不合题意；因为B中的两个图形形状相同，但是大小不同，不能够重合，所以B选项不合题意；因为C中的两个图形形状相同，大小不同，能够重合，所以C选项符合题意；因为D中的两个图形形状不同，不能够重合，所以D选项不合题意.故答案为：C.【分析】能够完全重合的两个图形就是全等形，故全等形的形状及大小必须一样，据此即可一一判断得出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误；B、3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误；C、3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确；D、3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误.故答案为：C.【分析】三角形任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，据此逐一判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵，，，∴故答案为：B【分析】利用全等三角形的性质求出，再计算求解即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点.故答案为：C.【分析】由题意可得点P在∠ABC的角平分线上，且在DE的垂直平分线上，据此解答.7．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB=，∵D是AB的中点，∴CD=AB=5，故答案为：A．

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB=5。8．【答案】C【解析】【解答】解：根据作图痕迹，EG垂直平分BD，∴BO=OD，BH=HD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADB=∠CBD，∠OHD=∠OGB，∴△OHD≌△OGB，∴HD=BG，∴四边形BHDG为平行四边形，∵BH=HD，∴平行四边形BHDG为菱形，A不符合题意；根据作图痕迹，BF平分∠ABD，∴∠ABH=∠HBD，∵BH=HD，∴∠HDB=∠HBD，∴∠ABH=∠HDB=∠HBD，∵四边形ABCD为矩形，∠A=90°，∴∠ABH+∠HDB+∠HBD=90°，∴∠ABH=30°，B不符合题意；在Rt△BDA中，∠ADB=30°，DB=6，∴AB=3，在Rt△BHA中，∠ABH=30°，∴AH=，∵四边形ABCD为矩形，四边形BHDG为菱形，∴CG=AH=，C符合题意；∵四边形ABCD为矩形，四边形BHDG为菱形，∴∠ABD=∠CDB，∠HBD=∠GDB，∴∠ABH=∠CDG=∠GDB=∠HDB=∠HBD，∴DG平分∠CDB，D不符合题意；故答案为：C．

【分析】根据矩形的性质和作图痕迹得出BH=HD，∠ABH=∠HBD，进而解得即可。9．【答案】D【解析】【解答】解：如图，BD＝1-(-1)＝2，CD＝1，OB=1，∴BC＝＝＝，∴BA＝BC＝，∴OA＝BA–OB=-1，∴点A表示的数为-1．故答案为：D【分析】先根据勾股定理求出BC＝，可得BA＝BC＝，从而得出OA＝BA–OB=-1，即得结论.10．【答案】D【解析】【解答】解：∵和是等边三角形，∴，，，∵，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，∴，故①④符合题意，在与中，过B作，，∴，在与中，，∴，∴，∵，，∴平分，故②符合题意，∵，∴，在与中，，∴，∵，，，在线段上截取，∵由②的证明可知，∴是等边三角形，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴∴，∴③符合题意，故答案为：D，

【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。11．【答案】60°【解析】【解答】解：∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BD=DA，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=2∠B=30°，∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-30°=60°，故答案为：60°．【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=DA，再利用三角形外角的性质求出∠ADC=2∠B=30°，最后利用三角形的内角和求出∠CAD=90°-∠ADC=90°-30°=60°即可。12．【答案】【解析】【解答】解：∵，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵，，AD=1，∴AB=2AD=2，CD=AD=1，在直角三角形ABD中∴故答案为：.【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD=2，再利用勾股定理求出BD的长，再根据等腰直角三角形的性质可得CD=AD=1，最后利用线段的和差可得。13．【答案】16【解析】【解答】解：由于、、分别为、、的中点，、、、的面积相等，，；，.故答案为：16.【分析】根据三角形的面积公式可得S△BEC=S△ABC，S△BEF=S△BEC，则S△BEF=S△ABC，据此计算.14．【答案】①②④⑤【解析】【解答】解：如图，连接BD，

∵正方形ABCD，

∴AP与BD互相垂直平分，

∴PB=PD，

∴①符合题意；

如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，

又∵AB=BC，∠BAK＝∠BCF＝90°，

∴△BAK≌△BCF（SAS），

∴∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，

∵∠EBF=45°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，

∴∠KBF=∠ABK+∠ABE=45°，

∴∠EBK＝∠EBF，

∴△EBK≌△EBF（SAS），

∴∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，

∴∠EFB=∠BFC，

∴∠EFD＝180°-（∠EFB+∠BFC）＝180°-2∠BFC=180°-2（90°-∠FBC），

∴∠EFD＝2∠FBC

∴②符合题意；

如图，作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC的延长线交于点M，连接CG，

∴∠PBM=∠ABC=90°，

∵∠BPM＞45°，

∴∠GMC＜45°，

易证△ABP≌△CBG（SAS），

∴∠BAP=∠BCG=45°，

∴∠GCM=∠PCG=90°，

∴GC≠CM，即AP≠CM，

∴PQ≠PA+CQ，

∴③不符合题意；

∵正方形ABCD，

∴∠EBF=∠BCP=∠FCP=45°，∠PQB=∠FQC，

∴△BQP∽△CQF，

∴BQ：CQ=PQ：FQ，

又∵∠BQC=∠PQF，

∴∠BCQ＝∠PFQ=45°，

∴∠PBF＝∠PFB＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴④符合题意；

如图所示，连接BD，

∴当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，

∵BC=CD=BA=AD=2，

∴BD=2，

∵∠EPF＝∠EDF＝90°，

∴E，D，F，P四点共圆，

∴∠PEF＝∠PDF，

∵PB＝PD＝PF，

∴∠PDF＝∠PFD，

∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，

∴∠AEB＝∠DFP=∠PDF=∠PEF，

∴∠AEB＝∠BEH，

∵BH⊥EF，

∴∠BAE＝∠BHE＝90°，

∵BE＝BE，

∴△BEA≌△BEH（AAS），

∴BA=BH=2，

∴DHmin=BD-BH=2-2.

∴正确的有①②④⑤.

故答案为：①②④⑤

【分析】如图，连接BD，根据正方形性质及线段垂直平分线的性质易得PB=PD，故①符合题意；如图，延长DA使得AK=CF，连接BK，先由“SAS”定理证出△BAK≌△BCF，得∠CBF＝∠ABK，BK=BF，∠K=∠BFC，通过角的和差关系推出∠EBK＝∠EBF，由“SAS”定理证出△EBK≌△EBF，得∠K=∠EFB，∠KEB=∠FEB，从而得∠EFB=∠BFC，通过角的互补关系及角的和差关系推出∠EFD＝2∠FBC，故②符合题意；作∠CBG=∠ABP，使得BG=BP，与AC延长线交于点M，连接CG，由∠PBM=∠ABC=90°，则∠BPM＞45°，∠GMC＜45°，易证△ABP≌△CBG，得∠BAP=∠BCG=45°，∠GCM=∠PCG=90°，可知GC≠CM，即AP≠CM，PQ≠PA+CQ，故③不符合题意；由两组角相等易证出△BQP∽△CQF，由相似性质及角的等量关系可得∠PBF＝∠PFB＝45°，即得出△BPF是等腰直角三角形，故④符合题意；如图所示，连接BD，当点B、H、D三点共线时，DH值最小，易求得BD=2，根据∠EPF＝∠EDF＝90°，则E，D，F，P四点共圆，由圆周角定理和角的等量关系代换可得∠AEB＝∠BEH，又∠BAE＝∠BHE＝90°，BE＝BE，即证出△BEA≌△BEH，可得BA=BH=2，再由DHmin=BD-BH，代入数据计算即可求解.15．【答案】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，（m）∴OB＝1.5m．(m)．在Rt△COD中，，(m)，∴OD＝2m，∴BD＝OD－OB＝2－1.5＝0.5(m)，∴梯子底端B外移的距离为0.5m．【解析】【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求出OB＝1.5m，可求OCOA-AC=1.5m，在Rt△COD中由勾股定理求出OD=2m，利用BD＝OD－OB即可求解.16．【答案】证明：∵，∴，在和中，∴，∴.【解析】【分析】利用AAS证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等即可得到结论.17．【答案】（1）解：△ADC与△BEA全等，理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，∴∠DAC=∠EBA，在△ADC和△BEA中∵AD=BE，∠DAC=∠EBA，AC=AB∴△ADC≌△BEA（SAS）；（2）12【解析】【解答】（2）∵∠1=∠2，∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，

∵AD=BE，AC=AB，

∴△ADC≌△BEA（SAS）

∴S△ADC=S△BEA，

∵AF=2AD，AD=BE=CF，

∴BF=2BE，AF=2CF，

∴S△ABE=S△ABF=3，S△BCF=S△ABF=3，

∴S△ADC=S△ABE=3，

∴S△BCD=S△ADC+S△ABF+S△BCF=3+6+3=12.

【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，利用邻补角的定义可得∠DAC

=∠EBA，根据SAS可证△ADC≌△BEA；

（2）先证明△ADC≌△BEA，可得S△ADC=S△BEA，利用同高的两个三角形的年级比等于底之比求出△ABE、△BCF的面积，从而得出△A