2022届高考数学（文）一轮复习函数的奇偶性与周期性

5/28/2023

第七讲函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性(1)函数的奇偶性的定义5/28/2023奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数.关于原点对称回归课本(2)对函数奇偶性的理解①函数奇偶性的判断a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.5/28/2023b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.5/28/2023②在公共定义域内a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是奇函数.b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数.③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.5/28/20232.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期.(2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上､下界.5/28/2023考点陪练5/28/2023答案:B2.（2011·安徽）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.解析:法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.答案:－3

5/28/20233.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x-4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,综上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.答案:B5/28/20234.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.-3 B.-1C.1 D.3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.答案:A5/28/20235.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.答案:B5/28/20235/28/2023答案:2x+3类型一 函数奇偶性的判断解题准备:判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断:①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数,f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.5/28/2023②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.5/28/20235/28/2023

[分析]判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.5/28/20235/28/20235/28/2023的定义域关于原点对称,∵当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)(x<0).∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.5/28/2023类型二 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的定义域.2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型.5/28/20235/28/20235/28/20235/28/2023又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0,∵1-x2>0,1+x1>0,∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.5/28/2023类型三 函数的周期性解题准备:三个结论:若a､b是非零常数,且a≠b,则有5/28/20235/28/2023结论2:(对称性与周期关系结论)(1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|;(2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|;(3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|.结论3:(奇偶性与周期关系结论)(1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|;(2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|.(上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).5/28/20235/28/20235/28/20235/28/2023类型四 函数的奇偶性与周期性的综合问题解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程､不等式等综合问题.5/28/2023【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,则方程f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数起).[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是奇函数,且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是3999.5/28/2023错源一 忽略定义域出错5/28/2023[剖析]判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性;否则,函数一定不具有奇偶性.其次,要看f(x)与f(-x)之间的关系.[正解]函数的定义域为{x|x≠1},定义域不关于原点对称,因此该函数为非奇非偶函数.

5/28/2023错源二 忽视对参数的讨论【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.[错解]显然函数定义域为R.因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.5/28/2023[剖析]此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到a=0这种特殊情形,以致解题出错.[正解]当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数; 当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

5/28/2023技法一 快速解题(数形结合法)【典例1】已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足f(x+3)=-f(3-x)､f(x+4)=f(4-x),则f(x)是()A.奇函数也是周期函数B.偶函数也是周期函数C.奇函数但非周期函数D.偶函数但非周期函数5/28/2023

[快解]由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意的图象即可选对答案.函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴,如下图所示,点(2k-1,0)都是对称中心,直线x=2k都是对称轴,这里的k∈Z,故选B.5/28/2023

[另解切入点]因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴.[分析思维过程]要利用两个条件式,推证出f(x)是奇函数或偶函数,需找到两式的联系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出现,如此推演,有望得到结果.5/28/2023[解析]∵f(x+3)=-f(3-x)①f(x+4)=f(4-x)②∴f(x+4)=f[(x+1)+3]=-f[-(x+1)+3]=-f(2-x)=-f[4-(x+2)]=-f[4+(x+2)]=-f[3+(x+3)]=f[3-(x+3)]=f(-x).则f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).∴f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x).故函数f(x)是偶函数,也是周期函数,选B.[答案]B

5/28/2023[方法与技巧]解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多,不易掌握.而数形结合法简单､直观,好掌握,易理解,对于解选择题非常适宜.[得分主要步骤]运用好已知的两个条件式是很重要的.首先由②式入手,使之出现①式的形式,再由②到①,每步都需认真思考,是否满足条件,是否可以得到需要的结果.[易丢分原因]各步变换时,注意符号,稍有不慎将会出错.如由f(x+4