【2022高考数学一轮复习】函数y=Asin(ωxφ)的图象

1第四课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象第四章三角函数1.函数y=Asin（ωx+φ）的有关概念y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0，x≥0）表示一个振动量时，振幅为___，周期T=_____，相位为________，初相为___.2.用“五点法”画y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图2A

ωx+φ

φ

用“五点法”画y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图时，要找_____个关键点，首先使________=0，然后求出x的值，再求y的值.3.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图象的步骤：3五ωx+φ

方法1：画出y=sinx的图象得到___________________的图象

的图象得到_________________的图象.4向左（右）平移|φ|个单位长度得到_______________y=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ）

方法2：画出y=sinx的图象得到___________________

的图象得到_________________的图象.5向左（右）平移个单位长度得到____________的图象y=sinωx

y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ）61.已知简谐运动

的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（

）因为f（x）的图象过点（0,1），所以sinφ=

.又因为|φ|＜

，所以φ=

.而

故选A.A

2.为了得到函数(x∈R)的图象，只需把函数y=2sinx(x∈R)的图象上所有的点(

)A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的

(纵坐标不变)B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)7先将y=2sinx,x∈R的图象向左平移

个单位长度，得到函数x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到函数x∈R的图象，故选C.8

3.函数在区间上的简图是()9用排除法：将点代入符合，而点不符合，排除C、D；再将x=π代入

得到

显然选A.10

4.把函数的图象上各点的横坐标变为原来的再向右平移个单位长度，然后向下平移2个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为__________________.11把函数的图象上各点的横坐标变为原来的得到的图象对应的函数解析式为再向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为后向下平移2个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为12

5.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,-π<φ<0,ω>0)在一个周期上的图象如图，则A=______，ω=______，φ=-_________.131.三角函数图象的变换(1)要得到函数的图象，只需要将y=sinx的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的_________倍.(2)把函数y=cosx的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度所得图象对应的函数解析式为________________.142(3)把函数y=sinx的图象上的每一点的纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的2倍，然后将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为_________________.2.振幅、初相、频率函数的定义域是________，值域是__________，周期是__________，振幅为__________，频率为_____，初相为_______.15R3.函数y=Asin(ωx+φ)的性质(1)若函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是__________.(2)函数的最小正周期是______.(3)函数的图象的对称轴方程是___________.(4)

的振幅为_____；初相为______;单调递减区间是____________________.162πx=kπ(k∈Z)317题型1：三角函数图象的变换已知函数y=

sin(2x+

)+，x∈R.

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用五点法作出它的简图；

(3)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

(1)y=

sin(2x+

)+的振幅为A=，周期为T=

=π，初相为φ=

.18

(2)令x1=2x+，则y=

sin(2x+

)+

=

sinx1+

.列出下表，并描出图象，如图.xx1=2x+

0π2πy=sinx1010-10y=

sinx1+

19

(3)解法1:将函数的图象依次作如下变换:函数y=sinx的图象

函数y=sin(x+

)的图象

函数y=sin(2x+

)的图象

函数y=

sin(2x+

)的图象

函数y=

sin(2x+

)+

的图象.向左平移

个单位长度各点的纵坐标缩短到原来的

(横坐标不变)向上平移

个单位长度各点的横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变)20

解法2:函数y=sinx的图象函数y=sin2x的图象函数y=sin(2x+

)的图象函数y=sin(2x+

)+的图象函数y=

sin(2x+

)+的图象.各点的纵坐标缩短到原来的

(横坐标不变)各点的横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变)向左平移

个单位长度向上平移

个单位长度21

【评注】已知函数y=Asin(ωx+φ)的解析式画图，要注意定义域以及利用一些简单的性质，基本初等函数的图象是基础.基本方法有:(1)五点法；(2)变换法.有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行；②在不同的变换次序下平移变换的量可能不同.在解法1中图象向左平移

个单位长度，而在解法2中图象向左平移

个单位长度.22

给出下列八种图象的变换方法：

①将图象上的所有点的横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变)；

②将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；

③将图象向上平移1个单位长度；

④将图象向下平移1个单位长度；

⑤将图象向左平移

个单位长度；

⑥将图象向右平移

个单位长度；23⑦将图象向左平移个单位长度；⑧将图象向右平移个单位长度.请用上述变换中的三种变换，将函数y=sinx的图象变成y=sin(

)-1的图象，那么这三种变换正确的标号是

(要求按变换先后顺序填上你认为正确的标号即可).②─④─⑦(或④─②─⑦；②─⑦─④；⑤─②─④；⑤─④─②；④─⑤─②)24题型2：求三角函数的解析式如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<0)的图象的一段，求其解析式.25

方法1：(五点法—平衡点法)

由图可知，其振幅为A=

.

由于

，所以周期为T=

2(

)=π，所以ω=

=2.

此时解析式为y=

sin(2x+φ).

以点(π3,0)为“五点法”作图的第一个零点,

则有2·

+φ=0，故φ=

.

所以所求函数的解析式为y=

sin(2x-

).26

方法2：

(五点法—最值点法)以上同解法1，此时解析式为y=

sin(2x+φ).以点(

,3)为“五点法”作图的第二个点,则有2·+φ=，故φ=

.所以所求函数的解析式为y=sin(2x-

).27

方法3：(变换法)以上同解法1,此时解析式为y=sin(2x+φ).由图象可知所求函数图象是由函数y=

sin2x的图象向右平移个单位长度而得到的，所以所求函数的解析式为y=

sin2(x-

)=

sin(2x-).28

【评注】本题由图象观察出最值与周期，就可求出A与ω，再由图象过某点，运用待定系数法求出φ.其中找最高点或最低点比较简便.

已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式，一般情况下，A与ω易分别根据振幅与周期求出，难点在于求φ.求A、ω、φ的本质是待定系数法.基本方法有:(1)五点法，包括平衡点法与最值点法.在运用平衡点法时，要特别注意分清是第几个平衡点.(2)变换法，即通过弄清已知图象是由哪个图象变换得到而求出待定系数.将函数y=sinωx(ω>0)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度，平移后的图象如右图所示.则平移后的图象所对应的函数解析式是()A.B.C.D.29将函数y=sinωx(ω>0)的图象沿x轴向左平移个单位长度得到即的图象.将点代入得则ω=2,故选C.3031

题型3:三角函数图象的综合应用如图，函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R,的图象与y轴交于点且在该点处切线的斜率为-2.(1)求θ和ω的值；(2)已知点点P是该函数图象上一点，点Q(x0,y0)是线段PA的中点.当时，求x0的值.

(1)当x=0时，由又因为且所以ω=2,所以32(2)因为是线段PA的中点，且所以又点P在的图象上，所以因为所以从而即33

【评注】：本题利用点在函数的图象上，求出θ的值，然后利用图象的几何意义，求出x0的值.34设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线

(1)求φ的值；(2)求函数y=f(x)的单调递增区间；(3)证明：直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.35

(1)因为直线是函数y=f(x)的图象的一条对称轴，所以所以因为-π<φ<0，所以36(2)由(1)知因此由题意，所以所以函数的单调递增区间为37(3)证明：因为所以曲线y=f(x)的切线的斜率的取值范围为［-2,2］.又直线5x-2y+c=0的斜率为所以直线5x-2y+c=0与函数的图象不相切.38391.由函数y=sinx,x∈R的图象经过变换得到函数y=Asin（ωx+φ）,x∈R的图象.（1）y=Asinx，x∈R（A>0且A≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）而得到.（2）函数y=sinωx,x∈R（ω>0且ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的

倍（纵坐标不变）而得到.（3）函数y＝sin（x+φ），x∈R（其中φ≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度而得到（用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”）.4041

2.三角函数图象的变化规律和方法

由y=sinx→y=sin(x+φ)，此步骤只是平移(φ>0，左移φ个单位长度；φ<0，右移-φ个单位长度)，而由y=sinx→y=sin(ωx+φ)可有两条思路：

①y=sinx→y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ),即先平移后伸缩.

②y=sinx→y=sinωx→y=sin(ωx+φ),即先伸缩再平移.42注意区分它们之间的异同.但无论哪一条路径，切记每一次变换都是对x而言的，如y=sin2x的图象向右平移个单位长度，得到的应是y=sin2(x-

)，而不是y=sin(2x-

)；又y=sin(x+

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，应是y=sin(

+

)，而不是y=

sin

(x+

).43

3.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的简图，主要还是先找出对确定曲线形状起关键作用的五个点.这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是换元法，即设X=ωx+φ，由X取0、、π、、2π来确定对