正态总体的置信区间演示文稿

正态总体的置信区间演示文稿当前第1页\共有30页\编于星期四\2点（优选）正态总体的置信区间当前第2页\共有30页\编于星期四\2点与其它总体相比，正态总体参数的置信区间是最完善的，应用也最广泛.在构造正态总体参数的置信区间的过程中，正态分布扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间，讨论下列情形:单正态总体均值(方差已知)的置信区间;分布、分布、分布以及标准单正态总体均值(方差未知)的置信区间;单正态总体方差的置信区间;双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;(1)(2)(3)(4)双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间.双正态总体方差比的置信区间.(5)(6)当前第3页\共有30页\编于星期四\2点明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？~N(0,1)选的点估计为

寻找未知参数的一个良好估计.解：

寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.1.单正态总体均值的置信区间（1）设总体X~N(,2),2已知，未知，设X1,X2,…,Xn是来自X的样本，求的置信度为1-的置信区间。一.单正态总体N(,2)的情况当前第4页\共有30页\编于星期四\2点对给定的置信水平查标准正态分布表得对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使从中解得当前第5页\共有30页\编于星期四\2点则的一个置信度为1-的置信区间为说明：标准正态分布具有对称性，利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为的置信区间，间长度在的有这类区间中是最短的.其区当前第6页\共有30页\编于星期四\2点

当然希望区间长度越短越好，但区间长度短，n必须大，即需耗费代价高，故在实际问题中，要具体分析，适当掌握，不能走极端。注意(1)

区间长度当给定时，置信区间的长度与n有关.(2)

置信度为1-的置信区间并不唯一。若概率密度函数的图形是单峰且对称,当n固定时，取两端对称的区间，其长度为最短。结论当前第7页\共有30页\编于星期四\2点例1某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额,机访问了100名旅游者,得知平均消费额元.根据经验,已知旅游者消费服从正态分布,且标准为95%置信区间.解对于给定的置信度查标准正态分布表将数据随元,差求该旅游者平均消费额的置信度代入计算得的置信度为95%的置信区间为即在已知情形下,可当前第8页\共有30页\编于星期四\2点77.6元至82.4元之间.以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在自己动手已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;当前第9页\共有30页\编于星期四\2点当前第10页\共有30页\编于星期四\2点注意如果X服从任意分布,只要n充分大,仍可用作为总体均值的置信区间这是因为由中心极限定理可知,无论X服从什么分布,当n充分大时,随机变量近似服从标准正态分布。当前第11页\共有30页\编于星期四\2点给定置信度1-,X1,X2,…,Xn是来自N(,2)的样本,分别是样本均值和样本方差1.均值的置信区间(1)2为已知,的置信度为1-的置信区间为(2)2未知,的置信度为1-的置信区间为2.单正态总体均值的置信区间（2）当前第12页\共有30页\编于星期四\2点(2)2为未知用样本方差来代替2统计量服从自由度为n-1的t分布当前第13页\共有30页\编于星期四\2点则的置信度为1-的置信区间为当前第14页\共有30页\编于星期四\2点例2某旅行社随机访问了25名旅游者,得知平均消费额元,子样标准差元,已知旅游者消费额服从正态分布,的置信区间.解对于给定的置信度将代入计算得的置信度为95%的置信区间为求旅游者平均消费的95%即在未知情况下,均消费额在75.05元至84.95元之间,这个估计的可靠度是95%.估计每个旅游者的平当前第15页\共有30页\编于星期四\2点若未知,利用样本方差构造统计量给定,先查2分布的临界表求得12,22使得3.单正态总体方差的置信区间给定置信度1-,X1,X2,…,Xn是来自N(,2)的样本,是样本方差当前第16页\共有30页\编于星期四\2点从而则方差2的置信度为1-的置信区间为当前第17页\共有30页\编于星期四\2点例3.有一大批糖果，从中随机地取16袋，称得重量(以克计)如下：

508499503504510497512505493496506502509496

设袋装糖果得重量近似地服从正态分布，求(1)正态总体均值的置信度为0.95的置信区间。(2)总体标准差的置信度为0.95的置信区间。当前第18页\共有30页\编于星期四\2点解(1)1-=0.95/2=0.025n-1=15t0.025(15)=2.1315s=6.2022则的置信度为0.95的置信区间为(500.4,507.1).2未知,的置信度为1-的置信区间为则方差2的置信度为1-的置信区间为(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=15s=6.2022总体标准差的置信区间为(4.58,9.60)当前第19页\共有30页\编于星期四\2点假定出生婴儿(男孩)的体重服从正态分布，随机地抽取12名新生婴儿，测其体重为

310025203000300036003160356033202880260034002540(1)以0.95的置信度估计新生男婴儿的平均体重。

(2)以0.95的置信度对新生男婴儿体重的方差进行区间估计。思考当前第20页\共有30页\编于星期四\2点解(1)1-＝0.95/2=0.025n-1=11t0.025(11)=2.201s=375.3则的置信度为0.95的置信区间为(2818,3295).(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=11(n-1)S2=1549467查表得总体方差2的置信区间为(70752,405620)。当前第21页\共有30页\编于星期四\2点

于是,评价此新技术的效果问题,就归结为研究两个正态总体均值之差1-2的问题.在实际应用中经常会遇到两个正态总体的区间估计问题.例如:考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用──把实施新技术前产品的质量指标看成一个正态总体N(1,12),而把实施新技术后产品质量指标看成另一个正态总体N(2,22).二.两个正态总体的情况当前第22页\共有30页\编于星期四\2点比较甲乙两厂生产某种药物的治疗效果──把两个厂的药效分别看成服从正态分布的两个总体N(1,12)和N(2,22).

于是,评价两厂生产的药物的差异,就归结为研究对应的两个正态总体的均值之差1-2的问题.

下面讨论如何构造两个正态总体均值之差1-2的区间估计.

当前第23页\共有30页\编于星期四\2点给定置信度1-,两个样本相互独立,当前第24页\共有30页\编于星期四\2点1.两个总体均值差1-2

的置信区间(1)12、22均为已知所以则当前第25页\共有30页\编于星期四\2点当前第26页\共有