塑性力学第一章 简单应力状态下的弹塑性力学问题

塑性力学

第一章简单应力状态下的

弹塑性力学问题

§1.1引言§1.2材料在简单拉压时的实验结果§1.3应力-应变关系简化模型§1.4轴向拉伸时的塑性失稳§1.5简单桁架的弹塑性分析§1.6强化效应的影响§1.7几何非线性的影响§1.8弹性极限曲线§1.9加载路径的影响§1.10极限载荷曲线（面）§1.11安定问题§1.1引言

一、变形弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的对应关系

非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系非弹性变形塑性变形粘性变形（是指物体在除去外力后所残留下的永久变形）（随时间而改变，如蠕变、应力松弛等）二、塑性与脆性如果变形很小就破坏，便称是脆性如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久变形到最终破坏之间仍具有承载能力。——采用弹性理论分析——采用塑性力学分析研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应力超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对承载能力和（或）抵抗变形能力的影响研究好何利用材料的塑性性质以达到加工成形的目的三、塑性力学目的

塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。

四、塑性力学的方法基本方程:①几何关系②守恒定律③本构方程§1.2材料在简单拉压时的实验结果

材料：金属多晶材料受力：单向拉伸或压缩实验(名义)应力：σ=P/A0(名义)应变：ε=（ι-ι0）/ι0

一、实验描述二、实验曲线线弹性阶段非线性弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段实验曲线加载过程实验曲线卸载过程弹性阶段：卸载沿原路返回塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性阶段相同应变强化：三、两种现象包氏效应：实验曲线反向加载：单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a）中的M´´点)多晶体，其压缩屈服应力（M´点）一般要低于一开始就反向加载时的屈服应力（A´点）。这种由于拉伸时强化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschingereffect）。材料经过塑性变形得到强化图2（a）1、在材料的弹塑性变形过程中，应力与应变之间已不再具有单一的对应关系。四、实验总结加载路径——σ与ε之间的关系依赖于加载路径内变量——宏观参量，用来刻画加载历史例如，作为最简单的近似，可以取内变量ξ为塑性应变εp，而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为ε=σ/E+εp（1）——其中E为杨氏模量上式表明，当εP（内变量）一定时，σ与ε之间有单一的对应关系。2.σ与ε之间的线性关系ε=σ/E+εp（1）式是有适用范围的。对于固定的内变量εP，σ或ε并不能随意取值。例如，对处于图2（a）中的M点，当加载时即应力（或应变）继续增长时，应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公当卸载时即应力（或应变）减小时应力应变曲线才以（1）式的规律沿MN向下降。为了区分以上这种加载和卸载所具有的不同规律，就必须给出相应的加卸载准则。图2（a）五、影响材料性质的其它几个因素1、温度

当温度上升时，材料的屈服应力将会降低而塑性变形的能力则有所提高。3．静水压力

当静水压力不太大时，材料体积的变化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变。2、应变速率

如果实验时将加载速度提高几个数量级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应变形能力会有所下降。当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小），可近似地认为体积是不可压的。静水压力对屈服应力的影响也是不大的。

§1.3应力-应变关系关系的简化模型

类似地，上式也可用应变表示为：1．理想弹塑性模型适用：强化率较低的材料，在应变不太大时可忽略强化效应2．线性强化弹塑性模型类似地，上式也可用应变表示为：适用：材料的强化率较高且在一定范围内变化不大（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）——表示图5（a）中的线段比

3．一般加载规律对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：注：朱这种杯模型服在退=0披处的蜜斜率识为无楼穷大刘，近覆似性势较差丙，但迫在数赛学上牌比较傲容易候处理女。（8档）4．柳幂次令强化辽模型（其旷中B>轨0，0<脊m<袍1）其加狗载规盯律可关写为载：（9归）如取识就有说明症：这症对应醋于割匆线余府率为托0.咱7E的应浑力和扫应变查，上绝式中有蠢三个田参数仓可用秀来刻比画实浑际材脉料的凡拉伸偶特性益，而闹在数学暗表达乎式上蠢也较愁为简聚单。5．Ra殊mb法er弓g-腾Os秃go妇od模型等向壶强化拖模型6.等向刊强化鹿模型爬及随参动强迎化模骡型例如廊：可位取适用受：拉毅伸时赔的屈屿服应今力和界压缩瞧时的属屈服周应力撕始终吴是相茄等的普。——是刻画塑性变形历史的参数图2（a）或该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的和。随动水强化啦模型上式常在线蛋性强螺化情门形下馅也可鸦写为（是塑性应变的单调递增函数）适用材：考寇虑包埋氏效菜应，伪认为硬拉伸夏屈服百应力脖和压耗缩屈移服应湾力的盈代数值之甜差，铜即弹段性响谁应的禾范围移始终幅是不在变的轰。是一个常数（）图2（a）该模型对应图2（a）中的和。§1办.4忽轴向锹拉伸离时的帝塑性烦失稳一、丢拉伸纳失稳散的概志念1、拉店伸失拦稳：注意由：拉屿伸试话件在跌出现孤颈缩剖后，粉试件糊局部善区域呜的截妙面积天会有明显慌减少悄，再删用名疮义应缝力和渡应变更来描距述此唤时的艳材料轧特性是趴不适苹当的（见往图2）在最党高点畏以后营，增加垄应变堡时应力帝反而当下降，在毫通常敬意义下称弱试件作是不扰稳定真的。图2（a）2、真筐应力3、对辛数应香变4、截勿面积也收缩贝比q=轻（A0-A痒）/删A0假定埋材料旦是不饥可压凉缩的怜：A0l0=A皆l，并认才为名条义应羡力达到武最高绢点C时出掀现颈拒缩：二、屠真应劫力则在趋颈缩送时真锈应力邻应满诞足条乖件拉伸稳失稳霞分界兆点的泉斜率关正好增和该等点的携纵坐涌标值峰相等反。由结论炸：[1缠]注意倚到颈缩洪时的荣条件无也可蒜写为：即拉伸失稳点的斜率为其纵坐标值除以结论标：[2抵][3岗]以截趋面积储收缩繁比q为自饲变量则由颈棉缩时蹦的条裂件拉伸装失稳贿时真漠应力夕所满切足的经条件:随着呼材料煤的变锦形，喂微裂降纹和溜（或秩）孔护洞的板生成混及汇膜合也阀将会扒造成仗材料衣的弱晶化而家导致匆失稳语。称扒之为璃应变屿弱化去。三、坏材料普本身狮的失煌稳现圆象例如般，在蓬低碳圆钢拉剂伸实喊验中义由上巨屈服闲应力楼突然浪下降贼到下屈服按应力牧的现考象，艘它与棋材料圆变形奏的内崇部微稠观机换制的扒变化有关支。在许窃多问广题（肺如拉罗伸失葵稳等呜）中狼，以拉上两表种现革象往写往是崖耦合玻的§1绳.5紧简杰单桁邀架的径弹塑酿性分疏析一、垒问题裤的提衣出以图顽示的径一次翁静不倒定三悔杆桁芳架为蔽例进除行弹泽塑性手分析绞。图中声三根召杆的妻截面俭积均抵为A，中间盗第二学杆的泽杆长泳为过，它与魄相邻闭的第窃一杆售和第粉三杆膛的夹谈角均叹为θ=疮450，在其显交汇常点O处作盗用水仪平力Q和垂熟直向矛下的端力P期，O点将令产生貌水平四位移锻和恐垂直御位移。二、宜问题育的解想答已知耻：解：如定幕义第刚根献杆的插名义每应力骨为青,名义贡应变免为叛,则有利如下平衡拔方程和几何写关系和协调童条件为了督得到轿问题范的解蚕，还俗必须差补充本构网方程蛙。我们咸假定僚材料笑是理想从弹塑惰性。(1臂)旅Q=隶0时的峰弹性滔解和纪弹塑简性解由弹性疮解:由1、应存力为屈凝服应旨力————为垂六直方遥向上运的弹舟性极投限载尿荷2、位萍移（1乐4）（1巩7）由（14）、撕（17）和笑（18），增得——垂直迷向下永位移载荷搞-位烈移曲农线则当P由零六增至Pe时，但在图息9的演坐标喜中为螺区间裤[0骄，1假]上阔斜率荡等于赴1的停直线往段OA但。若令弹塑河性解:当P由零著逐渐斯增大表到Pe时，萄第2戒杆的搁应力点也逐陵渐增凉大而户达到粗屈服程状态哑：仪如果P的值决再继干续增躁加，栽则（宫17涛）式肉已不顽再适浅用，趁相应坡的本接构方束程应徐改写哭为由应力应变说明闯：（1）凝这充时的丸第2户杆虽损然已公经屈颜服而涛失去杜了进述一步览的承睡载能力壶，但买由于陕它还绣受到那第1抖杆和魂第3填杆弹苦性变年形的候制约睬，其塑性规变形奴不能横任意借增和牛，这劲种状析态称子为约束童塑性堡变形。（2）恳直昆到P值逐促渐增求大到锋使牧时欠，三涨根杆场将全处部进入屈货服阶花段，肤变形伍已不雀再受科任何翼约束狠，结脑构才项完全封丧失长进一步雪的承陷载能驶力。这时造的载门荷P为——称为袖塑性毕极限持载荷由和位移当P=仍PS时，或注：方（2疾4）莫式对伏应于锈图9上中在腿区间描[1窑，2讨]上交斜率齐为惨的直僚线段AB当考坝虑塑哗性变尺形时疤，结乓构的往变形布要比殊纯弹奖性变惑形为周大，孔但仍狗属同俭一数轿量级说，而阿相应陪的承缝载能逼力将别会有龙相当厅的提涨高。结论(2谋)卸载现将P的值悉加载畅到处摸于Pe<P苍<Ps范围吨内的完某一盾值P*，然后从再卸序载使P的改因变量摆△P<艺0。由于雅卸载书服从悄弹性辛规律意，利御用（泳18捕）式见的增尚量形安式，育可知去应力尾和应丑变的寻改变距量分寇别为卸载夹时的杜载荷或-位摩移曲仇线（减见图嚼9）欢与初咐始弹新性加迟载时烫的曲绳线有渡相同回的斜产率。卸载同规律:应力间和应遗变:最终叠的应印力和修应变您值可畅由（21）、荐（25）和茂（22）、到（26）下比式的统叠加挤求得哪：特别龟地，前当载圾荷P值全耕部卸末除后由，由母△P=己-P育*，便得沾到杆衡中的沟残余款应力侦和残怎余应缸变（摸见图袭10羞）为果：残余徐应力强和残从余应烫变:其中节点O的残闻余位皮移为抚：实际否上，迈第1因杆和贺第3年杆其具变形迫规律接始终剥是弹挎性的催，如急果卸耍去载谈荷并栗解除种三杆失之间弓约束窜的话冤，第卷1杆闸和第符3杆剖中的胳弹性位应变把和塑炼性应庄变都球等于义零，朴而第突2杆倡则有郑塑性除应变虾。故括在原痒有的贤约束同下，妹就必恰然地惭引起凝内应泄力而蕉使这趟三根械杆件圆的残握余应霉变不朵等于惠零。说明漂：1、残垫余应殖力应弄该满党足与庄零外糖载相搂对应肿的平饮衡方香程。2、残废余应嘉变由使（1秃）式溉可分踪蝶为弹环性应糖变和烂塑性衔应变密两部寺分之杏和：3、在吊超静邀定结辞构中俩残余话应变摄一般疯并不症等于据塑性甘应变亮。§1椒.6顺强击化效跃应的啄影响本节骄仍讨盈论Q=企0的情监形，现假惊定材坡料是嫁线性松强化申的。不卸林载时锄其拉沟伸曲牺线可续写为（1）当P时，增杆中打的应者力值宰仍由绑（1稠8）恳式表端示（2）当P>绪Pe时，财有将上挖式与研（1坚5）碌式和尚（1馅6）区式联匀立，菠可解庭得（3）当P增至乐使如时累，第珍1杆斥和第置3杆喇也开李始屈绞服。此时颂的载品荷值挤为1、如麻取E‘案/E斯=1慰/1迎0，则P1=1扛.0本4Ps。与理草想弹串塑性凝材料觉相比述，相应皂的载盖荷值孟并没太有很亮大的陪增加落。这两说明扬采用霉理想轻弹塑性模嫌型可不得到洗较好草的近烈似，不而计抖算却厘有相赖当的勇简化溪。说明脊：2、当P小于P1时，看结构严的变泽形仍腊属于剥弹性张变形眨的量贷级，枯而当P超过P1后继付续增羽加时拿，由炮于强炒化效敲应，死结构感并不愈会进东入塑性浆流动陷状态昨，但最这时雷的变贺形将穷会有璃较快康的增著长。§1筝.7那几哭何非堡线性忧的影秀响一、原问题陈的提副出求解肺基本喝方程骆：——是在微小变慎形的侨假设默下建搞立的当杆洞件的帽塑性坚变形犬很大揪时，汇结构糊几何折尺寸竖的改所变将好会产饿生显活著的微影响营。这贼时应哗采用姓真应样力和始对数至应变终来进锐行讨霸论。二、旱问题桐的解断答仍考腊虑Q=登0的情但形，兼假定炭材料赏是刚限塑性泥线性启强化蓄的：而且棵满足它不可痒压条惩件：令则由几妖何分绕析于是在变律形后价的结抖构上病建立幅的平斜衡方呢程为唱：其中——为变园形后乔第2杆与貌第1杆（赴和第3杆）堡之间沉的夹顺角可见品（33）式窑中有量三个梨未知树量在不文卸载济的情纪况下绘，由狂本构指方程匀：得到与之间的非线性关系结论偿：随着岁的箭增长药，锻的咬值将肾会由请于强轮化效微应和曲角的商减小疤而提蔽高，但也酿会随未着杆我件截杆面积辟的收帐缩而熄下降锄。故章当燃很大贫时，扯结构孝将可孩能变成跪不稳伟定的周。§1诊.8像弹虏性极造限曲甩线本节各我们芽将考旬虑前艇述桁串架同饱时受牵垂直耀载荷P和水登平载展荷Q作用胸的情繁形。如果绿桁架中中的池三根刮杆件炊都处子于弹岂性阶窃段，辉则由拼（1靠3）挎(1难4）初15婚）和警（1影7）呈各式揉，平衡效方程几何领方程协调费条件本构怨方程其中念，鼠表示倦只作谨用水栋平力伤时的御弹性完极限供载荷只。可求纪得杆篇中应坛力为（3臂5）抄式成普立的尿条件困为这相会当于扣对P和Q的限捎制条定件：上式红对应辩于图翠12写中实棒线六贴边形区城域，春其中修等号犁则对湿应于该六张边形压的边坐界，推称为弹性极限寨曲线，表律示至谎少有粱一根杆件公已达迎到屈箱服状昼态。如果缠作用淋于结堡构上柄的载联荷先坏是超循出了和弹性头极限唇曲线赏，然麦后又完启全卸顺回到找零，疑那么偿结构肠中将示存在此残余妄应力辫。由于劫残余起应力训与零臂外载住相平幕衡，介故可脾写成含（27）式逆的形挡式：其中办是矮一个依可以满变化叹的参型数，伏其值分可由超（28）式习来表蛾示。在存毅在残蛋余应漠力的斯情况碑下，墓如果视再重衔新对踪蝶结构针施加敏载荷扁而未能虎再次示屈服恢，那稳么结蛾构中孤的应贞力值宅就应扩该是予以上航的残愧余应力与当（35）式团的叠巴加。不产么生新企的塑鉴性变灭形的秘限制叛条件痛：其中成值展满足（37）式钻对应传于图12中虚士线所纵构成的六广边形温区域平。说明牲：可见粗在加坡载方休向一昌侧屈凶服载哥荷有绿所提栽高而践与加表载方燥向相引反的一巾侧屈矿服载巧荷有阵所降么低。膜可用摸来对场应变条硬化挎和包梅氏效皇应等现暗象做匀一个纵比较缩慧形象它的解健释。§1碗.9枯加载娘路径域的影霸响塑性代力学扣的特深点之蜡一就切是解对加载畜路径的依迟赖性慕。[例]计算锋上述造的理宴想弹坏塑性供三杆密桁架签在不未同加鞭载路偿径下O点的最茂终水欠平位狐移和螺垂直炸位移女。第一纤种路合径（图13（a)中的制路径1）当时第一焦种路透径：芹（Q，锯P）先由水（0爽，0用）线性鸡地变诱化为狠（0流，PS），再在垂直位移随保持丸不变的条垄件下蜘增加Q使达逮到Qe如保印持δy=2槐δe不变吊而施头加水枕平方嘴向的医载荷Q，使点O有一帮个水允平方肆向的致位移晋增量拨，则慌由几何关唤系（睛14龙）式：可知泥第1烫杆和床第2价杆并坑未卸恒载而第纸3杆沾以弹晚性规印律卸毅载于是耍，由班（1铺3）滥式可绒求得木载荷房诚增量皆为：即Q与P之间丈的变附化规瓣律是你线性哲的当第筛3杆喷卸载卡到σ3=-穴σs时由△σ3=-嘴2σs得此时陆三杆喇同时报屈服魔，即疤结构艘再次饭进入窗塑性秆流动棋状态衡。三杆淋的应戒力为先：水平打位移δx可由纠（3外8）更式求岛得，危垂直判位移δy始终贡不变置。因此还：第二至种路元径：位（Q，饶P）由（汤0，婚0）斥作单调伙的比逃例如展载而废达到凡（槐）第二拥种路佩径（图滩13刷（a）中的捕路径许②）由于衔加载以时始乔终有面关系旗式，敞故将由其代半入（铺35京）式歇可得咱初始佛弹性朋阶段途的解繁为：，——表明撒随着P的增丸长，鞭第1杆最短先达究到屈技服。当各杆窑的应揭力此时O点的绵位移谁值为如继处续加但载，坚则第胁1杆护进入破屈服剩阶段裂，即由和（13）式央的增肚量形左式——表明拣第2杆继久续受云拉，谈第3杆继堡续受膏压。各杆文的应亮力由责（41）式娃和（43）式巩计算当温三碗杆同年时进恒入塑逢性状葬态，落即利用慎（4塘3）秤式和（裹14未）式聪的增脖量形位式便可申求出嚼对应书于批时详的位像移增丘量：最终放位移愉则是饱上式标和（膀42房诚）式逢的叠父加：结论梯：可知区在两贯种加休载路绩径下偿虽然宇可得刃到相免同的肚应力夸值，治但各腿杆的炕应变祖和O点最光终位县移值舒却是挤不同皆的。§1嗽.1庭0极究限载番荷曲评线（矿面）一、撤概念两个西不等量式同用时取勺等号骗时，该（P，Q）的值将逝处于任虚线妙六边麦形的垂顶点情。1、塑并性极刘限载此荷此时到结构揉变为爷一个灰能产炕生塑搏性流中动的摩机构膨而丧闷失了予进一兼步承载佩的能绢力。涉相应秧的载剃荷就拿是塑性茄极限破载荷。2、极如限载衬荷曲惊线随着γ*的改岁变，淹这个叉极限吨载荷峡在（Q，企P）平面钓上的栏轨迹义将形伐成一号条曲谢线，浊称为极限蹦载荷做曲线（在些多维伏载荷芹空间净中则亮称为篮极限爬载荷绕曲面杏）。特点振：与哑弹性碍极限即曲线巷不同堆，极扫限载叼荷曲各