材料力学讲义五

材料力学讲授:顾志荣第十章应力状态理论基础

同济大学航空航天与力学学院

顾志荣材料力学第十章应力状态理论基础一应力状态的概念及其描述二平面应力状态分析—数解法三平面应力状态分析—图解法四三向应力状态五广义虎克定律六三向应力状态下的变形能一应力状态的概念及其描述第十章应力状态理论基础第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述1问题的提出2应力的三个重要概念3一点应力状态的描述一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力F拉(压):一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

扭转:讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

对于横截面上既有正应力又有剪应力的一些点如何建立强度条件?这些点强度条件的危险应力如何确定?一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面123S平面

5544332211一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

4PlFMz=一应力状态的概念及其描述/1问题的提出

为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会发生斜向裂纹?这些问题都要通过应力状态的分析来解决.2.应力状态的三个重要概念(1)应力的面的概念(2)应力的点的概念(3)应力状态的概念第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述应力指明哪一个面上

哪一点？哪一点哪个方向面？第十章应力状态理论基础/一应力状态的概念及其描述过一座点不夫同方借向面愿上应歼力的泉集合斜，称玩之为俗这一缓点的应力验状态。应力唱状态赴分析就是木研究吐一点竞处沿胀各个奏不同吼方位袄的截赢面上螺的应绕力及礼其变怠化规国律。第十允章币应歼力状榜态理穷论基米础/威一理应力南状态汽的概插念及昆其描爪述单元批体3溪.一点浩应力幅状态踏的描接述第十非章罪应稿力状倡态理挠论基观础/亭一旺应力胃状态著的概沫念及登其描袄述图示晕为一赴矩形林截面笛铸铁奔梁，恶受两僻个横浊向力翁作用斧。从哈梁表驶面的威A、约B、挠C三车点处大取出霉的单漫元体欠上，烂用箭乎头表棕示出浸各个甜面上挽的应却力。课堂其练习第十括章刚应积力状挂态理挡论基乳础/嗽一吹应力服状态乞的概龟念及缩慧其描佳述FPl/2l/2S’平面5544332211S’平面第十盈章定应单力状币态理歪论基励础/由一卡应力抱状态络的概胳念及原其描笋述课堂雨练习绘图赵示梁名S’龄平面闻上各点方的应寄力单破元体123S’平面

5544332211一表应力庆状态消的概禽念及寸其描吼述/百1赵问题饿的提勿出FPlaS第十本章歌应库力状夺态理川论基声础/飞一银应力宗状态纪的概凤念及磁其描纺述课堂协练习绘图骂示构籍件固您端S灯截面钱上、杠下、左、右切比线点珍处的伏应力岩单元沙体xzy4321S平面第十迟章五应笛力状批态理追论基欲础/订一金应力脂状态滔的概捞念及汽其描妨述SFPyxzMzFQyMx4321143第十赔章博应纹力状撕态理宫论基胜础/缓一纷应力慎状态惨的概水念及层其描盼述课堂亏练习l课堂怜练习承受辣内压妈、扭盛转的袍薄壁湿圆筒务,试变从加疑强肋蠢之间睬取应饿力单袜元体第十曾章悬应复力状透态理歌论基肾础/代一僚应力织状态喝的概桃念及敬其描携述ｐＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十栋章位应扬力状区态理饿论基差础/既一链应力搁状态虚的概益念及耐其描叉述ｐｐ×酷Ｄ×羡ｌ第十练章留应夺力状份态理贡论基肉础/裕一民应力掩状态植的概栋念及毁其描旗述l第十警章霜应含力状虽态理以论基臭础/简一否应力仓状态沉的概观念及扮其描津述ltsms第十被章万应冒力状寻态理鲜论基作础/更一评应力急状态晨的概信念及邀其描粪述ｐ二敲平面好应力玻状态兰分析—数解从法第十克章覆应级力状右态理绑论基保础第十歇章等应脸力状冻态理岗论基慢础/距二袜平面欲应力苏状态宗分析—胞数解巾法1.而斜截踢面上尾的应尊力已知绢受力俭构件甘中的泽应力她单元悔体求垂是直于宿xy问面的服任意炮斜截戚面e滤f上剧的应钳力公式厨推导爸使用尊的符移号规党定：α角由x蛾正向摸逆时不针转倒到n破正向孩者为尚正；执反之住为负枕。正评应栗力拉应力为正压应力为负切塘应种力使单限元体搞或其诊局部驴顺时毅针方情向转弄动为遭正；圾反之过为负锋。第十伯章围应贱力状血态理容论基煮础/员二躲平面添应力挽状态用分析—柄数解脸法αα公式惨推导(1育)仓面受上的坦应力标：第十控章锣应缝力状跪态理室论基务础/赚二蹈平面资应力司状态伴分析—灯数解档法用斜截面截取，此截面上的应力为公式剃推导(2讨)徐面谊上的怎应力免：即单熔元体暴两个皇相互羞垂直煎面上的正套应力串之和员是一没个常泊数。即又裁一次衔证明奥了剪杆应力龙的互棕等定昨理。公式循推导(3丑)卵面上研的应获力之毕间的出关系煮：第十贸章蚊应蝇力状悔态理籍论基祝础/捆二乌平面土应力白状态碑分析—腹数解附法2.在何目处?砌该插处令,则:即:面上惕有第十宵章怕应毁力状题态理旧论基喷础/音二字平面史应力刊状态扔分析—判数解脑法在何关处?令得:任意纯(为瓜方便奇)令悲:可发轮现:基①正叉应力消极值折有两仁个方狡面②朵相差第十角章闭应昌力状备态理斥论基火础/港二死平面升应力错状态背分析—苦数解民法将坚代乱入尽式葛,得显然胆,在增面上3、=阳?专在驼何处罩？汉该处时σ=箩？令面上毁的正掌应力将:即:方位甚:大小虎:将倚代笔式帜,得跳:4、珠主平渴面、暖主应遥力、懂主应坛力的烤排列主平固面：子单元扇体中讽只有册正应暑力而潮没有想剪应通力的总平面涛称为剃主平面淘。主应床力：欣主平带面上祖的正柱应力在称为块该点尺的主书应力近。主应洁力的蚂排列夜：用代窝数值趋确定趟，排营列为、、三向弹（空脱间）烟应力档状态第十羊章颂应电力状茎态理伤论基珍础/蒙一安应力赵状态泄的概邮念及员其描年述5、部应力荒状态悬的分监类：平面昆（二勿向）训应力奥状态第十遮章警应脾力状朗态理骑论基叔础/蓝一删应力堵状态储的概屯念及慎其描安述xyxy单向关应力喉状态纯剪乳应力寸状态第十请章础应块力状矩态理匪论基莲础/然一协应力脑状态哨的概圣念及博其描絮述三向影应力御状态平面毫应力劣状态单向熟应力领状态纯剪妨应力邪状态特例特例第十路章业应凑力状爪态理板论基绸础/斧一矮应力号状态姨的概咏念及识其描鄙述一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题（1脖）斜糠面上偷的应网力解、皱(1初)斜面便上的毅应力（2凑）主魂应力主平脉面的留方位裂：哪个耽主应修力对森应于姥哪一表个主蚁方向渗，可两以采铁用以裤下方梢法：主应力的方向：主应力的方向：++图示唉应力双单元掌体，源试求叙斜面删ab驳和b还c上谜的应裤力。在二狸向应袭力状笨态下瞎，任鸡意两隶个垂蛇直面渗上，幕其σ腾的和静为一钟常数光。例题分析继轴向帮拉伸遥杆件丘的最挥大切夕应力凡的作龄用面客，说咬明低篮碳钢非拉伸将时发设生屈矿服的拿主要农原因址。低碳除钢拉梦伸时辨，其起上任欺意一供点都蝴是单概向应狂力状港态。低碳魂钢试身样拉块伸至调屈服缠时表获面沿块450出现舱滑移好线，秒是由辈最大颤切应拥力引棕起的笨。例题分析必圆轴榜扭转者时最朱大切父应力遮的作末用面苹，说怪明铸泳铁圆弱试样赔扭转蜘破坏炎的主潜要原笼因。铸铁哲圆试祝样扭计转试闲验时膛，正法是沿触着最习大拉头应力跟作用昌面（内即4欲50螺旋怪面）决断开岩的。绕因此屠，可腹以认粒为这衫种脆摆性破球坏是集由最赞大拉惭应力司引起遍的。例题三副平面族应力客状态恶分析—图解颗法第十荣章挠应丛力状观态理廉论基楼础1、旦应力污圆方呀程(1弄)(2舌)对(扣1)趣(栗2)元式两湾边平忧方，煌将两传式相续加，昨并利振用消去拦和睡，得(3桥)RR比照解析几何的曲线方程是一个圆心在(a.0),半径为R的圆，则是个应力圆的方程2.恐应力泳圆是牧个信壁息源努(从恒力学午观点资分析病）（1旬）若钞已知乌一个格应力恋单元烫体两袄个互透相垂修直面针上的鞠应力吧就一魄定可晨以作仆一个访圆，肝圆周大上的火各点跳就是奶该单必元体快任意星斜截父面粘上寇的应冤力。（2膜）平毅面应猛力状愧态下筹任意贼斜截递面蛾上养的应来力相殊互制疾约在赔圆周后上变常化。在σ-τ坐标煌系中胃，标催定与得微元陈A、棍D面上蚕应眠力对时应的情点a和d连ad交s

轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.申应力贝圆的才画法点面眨对应——查应力恼圆上蜓某一滑点的颤坐标锯值对无应着柴微元牌某一牺方向腿面上己的正汇应力趁和切赵应力4、慕几种败对应乏关系caA转向厨对应——半清径旋毅转方爸向与妥方向爽面法赢线旋栋转方脱向一奶致；二倍役角对止应——拨半径绳转过决的角迈度是等方向绩面旋溪转角度句的两翁倍。caDndxA2b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAsxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE（1定）对限基本蔑变形瓜的应秃力分般析单向阶拉伸5、盘应力稳圆的供应用单向海拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o45异º方向货面既页有正险应力志又有辈切应锁力，极但正量应力客不是原最大垮值，姜切应它力却毫最大慌。可见平：s-45ot-45ottotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºs45o＝tBE纯剪袋切（1粱）对程基本硬变形涝的应弹力分船析5、善应力突圆的讯应用BEttBE纯剪荣切s45o＝t5.势应力甩圆的类应用（2教）平圾面应臭力状跪态下牺求任合意截去面上美的应搭力点面蛋相对须应，煮首先唇找基间准。转向阴要相烧同，纵夹角泰两倍宴整。txsxsytytsoc20adAD主平仍面：τ=妈0,与应坚力圆木上和到横轴踩交点概对应每的面5、呼应力王圆的窜应用(3服)平滚面应抄力状拿态下芦主平好面、券主应后力及偷主方服向txsxsytyAD主应确力的盏确定tsoc2αoad5、执应力茎圆的物应用(3百)平理面应仇力状命态下询主平手面、鲜主应街力及及主方烂向主应疮力排共序：tsoc2qpadtsotso5、墙应力业圆的歼应用(3蚂)平眉面应检力状浸态下骂主平很面、芒主应梳力及美主方妻向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1os2s2(sx,txy)主方斑向的幸确定负号托表示熄从主环应力斧的正截方向到x轴的辩正方葵向为阻顺时镇转向g5、提应力耐圆的骨应用(3益)平穷面应大力状挥态下尘主平幸面、据主应木力及寄主方简向对应坚应力批圆上亿的最咏高点织的面净上切猎应力电最大挎，称凑为“开面内巾最大应切应挡力”。tma匪x5、胡应力条圆的芽应用（4臭）面误内最老大剪陷应力tsoc2oad例题试用荐应力取圆法西计算旧图示隆单元松体e棒--息f截违面上译的应忧力。笛图中腐应力纳的单答位为哭MP歪a。

例题一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。AD用应穷力圆能解法otscdfe解：主应壤力单移元体焰：三向疤应力节状态1.三向参应力散状态锋的概证念2.三向改应力监状态愿的应董力圆3.一点忌处的虹最大舍应力第十技章感应火力状缎态理厦论基划础空间放应力冒状态嫂：三痛个主翅应力趋均不缩慧为零野的应唱力状仔态s1s2s3四汽三向垦应力络状态聚/1僚.三程向应饲力状约态的夫概念szsxsytxty至少匹有一授个主箱应力氧及其单主方籍向已农知sytxtysxsz三向听应力冬状态她特例则的一斧般情隶形四柔三向题应力司状态厉/1息.三府向应斧力状殖态的搁概念tss3s2IIs1s2s3(1优)求缠平行向于σ1的方帅向面堪的应抢力σα、τα,其上冶之应迹力与σ1无关氏.于批是由σ2、σ3作出扯应力泡圆I四希三向拆应力恶状态摊/2六.三欠向应继力状走态的敬应力朱圆IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2春)求革平行毛于σ2的方四向面培的应郊力σα、τα,其上谅之应罪力与σ2无关步.于股是由σ1、σ3作出项应力迎圆Ⅱ四慰三向宪应力挺状态拆/2查.三赔向应朵力状绳态的僵应力薄圆IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3宾)求体平行款于σ3的方违向面硬的应祸力σα、τα,其上勿之应熟力与σ3无关渡.于令是由σ1、σ2作出建应力昨圆Ⅲ四挪三向萍应力啄状态矮/2祸.三检向应凶力状不态的奋应力宏圆s1s2s3(4倾)一初点处换任意滚斜截化面上码的应虚力σn、τn,其上择之应易力与σ1、σ2、σ3都有冠关.四鼓三向赌应力梢状态圈/2登.三虹向应豪力状煮态的刷应力削圆在σ-创τ平面变内,激代表摘任意傍斜截策面的勤应力凑的点买或位狗于应择力圆锹上,孔或位俩于三马个应诉力圆股所构怎成的浓区域浪内.IIIs3II四Is2s1Ots四画三向凝应力秧状态贵/3币.一帆点处皮的最挨大应伙力一点泰处最嚼大正桃应力榴与最拍小正横应力由σ1和σ3所作品成的村最大应力痕圆可趁见:IIIIIIs1s2s3tsOtszyxs2s1s3四狐三向床应力量状态炭/3珍.一低点处桨的最古大应到力(2彩)面呢内最饭大剪啦应力仇与一承点处标最大焰剪应疤力ⅠOtss3s2zyxs2s3四链三向刘应力押状态昏/3豆.一乒点处娱的最嫌大应跃力(2亿)面漂内最糊大剪饲应力伞与一抽点处成最大烘剪应浮力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四醉三向饥应力俊状态腹/3旱.一锤点处谢的最袜大应潮力(2授)面绪内最钳大剪墓应力析与一羞点处电最大关剪应退力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ四体三向夸应力讯状态完/3符.一鸟点处炭的最任大应誉力(2钉)面惊内最字大剪剃应力懒与一生点处影最大释剪应勿力Otxysx在三灯组特矛殊方蓬向面瓜中都鹊有各捧自的瓦面内杜最大泡切应移力,道即：四净三向阁应力饼状态搜/3啄.一宇点处轮的最下大应嘉力五危广楚义虎现克定农律1.横向街变形巡寿与泊竞松比2.三向释主应组力状录态的跟广义绕虎克脖定律3.三向产一般亮应力裕状态洁的广萝义虎吩克定斩律4.弹性闪常数E、G、μ之间修的关炮系第十眠章纽奉应妄力状衣态理挣论基伪础各向榴同性光材料往的广搞义胡稀克定蠢律1、惩横向琴变形掠与泊息松比胆（各久向同拳性材坏料）--泊松比yx2、释三向御应力播状态并的广辨义胡欣克定类律－苹叠加舒法++231231231231231231231分析叨：(1佩)即(2)当时，即为二向应力状态：(3)当时，即为单向应力状态；即最抗大与健最小遗主应泄变分狡别发蒙生在割最大驱与最卧小主点应力己方向炸。

若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：

yxz3.堆三向炒一般虑应力花状态纲的广窜义虎污克定背律4、峡三个丸弹性酬常数E、般G、μ之间撞的关斑系边长想为2泉0m妨m的认钢立境方体喂置于诸钢模宣中，捕在顶舍面上洞受力毯F=显14脏kN冻作用隶。已熟知，μ=0晚.3尸，假易设钢著模的启变形五以及脑立方仓体与虽钢模踪蝶之间询的摩估擦可昨以忽君略不盏计。棉试求贷立方归体各平个面徐上的眯正应笔力。例题某点侄的应禁力状耀态如瓜图所尸示,嗓当σx,σy,σz不变惑,τx增大包时,核关于镇εx值的细说法明正确闭的是币__堪__季.A.葡不变B.愁增大C.惹减小D.谨无法浙判定εx仅与僚正应代力有印关，扣而与羊切应驱力无邮关。靠所以佩当切成应力疲增大鞭时，肺线应稿变不邮变。例题一受帽扭圆歌轴,局直径沾d=绘20驳mm海,圆独轴的结材料兴为,铲E=楚20木0G箭Pa坊,ν井=0坚.3晶.现狭测得畅圆轴就表面针上与糠轴线挠成4站50方向数的应就变为舞ε=餐5.欣2×咳10-4,试法求圆亭轴所容承受忠的扭衔矩.例题已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出线应变。现测得轴向应变，45°方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。FmmFkuu45°例题解：（1蔬）K点处钱的应畅力状航态分恩析在K点取幅出单稿元体台：K其横渠截面荣上的久应力天分量挎为：（2早）计广算外且力F.由广蒜义胡屈克定鹿律：解得捎：（3悬）计智算外题力偶m.已知式中Ku由解得晕：因此六摔三朗向应屑力状竿态下崭的变妈形能1.体积次应变2.体积杜改变玻与形角状改苦变3.三向捷应力征状态烂下的徒变形院比能第十垂章痛应定力状竟态理跃论基烛础变形献前单铃元体男体积六希三离向应惩力状蹄态下王的变想形能允/1暮.体款积应岗变变形蒸后单松元体炭的各艘棱边