第20讲数学方法在物理解题中的应用（下）（原卷版）

第20讲数学方法在物理解题中的应用（下）【方法指导】1.数列是高中数学的一个重点，日常生活中的很多实际问题都可以利用数列知识进行求解，物理情境中也有很多问题与数列有关．某一复杂物理过程中如果同一物理情境重复出现，往往会涉及数学归纳法和数列知识的应用．高中物理涉及的数列知识主要有等差数列、等比数列、通项公式和前n项和公式的应用等．解题的基本思路分三步：第一步，逐个分析开始阶段的几个物理过程；第二步，利用数学归纳法寻找变化物理量的通项公式；第三步，应用数列知识分析求解．2.对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值，则当a＝b时，其积ab有极大值；若其积ab为一定值，则当a＝b时，其和a＋b有极小值．3.在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为E＝BLv，感应电流I＝eq\f(BLv,R)，受安培力为F＝BIL＝eq\f(B2L2,R)v，因为是变力问题，所以可以用微元法．【例题精析】如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和“S”型光滑细管道BCDE平滑连接组成，两段圆弧半径相等，B、D等高，图中θ角均为37°，AB与圆弧相切，AM水平。直轨道AB底端装有弹射系统（弹簧长度很短，长度和质量不计，可以认为弹珠从A点射出），某次弹射系统将直径略小于管道内径的弹珠弹出，弹珠冲上直轨道AB后，到达B点的速度大小为vB=7m/s，然后进入“S”型光滑细圆管道，最后从管道出口E点水平飞出，落到水平面上的G点（图中未画出）。已知弹珠的质量为m＝5×10﹣3kg，B点的高度h＝0.9m，细圆管道圆弧半径R＝0.5m，弹珠与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.1，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg（1）求弹射系统对弹珠做的功W0；（2）求弹珠落到水平面上的G点时EG的水平距离L；（3）若弹射系统对弹珠做的功W0不变，“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R可调，求弹珠落地点到E点的最大水平距离x；（4）若“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R不变，弹射系统对弹珠做的功可变化，小球每次返回A点时以原速度大小反弹，求弹珠在斜面上运动的最大路程s。（2018•浙江）如图所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可以调节的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速度释放，经过圆弧上的B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。小球运动过程中可以视为质点，且不计空气阻力。（1）求小球运动至B点的速度大小；（2）求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；（3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度；（4）小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等。求小球从C点飞出后静止所需的时间。【强化专练】如图所示，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与长度为8R的固定于水平地面的AB竖直管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P。经过观察发现：轻弹簧自然伸长时，其上端离B点距离为5R，一质量为m的弹珠静止在弹簧上端时，测得此时弹簧形变量为R20。某次缓慢下拉手柄P使弹簧压缩后释放手柄，弹珠Q经C点被射出，弹珠最后击中水平地面的某位置（图中未标出），不计一切阻力，弹珠可视为质点，直管AB粗细不计。弹簧的弹性势能满足公式：Ep=12kx2（k（1）调整手柄P的下拉距离，可以使弹珠Q经BC轨道上的C点射出，落在水平地面上的不同位置，其中与A点最近距离是多少？（2）若弹珠Q落在水平地面上离A的距离为6R，求弹珠Q离开弹簧前的最大动能是多少？（3）若直管AB可以自由伸缩，且圆弧轨道下端始终和管上端保持相切相连，现下拉手柄P使弹簧的弹性势能为Ep＝10mgR，则弹珠Q弹出后击中水平面上的位置距A的最大值。如图为某款弹射游戏的简化示意图，水平轨道OAB及EF处于同一水平面上，其中AB段粗糙，长度xAB＝3R，动摩擦因数μ=13，其余部分均光滑，EF段足够长。竖直平面内固定两光滑14圆弧轨道BC、CD，半径分别为R和2R，其中R＝0.8m，BC、CD间存在缝隙，恰能使弹射小球无碰撞通过，间隙大小可忽略，圆弧BC与水平轨道AB相切于B点，E点恰好位于D点的正下方。已知弹射器的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，可视为质点的弹射小球质量为m＝0.1kg，当弹簧压缩量为Δx时，恰能运动到C处，g取（1）压缩量为Δx时，弹簧的弹性势能Ep；（2）当弹簧压缩量增加到2Δx，小球运动到D点时对圆弧轨道CD的压力；（3）在（2）题条件下，调整CD弧的半径，求落点距E点的最远距离。如图所示，水平面AB段光滑、BC段粗糙，右侧竖直平面内有一呈抛物线形状的坡面OD，以坡面底部的O点为原点、OC方向为y轴建立直角坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y=15x2，一轻质弹簧左端固定在A点，弹簧自然伸长状态时右端处在B点。一个质量m＝0.2kg的小物块压缩弹簧后由静止释放，从C点飞出落到坡面上。已知坡底O点离C点的高度H＝5m，BC间距离L＝2m，小物块与BC段的动摩擦因