数学概念应是自然的、清楚的

数学概念应是自然的、清楚的——谈函数单调性的教学董海涛安徽省阜阳市第三中学（236006）概念是反映事物本质属性的思维形式，数学概念是数学的细胞，是数学理论的核心和灵魂，因此，理解和掌握数学概念是提高数学教学质量和教学水平的关键.“函数单调性”是高中数学的核心概念，对刚进入高一学习的学生来说，是至关重要的一节课：学生第一次接触如何严谨地表述数学概念.小学、初中阶段，对数学概念几乎都是采用直观地定性描述，如何客观地定量地表述函数单调性，不仅是本节课的难点和重点，还直接关系到学生对数学的认识.因此，如何设计问题，自然、清楚地得出函数单调性的形式化定义，体现了教师的教学智慧.可惜的是，在实际教学中，我们还是发现对这个核心概念，教学存在的普遍现象：“告诉教学”！不是吗？.发表于“课例大家评”中的教学案例实录近期某数学专业杂志发表了课例”函数单调性”［1］下面实录概念形成环节：“抽象概括，形成概念（为节省篇幅，创设情境，引入课题环节略）教师：我们的任务就是要从以上事实中找到共同的规律，通过提炼总结和抽象概括实现数学化，形成数学概念，基于此构建出系统的数学理论.先看一个大家熟悉的例子，函数J=（X-2）2-2，其函数值在哪一段是递增的，在哪一段是递减.学生：在区间（-8,2］是递减的，在区间12,+8）上是递增的.教师：我们以前研究过许多函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等，都可以从这个角度来进行研究.教师：数学研究讲究的是精细、严谨、规范，像这样通过观察图形直观地进行判断，就显得过于粗略而不符合数学的要求了.学生：递增的意思是指：“函数值随自变量的增大而增大”，递减的意思是指：“函数值随自变量的增大而增大”.教师：有很大的进步，但还不符合要求，必须用自变量和函数值大小变化的关系来刻画“递增”和“递减”.教师(给出填空题)：设函数y=f(x)的定义域为A，有区间I之A，如果对于I内任意两个值x1,x2，设x1<x2，(横线内的内容为学生所填)(1)若都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间I上是单调增函数，I是函数f(x)的单调增区间；(2)若都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间I上是单调减函数，I是函数f(x)的单调减区间.如果y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间.”(实录完).课例中反映出的“快节奏概念教学”令我们遗憾在课例中，学生指出“递增”的意思是“函数值随着自变量的增大而增大，“递减”的意思是“函数值随着自变量的增大而减少”，这种定性描述是符合学生认知水平的，此时教师的任务是引导学生定量地表示函数图象的这种变化趋势，可惜的是，执教者却生硬地要求学生“必须用自变量和函数值大小变化的关系来刻画递增和递减”，更可怕的是，教师紧接着端出了“函数单调性”的定义，采用的是司空见惯的“填空式”，也就是挖掉概念中关键的字眼，让学生做“填空题”.老师啊，你这样的概念教学可曾顾及学生的感受：“为什么要这样定义”？“这样定义的目的是什么”？“噢，数学就是这么不讲理，记住定义，会背就行了”……执教者如此热衷于快节奏地告诉学生函数单调性定义的目的是什么？在接下来的“思维训练提升能力”环节，我们找到了答案：为大剂量的训练留足时间，试图穷尽题型而提升学生的应试能力.课例中，执教者舍弃了“课本基础题”，而另外给出了4个例题.借用章建跃博士的一句话，“快节奏的概念教学是造成豆腐渣人才的祸根，是教学大忌”[2].3.对函数单调性的教学设计片断“数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的、水到渠成的、浑然一体的”[3]，而且数学概念还是清楚的.它的形式化表达不能理解为“无理可说记住就行”，数学教师一定要把“讲清楚数学概念”作为一种基本追求.高一学生对函数单调性的认识是有基础的.初中阶段，已有“函数图象从左向右是上升（或下降）”的直观感受，这实质是函数单调性的图形语言，进而用文字语言概括为“函数值随自变量的增大而增大（或减少）”.本节课要研究的是：对这种运动变化的文字语言描述，如何抽象为符号语言表示.形式化是数学的基本要求，学习形式化的表达更是对学生学习数学的基本要求，也是数学追求严谨和理性精神的必然体现！函数单调性形式化定义的教学中，绝对不能采用简单的填空式教学，粗暴地告知学生了事.事实证明，这样“快节奏教学”的后果就是学生只会模仿，不会思考；只懂积累，不懂归纳；只能螺旋，不能上升学生能凭感觉知道定义中有哪些关键词，但是对“任意”所承载的“无限”含义，其实是不理解的.“函数单调性理解上的困难在于它的无限背景……，迄今为止，在教材和教学中，大多没有明确指出函数单调性中的无限特征，学生只能靠自发感悟其中隐藏的无限背景[5]”基于以上认识，就“抽象概括形成概念”环节，笔者提供以下教学片断，供参考.师：我们先来看几个大家熟悉的函数和它们的图象：①[二七=2三一3,工ER,②=/个三：0,一③=—,XE（O,-^i.问题1：这些函数图象有什么共同特征？你能用文字语言描述这些特征吗？生1：从左向右看，这些函数在指定区间上，图象在上升用文字语言描述就是：函数值f（x）随着自变量x的增大而增大.师：很好！你能告诉我们这个函数的图象（故意在黑板上画一条貌似上升的曲线），从左向右看是否在上升吗？（学生争论不休，产生了严重的分歧）师：看来，利用函数图象或者文字描述都过于粗略而不能服众啊.借用古希腊人常说的一句话：我不和你争吵，我算给你看.（学生笑）师：”从左向右看，函数图象在上升”，换句话说，是不是“函数图象上任意两点，右边的点总比左边的点高”？生众：是！师：问题2：以：（工）=xL*三：0,—工）为例（在函数:（XJ=x:.x三工）图象上标出点A和点B），你怎么描述右边的点A总比左边的点B位置高？（见学生茫然，进一步提示）师：在平面直角坐标系中，我们如何刻画点的位置？生众：用点的坐标刻画点的位置！师：下面请大家思考问题3：如何描述点A是点B右边的点？如何描述点A比点B的位置高呢？（学生讨论、交流，5分钟后有学生要求发言）生3：设A\"B（xe..VeJ用x,二:工说明A是点B右边的点，用、〉门.说明点A比点B的位置高.师：非常聪明！用数量关系代替了位置关系.注意到这里的点A、B是具体的两点，能这样无限取点说明“函数图象上任意两点，右边的点总比左边的点高”吗？生4：不能！也穷举不完啊.师：问题的关键就在于如何完成对“所有点”的验证.即在区间[0,+s）上任取[>xJ…〉xn>…，判断总有f（x1）>f（xJ>…Af（xn）>…成立.如何完成这项艰巨的任务？生：……（学生沉思.考虑到学生实际认知能力，由老师揭晓谜底）师：我们可以考虑利用不等式的传递性担当此任！我们知道：如果a>b,b>c,则a>b>c.于是上式中的无限含义就可用下面的形式来完成：在区间R-内任取变量x1,x2，当x1>x2，时，总有f(x1)>f(x2).因为这里的x1,x2既可以代表Xj%,也可以代表XB,XC,,以此类推出：当X^>XB>XC>…时，总有f(x^)>f(XB)>f(XC)>…，说明函数f(X)=x2,xeb,+8)图象上任意两点，右边的点总比左边的点位置高.(学生紧锁的眉头舒展了，露出了欣慰的笑容.)问题4：反过来，对于任意的X],x2e[0,+s)，当f(x1)>f(x2)时，都有X1>x2，能否说明函数图象上右边的点(x,f(x))总比左边的点(x,f(x))位置高呢？1 1 2 2生：能！师：此时，我们说函数:(工)=工二三三'"。「工)上是单调递增的，O一3是函数f(x)的单调增区间.推而广之，你能用自己的语言给函数f(x)在区间I上单调递增下个定义吗？(师生共同完善函数在区间上单调递增的定义，单调递减的定义已水到渠成，由学生独立完成.以下教学过程略.)这样，师生共同经历定义的得出过程，不仅冰释了学生心中的疑团，最重要的是学生经历了数学概念产生的自然过程，感受到了数学严谨、理性的学科精神.4.几点反思章建跃博士说过：“一个处于核心地位的中学数学概念，是中学数学知识结构中的联结点，由其反映的数学思想方法是联系数学知识的强力纽带”[4]夸美纽斯在《大教学论》中指出：“如果不教明概念，便是教的不好的”.如何才是“教明概念”呢？4.1数学概念是自然的概念教学中要讲清概念是怎么来的，怎样定义的，为什么可以这样定义.作为教材，“函数单调性”定义呈现是直截了当的，但作为课堂教学，教师要凭借自己的教学智慧和对教学内容的理解，对数学概念进行创造性的加工，把原本冰冷的静态的数学概念转化为火热的动态的教学内容，让概念自然地水到渠成地生成，而不是像“魔术师帽子里跳出来的兔子”一样让学生感到突兀和神奇.4.2数学概念是清楚的数学定义是人为规定的，但人为规定的定义就没道理可说吗？具体到“函数单调性”定义，从直观的图形语言到定性的文字语言，再到抽象的符号语言，形式化地定量描述，概念的发展完善是那么清楚，显示了数学学科严谨的特点，对学生感悟数学、理解数学是很好的素材.数学是一门讲推理讲逻辑的学科，数学概念必然是在继承基础上的发展，讲清楚数学概念从哪里来、到哪里去，与以往知识的兼容性如何，是我们一线数学教师义不容辞的职责！没有过程就没有思想，思想寓于过程之中.数学概念教学要舍得在过程上下工夫，千万不能在概念教学上采用快节奏，要把概念从哪里来、到哪里去、有什么用、与已有知识的联系与构建过程，通过创设情境，提出问题，自然清楚的呈现出来，这样才是有效的教学，才是生态的教学，才是概念教学的本源！参考文献[1]高敏，黄安成.课例：函数单调性[J].中学数学教学参考：上旬，2014(6):21-23[2]