第10讲垂直问题专题2020年中考数学二轮冲刺核心重点难点热点15全国通用解析版

一线三垂1：若∠B∠D∠ACE=90ACEC，则△ABC△CDEAAS2：若∠B∠D∠ACE=90ACEC，则图 图射影定3/4Rt△ACB中，∠C=90CDAB

AB三竹竿的平方等于各自的两个地面之积巧记：每条竹竿平方等于地面上的点出发的两条线段之积图 图1/2/3Rt△ABC的直角顶点，作一条直线lA,C图 图 图⊥CDA、B、C、D除上述“三垂直相似”外，如图5，当见到矩形ABCD中，EF⊥HG这种“垂直”时，分别（﹣1，2，C的坐标 【解析】AAE⊥xEBBF⊥⊥xFAAN⊥BFN，CCM⊥xM，∴＝＝在△ABN和△OCM中，∴△ABN≌△OCM（AASA（﹣1，2，（3，【例题2】如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，∠A＝30°，则k的值为 AAN⊥xNBBM⊥xAy（x＞0，ON•AN＝1．∴△MBO∽△NOA，＝＝＝又∵第二象限的点B在反比例函数y＝上故答案为﹣．【例题3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝ ，则另一直角边BC的长为 OOM⊥CACAMON⊥BCABCD在△AOM和△BON∴O点在∠ACB∴△OCM2：过D2：过DCB延长线的垂线，垂足F，连OF，构造一线三直角计算。12使得∠APB=90P的坐标；若不存在，请说明理由P10215

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15 5 5 【例题5】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每t秒（0＜t＜2PQ．若△BPQ与△ABCtAQ、CPAQ⊥CPt①当△BPQ∽△BAC时，∴，解得②当△BPQ∽△BCA时，∴t＝1或时PPM⊥BCM，AQ，CPN，如图所示：PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，∴ t＝如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，PxP的坐标为（m，0PxlQ．ABCBD当点P段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四PQ，使△BDQBD为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．（1）∵x＝0∴C（0，2∵令y＝0得：﹣＝0，解得∴A（﹣1，0，B（4，0D（0，﹣2BDy＝kx﹣2．∴直线BD的解析式为y＝1QM＝CDCQMDm+2，m﹣2∴﹣m2+m+2﹣（m＝2CQMD存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2∵△BDQBD，∴Q（3，2∴Q（8，﹣18（﹣1，0Q的坐标为（3，2（8，﹣18（﹣1，0B（2，0PCOBPSS2MBCxQ，使△MQC为等腰三角形且△MQBQ的坐标；若不存在，请说明理由．由对称性得：A（﹣1，0y＝a（x+1（x﹣2C（0，4）代入：4＝﹣2a，∴y＝﹣2（x+1（x﹣2P（m，﹣2m2+2m+4，∴S＝S梯形+S△PDB＝m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4（2﹣m∴SS大Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0B（2，0BC的解析式为：y＝﹣2x+4，M（m，﹣2m+4在Rt△OBC中，BC＝＝＝2∴， ﹣8，0∴＝＝，0解法二：当∠QMB＝904MMF⊥OBF，Q（n，0 综上所述，Q点坐标为（4﹣8，0）或（﹣，0Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45DBC的中点，CE⊥ADE，ABFDF．求证：∠ADC＝∠BDF．BG⊥CBCFG在△ACD和△CBG，∴△ACD≌△CBG（ASA在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SASA（0，4）yB（b，0）x轴上一动点，且ABCAB为直角边，BC的坐标（b的式子表示xCCBC′、AC′，请把图形补充完整，并求出△ABC′的面积（b的式子表示；（1）CCE⊥x∵△ABC∴∠ABE＝∠BCEA（0，4B（b，0C坐标CC'xC'4+，﹣b，'⊥x×（4﹣b（4+b）﹣×4×（﹣b∴S△ABC'＝8﹣B在运动过程中，∠OAC′的度数不发生变化，AAF⊥EC'F，AOEFA（﹣1，0，C（1，3，AC⊥BCCl∥xAE⊥lE，BF⊥l∵△ACB∴B（4，1ABCDH，E，FAB，BC，CD上，AE⊥HF3AB＝2，BH＝DFHFF90MFAMAM的最小值为（直接写出结果（1）1HM⊥CDABCBCMH∴△ABE≌△HMF（ASA2∴tan＝∴＝ QBCFQADKJ都是矩形，△FQH≌△FKM（AASMNM，∠NAP⊥MNP，AMAP重合时，AM的值最小，Rt△APN22＝x2+4x2，∴AM的最小值 （1）；（2）在△ABCDABEBCAE⊥CDF∴（2）解：①2DDH⊥BCH，∴＝＝在Rt△BDE中，tan∠B＝＝，BH＝3aDH＝5a，在Rt△ABC中，tan∠B＝＝∴＝＝②3DDM⊥BCMAAN⊥BCN，Rt△ABNDM＝2x，Rt△DBMBD＝＝∵＝ A，B的坐标为（4，0）时（如图2，B的坐标；（1）AAC⊥OBx∴△AOB∴A（2，2将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，则反比例解析式为y＝；AAE⊥xB在△AOE和△BAD，∴△AOE≌△BAD（AASB（m+n，n﹣mmn＝（m+n（n﹣m整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0，∴＝则＝如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A、B两点，点C为第三象限内一点（a，3当k＝﹣，且CA＝CB，∠ACB＝90°时，求C点的坐标（m，n（1）A在反比例函数图象上，所以3＝﹣，解得a＝﹣2；COAD⊥yDCEyE在△ADO和△OEC由k＝﹣时，∴y＝﹣∵点A是直线y＝kx与双曲线y＝﹣的交点，所 ，解得∴A点坐标为（﹣2，3C（﹣3，﹣2）COAD⊥yDCE⊥yE又∵△ABC∴＝（m，nm，mn＝18在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为 如图①，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC为智慧角，A（3，0Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A∴AB＝45°；2CCD⊥ABD．Rt△ACD中，∠A＝45°，Rt△BCD ＝∴△ABCBBE⊥xECCF⊥EBEBFCCG⊥xG，则∠ ∵BE＝，C（1+a，∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上 （3+a）＝（1+a（+a）＝k．解得：a1＝1，a2＝﹣2（舍去 ②当∠BAC＝904CCM⊥xMBBN⊥xN．∴△ABC∴△MAC≌△NBA（AAS，C（3﹣∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上B（1，0yCMMA＝MB＝MCME4tan∠ABE＝11tan∠ACBE的坐标（1）A，B的坐标代入函数解析式，得，解得，yy＝﹣2x2﹣4x+6，C（0，6MAB的垂直平分线上，MAC的垂直平分线上，M（﹣1，x（﹣1+3）2+x2＝（x﹣6）2+（﹣1﹣0）2，解得∴若MA＝MB＝MC，点M的坐标为（﹣1，①ADA⊥ACy