平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等图片版

平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。二、基本理论(-)平面向量共线定理已知第二及赤十〃泥，若7十“二1,则4RC三点共线：反之亦然(二)等和线平面内一组基底石，加及任一向量方，万二几方+〃砺若点户在直线月8上或在平行于月3的直线上，则2+“=*(定值)，反之也成立，我们把直线.46以及与直线,48平行的直线成为等和线。(1)当等和线恰为直线,48时，才=1；(2)当等和线在。点和直线川之间时，Ag(OJ)：(3)当直线AB在O点和等和线之间时"w(I,十⑹； 乙o(4)当等和线过。点时，A=0；(5)若两等和线关于。点对称，则定值K互为相反数；(6)定值“的变化与等和线到。点的距离成正比：(三)等差线平面内一组基底万I丽及任一向量而，而=2勿+〃55(4〃wR),c为线段.43的中点,若点P在直线OC上或在平行于。。的直线上，则几-〃=依定值).反之也成记,我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线.(1)当等差线恰为宜线时，k=o： .(2)当等差线过N点时，A-=1； /Xrz(3)当等差线在直线OC与点/之间时，〃£(0,1)；(4)当等差线与8/延长线相交时，斤式1.+8卜 "S/ "(5)若两等差线关于直线。C对称，则两定值A互为相反数:

（四）等积线平面内一组基底工I砺及任一向量而，而=2忘+〃而（4“e犬）,若点P在以直线0408为渐近线的双曲线上，则由为定值左，反之也成立.我们把以直线OA.OB为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在403内时，k>0；⑵当双曲线的两支都不在4。』内时,Jt<0：（3）特别的，若方=（%以。后=（出一方），点P在双曲线X2X2/ 二 a2b2\(a>0,方>0)时,（五）等商线平面内一组基底而，砺及任一向量而，。声=4石+〃加（2〃£氏），若点尸在过。点（不与04重合）的直线上，则4=双定值），反之也成立。我们把过点O的直线（除。/外）称为等商线。（1）当等商线过■中点时，k=\i（2）当等商线与线段.4C（除端点）相交时,4e（l,+Qo）：（3）当等曲线与线段8c（除端点）相交时，A-e（OJ）；（4）当等商线即为08时，4:0:（5）当等商线与线段3/延长线相交时，A-e（-oo-l）：（6）当等曲线与线段43延长线相交时，女£-1.0）；（7）当等曲线与直线46平行时，#=一1:（六）等平方和线平面内一组基底万I丽及任一向量。户.而=北面十"画L"ER）、且网二网.若点P在以乙108角平分线为半长轴的椭圆上,则胃+炉为定值£.反之也成立，我们把以以乙408角平分线为半长釉的辆圆称为等平方和线。

特别的，若人=（。⑹而=（&町点尸在双椭圆。片—）时,k=-2三、解题步骤I、确定等值线为1的线：2、平移（旋转或伸缩）该线.结合动点的可行域.分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值：I、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致.本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五，典型例题例1给定两个长度为1的平面向量为利”・营］的岁为120。，如图所示.点C在以O为圆心的圆弧器上变动.若岳=•，刀+】‘命.其中-则x+y的最大值是.答案：2例2在正六边形4B8EF中，尸是三角形。E内（包括边界》的动点，设AP=x75+yAF，则r+y的取值范围F0答案：［3,4］21

例3如图，在平行四边形ABCD中.M、N为CD边的三等分点,S为AM与BN的交点，P为边AB边上一动点，Q为△SMN内一点（含边界），若PQ=1而+y威则工♦y的取值范围是.例4梯形中，ADLAB,工D=DC=1.AB=31为三箱形BCD内一点（包括边界）,AP=xAB^yAD＞贝h个尸的取值范围例5设分别是的边"艮"上的点‘"总他8£4加,若z）E=4而+4就（44为实数），则4+4的值为.（注：此题为13江苏高考版第8题，但点£为三等分的条件其实没有必要，可舍）答案」2例6在正方形/中，E为8。中点・P为以KS为直径的半圆弧上任意一点,T&Je=j(7d+yAP,则2x+y的最小值为.例7在正方形.488中.E为48中点.尸为以上为圆心,为半径的圆弧上的任意一点，设AC=xDE+-yAPJTJx+j的最小值为的任意一点，设AC=xDE+-yAPJTJx+j的最小值为答案:5痴答案:5痴#13例8已知所卜网=1,而=丽+ydH（工,y为实数3若△尸MV是以M为宜角顶点的直角三角形,则x-y取值的集合为答案：{1}例9已知椭圆『二十二二］的上顶点为人直线y=-4交椭圆于仇C（B在10025C的左侧），点尸在椭圆£上,若〃尸=加8/+〃4c.求阳+〃的最大值例10已知0为&46C的外心,若出0.0）出2,0）,,4。=1.4"二三且AO=AAB^pAC.则2+〃=答案:13答案:13fl.-VL!r:n==n例11已知O为a48c的外心，cosABAC=-.AC)=AAB+pAC®J”*〃L=答案：44例12平面内有三个向量加、万、次，其中与济与赤的夹角为120。,瓦i与玩的夹角为30°,且|济|=|而|=1,|了|=2万，若n=加。5+〃。氏则m+“的值为 答案；6,0例13如国，4氏C是圆。上的三点，CO的延长线与线段84的延长线交于阿O外的点0,若反=/〃6J+刀无，则〃“〃的取值范围为.答案：(-1,0)例14在平面直角坐标系中,双曲线「的中心在原点，它的一个焦点坐标为(返0),颔二(2,1)、&=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线「上的点P,若丽=蒜+痘(a"eR),则“、。满足的一个等式是.答案：Aab=\例15已知网=1,同=JI万5•施=0,点CdZOB内，且4℃=30”,设OC=mO4+I1OB,则—的值为.

例16如图，倾斜角为e的宜线°尸与单位圆在第一象限的部分交于点尸,单位圆与坐标轴交于点4-LS,点8(071),周与＞'轴交于点N,与x轴交于点M,设= +y而(“”及),求x+y的最小值。答案：72例17如图，在扇形OAB中，ZAOB=606,C为瓠AB上且不与A、B重合的一个动点，OC=xOA^yOBT若＞0)存在最大值，则幺的取值范围为.答案，(3)例