知识讲解-直线、平面垂直的性质-基础

直、面直性【习标1．掌握直线与平面垂直的性质理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【点理要一直与面直性基本质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直.符号语言：图形语言：

ll性质理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平.符号语言：图形语言：

ll//．直与面直其性（）两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（）

l

于

A

，

APl

，则

AP

．（）直于同一条直线的两个平面平行．（）果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要诠：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直系的相互转化．要二平与面直性．性定文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂.符号语言：

m,lll图形语言：

要诠：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法决二面角问题中作二面角的平面角经常用到种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．．平与面直质理推如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平内．要三垂关的合化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【型题类一直与面直性例．设，b为异面直线，是们的公垂线（与异面直线都垂直且相交的直线（1若a平行于平面求证：AB⊥；（2若a别垂直于平面

，

，且

，求证AB．【思路点拨）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB可先证明线与线的平行）于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB．证明）如图1

内任取一点，直线a与P确的平面与平

面交线为直线b与P确的平面与平面交线为∵∥b∴∥∥b又∵AB⊥，⊥，∴AB⊥aAB⊥∴AB⊥．（2如图，过B作BB＇⊥

，则AB⊥又∵AB⊥b，∴AB垂于由b和BB＇确的平面．∵b，⊥c，∵BB＇⊥，BB⊥．∴c也直于由BB＇和b定的平面．故c∥AB【总结升华】由第）问的证明可以看出利用线面垂

直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举反：【变式】设

l

，是条不同的直线，一个平面，则下列命题正确的是（）A若l⊥，，则l⊥．l⊥，l∥，则m

C．l∥，m则l∥mD若l∥，∥，则l∥【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高：间线垂398999例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中PA底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中．（）明：AE⊥CD；（）明：PD⊥平面ABE．【思路点拨由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CDAC，故⊥PAC，从而证得CD⊥AE；（）等腰三角形的底边中线的性质可得⊥PC，由（Ⅰ）知⊥，而AE⊥面PCD，⊥，再由AB⊥可得PD⊥面ABE。【解析）证明：在四棱锥P-ABCD中，⊥底面ABCDCD⊂平面ABCD，∴⊥．又CD⊥AC，PA∩AC=A，CD⊥PAC，∵AE⊂PAC，CD⊥AE．（）明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°可得，∵是PC的中，AE⊥，由（1）知CD⊥，而AE⊥面PCD，AEPD．由（1）知，⊥，PC∩CD=C所以AE平面PCD而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面，在底ABCD内的影是AD，ABAD∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举反：【变式】如图，已知矩形A，过A作⊥平面AC，再过AAE⊥交于，作EF交于F．（1求证AF；（2若平面交G求证：⊥SD【解析】

证明）SA平面AC，

平面AC，⊥BC．∵四边形ABCD为形，∴ABBCBC⊥平面SAB⊥AE又AE⊥，∴AE平面SBC∴AE⊥SC又⊥SC，SC平面AEF，∴AF⊥SC（2SA平面AC，∴⊥，又⊥DC，∴DC平面SAD，∴DCAG又由（1）有⊥平面AEFAG

平面AEF∴⊥AG，∴⊥平面，AG⊥．【变式22015秋葫芦月考）如图，四边形ABCD矩形，AD⊥平面ABEAE==，为上的点，且BF⊥平面ACE。（1）求三棱锥—的体积；（2）设M线段上，且满=2MB试在线段上定一点，使得MN平面DAE【思路点拨转化顶点，以平面为底，则中O连接，因为OE⊥OEAD得到⊥面ADC，所以为底面上高，分别得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；（2）在ABE中M作MG∥AE交于G点，在△中点∥BC交于N点，连，证明平面∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论。【答案）

43

（2详见证明【证明】取中O连接，因为=，所以⊥。因为AD面，OEABE，所以OE⊥AD所以⊥面ABD。因为⊥面ACE，AE因为CB面，AE

面，所以⊥。面ABE所以⊥。又BF∩=，以⊥平面。又，以⊥EB。所以△等腰直角三角形，所以

2

，所以AB边的高OE为

2

，所以

AEC

EADC

14233

。（2在ABE中M点MG∥交于G点，在△BEC中点GN∥交N点连，所以

13

。因为MG∥AE，MG平，面ADE，所以MG∥平面ADE同理，∥面ADE且与交于G点所以平面MGE平面ADE

又

平面MGN所MN∥面ADE所以点线段CE上近C点一个三等分点。类二平与面直性高：间面垂例．如果两个相交平面垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．【解析】已知：

，求证：l证法如（左

内取一点作垂于

与

的交线于A垂于

与

的交线于B，则⊥PB⊥∵

l∴l⊥PA，l⊥．∵PA

，PB

，∩PB=P∴

l

．证法：如图（右

内作直线m直于

与

的交线，在

内作直线n直于

与

的交线，∵

，∴

m

，∴∥n又n∴∥∴∥l∴l证法：如图，在

l

上取一点A，过A作直线m使

m

．∵

，且

Al

，∴

．同理

m

∴，即l与m重合．∴

l

．【总结升华】证法、证法都利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法、证法的关键．证法利用两个平面垂直的推论，则较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论．举反：【变式】如下图，已知⊥平面，二面角APB—是二面角．求证AB⊥．

证明二角A—PBC为直二面角平面⊥面且PB为线．在平面PAB内过A作AD⊥PBD为足（如图则⊥平面CPB，又BC面CPB，所以ADBC因为⊥平面ABC，BC平面ABC所以⊥，又∩AD=A，因此，BC平面PAB，又AB

平面，所以AB．【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面利用它可以作出二面角的平面角、直与平面所成的角、平面的垂线等．类三综应例如图在面是正方形的四棱锥PABCD中⊥面交AC于F是中，G为上点。（1求证⊥；（2确定点在段上位置，使FG∥平面PBD并说明理由；（3当面角B—的小为切值。

23

时求PC底面所角的正【思路点拨）要证BD⊥，证BD平面可。（2确定点在线段AC的位置，使∥平面，FG平面内的一条直线即可。（3当二面角—PC—D的大小为

3

时，求与面所角的正切值。只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果。【证明）PA⊥面ABCD，四边形ABCD是方形，其对角线，AC交点E，∴PA，ACBDBD⊥平面PAC，∵

平面PAC，BDFG（2当为中，即

AG

34

时，∥平面PBD，理由如下：连接，由为PC点，G为中，知FG，而FG

PBD，

平面，故FG平面PBD。（3作BH⊥于H连接，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是方形，∴PD，又∵DC，PC=PC∴△PCB，∴DH，且=，∴∠就二面角B——的面角，即

BHD

3

，∵PA⊥面ABCD，∴∠是PC与面ABCD所成的角

连接EH则⊥BD，

3

，⊥，∴

tan

EH

3

，而BE=EC∴

EH

3，

EH2，tanPCA

，。∴PC与面ABCD所角的正切值是举反：【变式12016山潍坊模拟）如图已知等腰梯形中，∥，

AD

12

，M是中点N是与的点，BCM沿BM向的翻折成△，使平面⊥平面ABMD（1求证⊥．（2若为的中点．求证：EN平面PDM【证明）结AM，∵M是CD的点，

12

，∥，∴四边形平行四边形，四边形是行四边形，∴是BM的中点BMAD又，∴△BCM是边三角形，PBM是边三角形，∴⊥BM∵平面PBM⊥平面ABMD平面PBM平面ABMDBM，平面PBM，∴⊥平面ABMD，∵面ABMD，∴⊥．（2连结，∵E是的点N是的点，∴∥，∵PC

平面，EN

平面PDM∴∥平面PDM【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直——线面垂直——面面垂直来实现．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．【变式】如图在四棱锥

P

中，底面

ABCD

为平行四边形，ADC

，

AD

，

为

中点，

PO

平面

ABCD

，PO，为PD中．(证明：//面ACM；(证明：AD面；(Ⅲ)求直线

AM

与平面

ABCD

所成角的正切值．【解析】Ⅰ连

BD

，

MO

．在平行四边形

ABCD

中，

因为

为

的中点，所以

为

BD

的中点．又M为PD的中点，所以//MO．因为PB平面，平ACM，所以平ACM．(因为

ADC45

°，且

ADAC

，所以

DAC90

°，即

ADAC

，又

P