求点到平面距离地基本方法

实用标准文案求到面离基方北京农大附中

闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例（2005年福建高考题）如1，直二面D，四边是边长2的正方形，AEEB，CE上的点，且面ACE.(Ⅰ)求证：AE(Ⅱ)求二面角AC的大小；(Ⅲ)求点D到平面的距离.DCFA

BE图1(Ⅰ)、(Ⅱ)解略，(Ⅲ)解如下：一、直法利用两个平面垂直接作出点到平面的距离.如2,离.

,,AMl,则AM.AM为点平面的距图2精彩文档

解：如图3，过作∵平面BCE面，

实用标准文案，连DG,CG，则平∥平BCE，∴平面ADG平面，作垂足H，DH平面.DH是D到平面ACE的距离.在Rt中

AD22.AG63GD

CHFA

BE图3二、平线法如图4,l,l,Bl上任意一,,BN则AMBN点到平的距离转化为平行于平直l平的距离，再转化为直l上任意一到平的距离.图4解：如图，过点D作DM连CM，则DM∥平面ACE，点D到平面距离转化为直线DM到平面ACE的距离，再转化为点M到平ACE的距离作MN,垂足为，精彩文档

实用标准文案∵平面ACE，∴平面ACE，∴MN是M到平面ACE的距离.在中，MN

EM222CE63D

CMNFA

BE图5三、斜法利用平面的斜线及三角形相似,化为求斜线上的点到平面的距离.如图67,

lO

，ABAM,,若

AOBO

,AM.点A到平的距离转化为求直l上的到平的距离.图6

图7解：如图BD与的交点Q，即平面，∵DQBQ，∴点D到平面ACE的距离与B到平面ACE的距离相等.∵平面面BF面ACE，∴BF是点到平面ACE的距离.精彩文档

在BCE中，BF

实用标准文案BC223.CE6D

CQFA

BE图8四、线角法如图9OP为平的一条斜线AOAlOP所成的角到平的距离d，则由斜线和平面所成的的定义可知，l

.经OP垂直的平面相线OP成的锐角就OP所成的这里并不强求要作A上的射B，连OB图9解：如图，面，∴平面，BQF为DQ面A为,点D面A距离d

.66由(Ⅱ)知二面角BE的弦值为，.3∴到平面ACE距离2精彩文档

6.3

实用标准文案DQ

CA

FE图10

B五、二角法如图11所成二面角的大小la点到平的距离AO，则有.就是二面角的大小，而不强求作出经过AB的二面角的平面角.图11解：如图12平面平面AC，DQ平ACDDQAC，设二面角DACE的大小则点D到平面ACE的距d66由(Ⅱ)知二面角BE的弦值为，.36.∴到平面ACE距离23

.精彩文档

实用标准文案D

CQFABE图12六、体法解：如图，过AB交AB于,∵二面角D直二面角，∴⊥平面.设到平面ACE距离，V

DACE

,∴

13

ACE

13

.ACDAE平∴ECh

12

AD12

1212

2.3∴点到平面ACE的距离为

3

DCA

F

O

BE图13精彩文档

实用标准文案七、向法解：如图14，以线AB的中点为原O，所在直线为x轴所在直线为轴，平行于的直线z轴，建立空间直角坐标xyz，AE平BE平BCE，∴AE，在AEB,AB2,O为A的中点，OE,∴AE(1,0,0),C(0,1,2).(0,2,2).设平面的一个法向量,y，则0,

x0,y解得

y.令xn平面ACE的一个法向量.∵AD//轴，AD，∴AD，∴点D到平面的距离dAD|,n

AD

23

233

.zDCFA

O

Byx

E图14精彩文档

实