2023年中考压轴模型：阿氏圆解析版

2023年中考压轴模型：阿氏圆1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（

） B． C． D．【答案】A【详解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），∴OA=12，OD=4，则AD=8，AC=4，取E（-10，0），则AE=2，DE=6，在△AEC和△ACD中，∠CAE=∠DAC，，∴△AEC∽△ACD，∴，即CE=CD，则BC+CD=BC+CE≥BE，即BC+CD的最小值为BE的长，即为=，2．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为______．【答案】【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点，∴OC＝OP＝4，又∵点M为OC中点，∴，∵，∠MOP＝∠POA，∴，∴，∴，∴，当点B、P、M三点共线时，最小值为BM，∵∠AOB＝90°，∴，又OM＝2，OB＝10，∴，∴最小值为，3．在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是______．【答案】【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接∵，∴，又∴，∴，∴，∴∵，∴，4．如图，在中，，，，半径为2，P为圆上一动点，则的最小值＝_____．【答案】【详解】解：如图，连接，在上取点D，使，连结，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，当点A，P，D在同一条直线时，的值最小，在中，∵，，∴，∴的最小值为，5．在中，为内一动点，满足，写出的最小值.【答案】.【详解】的最小值为，提示：，，的最小值为.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．（I）求抛物线的解析式及顶点坐标；（II）以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．【详解】（I）∵，，∴．∴抛物线的解析式为．∴，∴抛物线的顶点坐标为；

（II）如图，连接，在上截取，使得，连接，，此时，．

∵，，∴．∴，即．∴．∴当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值．∴，∴的最小值为．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值．【详解】解：如图3，连接，，在轴截取，使，∵，∴，∴，∴，∴，上、、三点共线时，的值最小，在中，，即的最小值时．8．如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值．【详解】解：如解图，在轴上取一点，连接，，．则，，，∴．又∵，∴．∴，即．∴，当点，，三点共线时，的值最小，为的长．∵．∴当为与圆的交点时，有最小值为．9．如图，已知抛物线的解析式为与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，点的坐标为（2，0），绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴，．∵点的坐标为（2，0），∴点的运动轨迹为以原点为圆心，以2为半径在第一象限的圆弧．如解图，在轴上取一点，连接，，．则∴，，，∴，又∵，∴，∴，即．∴．当、、三点共线时，的值最小，为的长．∵．∴当为与圆弧的交点时，有最小值为．10．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：y=-交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点EF∥y轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为_______；（2）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求AM+CM的最小值．【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式可得：，解得，抛物线的解析式为（2）设直线解析式为将代入得，解得由题意可得：设，，则∵，，∴为直角三角形，结合图形可得，以A，E，F，H为顶点的矩形为矩形，为矩形的对角线由矩形的性质可得，线段的中点重合则，解得，∴，由E点坐标可知，E在x轴上（3）取的中点，如下图：由（2）可知，，，∴∴连接交圆于点，连接∴∴又∵∴∴∴∴，当三点共线时，等号成立设，化简得解得或（舍去，在点的左边）∴∴即的最小值为11．如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；【详解】解：（1）∵顶点∴设二次函数的解析式为把点的坐标代入解得故二次函数的解析式为（2）如图∵轴∴∵是以为底的等腰三角形∴，，∴两点关于抛物线的对称轴对称∴，以为斜边向外作，使得∴故当三点共线，最短当三点共线，∴设，则在中，，∴，解得∴，∴，∴（3）连接，，在上截取设抛物线的对称轴与轴交于∴∵抛物线的顶点为∴对称轴为直线∴设直线的解析式为代入的坐标得，解得∴直线的解析式为令则∴在中，，∴∴又∴∴∴∴∴当三点共线，最短作轴于∵，∴∵∴∴∴，∴在中，，∴∴12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，与轴交于点．（1）求拋物线的解析式以及直线的解析式；（2）以原点为圆心，OA长为半径作⊙O，点为⊙O上的一点，连接、，求的最小值．【详解】（1）由题意可知，，解得．∴抛物线的解析式为；令，即，解得，，∴，，令，则，，设直线的解析式为，将，代入，得解得∴直线的解析式为；（2）如解图，连接，在上截取，使得，连接，．此时，．∵，，∴．∴，即．∴．当、、三点共线时，的值最小，最小值即为的值，∵，∴的最小值为．13．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点P是轴下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，的长为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【详解】（1）解：由题意，，，设抛物线的解析式为，把代入得到．故抛物线的解析式为．（2）∵，∴对称轴是直线x=，∵是对称轴，∴．∵，，∴AF=．∵tan∠OAC=，∴∠OAC=60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD=30°，∴OD=tan∠OAD×=1，∴D(0，-1)．设直线AD的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴，当x=时，，∴，∴AH=．∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，在上取一点，使得，则AK=．作KG⊥AB于点G，则，∴，∴，∴AG=，∴OG=-=，当x=-时，=，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴当、、共线时，的值最小，最小值．14．如图，直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．【详解】∵抛物线对称轴为x=m，当x=m时，y=x+2=m+2，∴M（m，m+2），又∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AM=1×=，BM=2×=2，∵D（m，m），∴以MD为半径的圆的半径为（m+2）﹣m=2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB'，∴MN=BN=，∵，∠QMN=∠BMQ，∴△MNQ∽△MQB，∴，∴，∴当Q、N、B'三点共线时QB'+QB最小，∵直线AB的解析式为y=x+2，∴直线AB与对称轴夹角为45°，∵点B、B'关于对称轴对称，∴∠BMB'=90°，由勾股定理得：QB'+QB的最小值为B'N==，即QB'+QB的最小值是．15．已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点．（1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值；（2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值；（3）如图3，点是抛物线上的点，且横坐标为2，过点作轴于点，点是以为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接、，求的最大值．【详解】解：（1）令，则，解得，，∴，，∴，将拋物线解析式化为顶点式为，∴，如图，在轴上截取，则，设抛物线对称轴与轴交于点，∵，且，∴，∴，∴，∴当、、三点共线时，，即取得最小值，最小值为的长，∵，∴，∴点坐标为，∴，，∴，∴的最小值为；（2）由抛物线，可得拋物线对称轴为直线，设直线的解析式为，将，代入，易得直线的解析式为，∵点为直线与抛物线对称轴的交点，∴点坐标为（1，2），如图，连接，与交于点，在上截取，过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，∵，∴，，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，易得直线的解析式为，∵点在直线上，∴设点横坐标为，则其纵坐标为，∵，∴，∵轴，轴，∴，∴，解得，∴点坐标为，∵点的坐标为（3，0），∴，∴的最小值为；（3）∵点是抛物线上的点，且横坐标为2，∴，∵，∴轴，∵轴，∴易证四边形为矩形，∴，如图，在上取一点，使得，连接并延长交于点，连接，易得直线的解析式为，∴，∵，，且，∴，∴，∴，当点在的延长线上时，的值最大，最大值为的长，∵，，∴，，∴，∴的最大值为．16.在平面直角坐标系