北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》第4课时示范公开课教学设计

第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第4课时一、教学目标 1.了解黄金分割的有关概念，并能运用其来解决与黄金分割有关的实际问题．2.会找一条线段的黄金分割点.3.加深理解与掌握线段的比、成比例线段等有关知识．4.通过观察欣赏并找出艺术作品中的黄金分割点，激发学习兴趣，培养审美能力与审美意识.二、教学重难点重点：了解黄金分割的有关概念，并能运用其来解决与黄金分割有关的实际问题．难点：找一条线段的黄金分割点.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【情景引入】教师活动：展示同一动物的3张照片，请学生观察哪张构图最美？再次展示3张构图优美的图片，思考为什么看起来美的照片，主要景物都在类似的位置？预设：构图的位置让图片更有美感.这些位置时怎样确定的呢，今天我们就一起研究！观察图片，思考原因，猜测理由，踊跃回答.从照片构图方式的普遍应用引出黄金分割点，贴近生活，易于理解，以此激发学生的学习兴趣.环节二探究新知【做一做】一个五角星如图所示.(1)从图中找出相等的角、相等的线段.(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.(3)小亮认为，.你同意他的看法吗？说说你的理由.预设：(1)AL=AD=DE=…；DL=DF=FH=…；KH=KD=BL=…；KG=KE=AB=…(2)△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC，…(3)∵△ACD∽△ABF，∴∵AD=BC，AF=AC∴教师活动：引导学生思考并回答问题，提醒学生注意五角星的对称性，判断答案是否正确.回答1、2两问后，提出问题3.由问题3的解答引出黄金分割的定义.【归纳】一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.教师活动：展示说明定义后，给出从形式上理解记忆方法：【思考】一条线段有几个黄金分割点？预设：2个教师活动：提示学生从本质上画图考虑黄金分割点.学生画图尝试解答后，总结说明黄金分割点的个数：一条线段有两个黄金分割点如下图，黄金分割点距离线段的右侧端点较近：如下图，黄金分割点距离线段的左侧端点较近：【想一想】图1是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?预设：由AEFD是正方形，因此点E是AB的黄金分割点是黄金比，也就是说，矩形ABCD的宽和长的比是黄金比.【读一读】教师活动：让学生领读，其他同学感受学习.古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约前400—前347)曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.这个相等的比就是=0.61803398874989...天文学家开普勒(JohannesKepler，1571—1630)把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”.而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆(MartinOhm，1792——1872).19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来…在相当一段时期里，人们非常崇拜黄金分割.比如，古希腊的许多矩形建筑中，宽与长的比都等于黄金比.其实，黄金分割很可能是由作图问题引出的.值得一提的是，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关.20世纪70年代，这种方法经著名数学家华罗庚(1910--1985)的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果.教师活动：简要介绍数学家华罗庚.【拓展】教师活动：教师展示几种黄金分割在各领域的代表应用，让学生感受黄金分割的美.鼓励学生课下自己收集有关资料趣闻并展示.建筑与黄金分割上海东方明珠塔高462.85米，上球体距地面286米，造型协调、美观.乐器与黄金分割小提琴是一种造型优美、声音诱人的弦乐器，它的共鸣箱的一个端点正好是整个琴身的黄金分割点.艺术与黄金分割图片中的头和两肩在整幅画面中完美的体现了黄金分割.整幅油画和谐、完美.【做一做】教师总结黄金分割学习的重要性，提出如何作出一条线段的黄金分割点的问题，讨论后作图展示并提出问题.用如图所示的方法可以作出一条已知线段AB的黄金分割点H吗，你能说说这种作法的道理吗？1.以线段AB为边作正方形ABCD，2.取AD的中点E，连接EB，3.延长DA至F，使EF=EB.4.以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是线段AB的黄金分割点.预设：设AB=2，则AE=1.由勾股定理得BE=.于是EF=BE=，AH=AF=EFAE=1，BH=ABAH=3，所以AH2=AB·BH，即.所以点H是AB的黄金分割点.通过测量、观察等方法，思考解决问题，小组讨论后回答问题.由三角形的相似关系得出比例关系，思考感受这一比例关系的特殊性.理解基础上记忆黄金分割的定义.在理解黄金分割定义的基础上，思考并回答问题通过等量关系的转化，解决问题.学习感受黄金分割有关的文化知识.收集黄金分割有关的资料趣闻，并展示，体会黄金分割在生活中的应用。实际动手做一做，并思考这种作法的道理.利用五角星问题，创设一个有利于学生探究和综合应用线段的比、成比例线段，以及相似三角形的情境.意在引出黄金分割，教学时如果所有学生都没有得出这一比例式，教师可主动提出，并要求学生判断其是否正确.黄金分割定义的给出，注意说明比例关系的记忆方法.让学生全面深入的理解黄金分割的定义.展示黄金分割的文化价值.展示黄金分割的典型史料，反映黄金分割的文化价值，以及其在人类历史上的作用和影响.鼓励学生收集黄金分割有关的资料趣闻，通过展示，使学生感受数学与生活的联系.介绍一种作黄金分割点的方法，同时进一步巩固学生对黄金分割的认识.环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例计算黄金比.教师分析：设线段AB的长度为1，较长的线段AC的长为x，根据黄金分割点的定义，得出AC2＝AB·BC，据此列出方程x2＝1×(1－x)，解方程即可求出黄金比．展示完整解题过程：解：由，得AC2＝AB·BC.设AB＝1，AC＝x，则BC=1－x.∴x2=1×（1－x），即：x2＋x－1＝0.解这个方程，得.∴黄金比明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.通过解决例题让学生体会黄金割的定义，同时综合运用之前学过的方程有关的知识，注意引导学生阅读、理解题意.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.采用如下方法可以得到黄金分割点：(1)如图，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使(2)连接AD，在AD上截取DE=DB.(3)在AB上截取AC=AE.点C就是线段AB的黄金分割点.你能说说其中的道理吗？2.我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD是黄金矩形且长AB＝10，则宽BC为()B.C.D.0.6183.在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系为()A．(2－x)∶x＝x∶2B．x∶(2－x)＝(2－x)∶2C．(1－x)∶x＝x∶1D．(1－x)∶x＝1∶x4.已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝4cm，则BC的长为____.5.我们知道一条线段有两个黄金分割点，那么长度为1cm的线段的两个黄金分割点之间相距()A.cmB.()cmC.()cmD.cm答案：1.证明：设AB=1，则由勾股定理得∴C是AB的黄金分