第3章1节导数的概念及运算纸间书屋

思想的应用第一节导数的概念及运［考纲 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能，y＝x

y＝x简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数.f（x）x0f′（x0）y＝f（x）（x0，f（x0）000f（x）＝sinf′（x）＝cosf（x）＝cosf′（x）＝－sinf′（x）＝axlnf′（x）＝xlnf（x）＝ln

y＝f（g（x）y＝f（u，u＝g（x）yx′＝yu′·ux′yxyuux的导数的乘积.［常用结论［af（x）bg（x］′＝af′（x）bg′（x）.＝f（）f′（）f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小f′（）反映了变化的快慢，f′（）越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

一、思考辨析（f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率 f′（x0）与［f（x0］′表示的意义相同 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cos ［答案］ 二、改函数y＝xcosx－sinx的导数为 xsin B.－xsinC.xcos D.－xcos［y′＝x′cosx＋x（cosx）′－（sinx）′＝cosx－xsinx－cos曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是 ［y＝x3＋11，y′＝3x2，y′|x＝1＝3，P（1,12）y－12＝3（x－1）.x＝0，y＝9.故选函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f′（x）的大致图象为 ［由导数的几何意义可知，f′（x）为常数，在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位：m）＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度 考点 导数的计（1）求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，，避免运算错误已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：2x（2）y＝tan2232［解］（1）先变形：y＝2x32再求导：y′＝（

′＝32 2xcos先变形：y＝sinxcos

（sinx）′·cosx－sinx·（cosx）′＝1cosx

先变形：y＝－cos再求导：y′＝－（cosx）′＝－（－sinx）＝sin［逆向问题］［逆向问题］f（x）＝x（2017＋lnxf′（x0）＝2018 ［f（x）＝x（2017＋lnx，f′（x）＝2017＋lnx＋1＝2018＋lnf′（x0）＝22018＋lnx0＝2018，（1（3）.抽象函数求导f（x）＝x2＋2xf′（1， ［∵f′（x）＝2x＋2f′（1，∴f′（1）＝2＋2f′（1，赋值法是求解此类问题的关键，f′（1）为常数，然后f′（x，1.已知函数f（x）＝exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的 ［由题意得f′（x）＝exln 则f′（x＋lnx，则 ［f（x）＝x＋3xf′（2）＋lnx，1，所以 所以f′（2）＝－9 ＝ lnx＝x

2x＋1［解］＝3xexln3＋3xex－2xln＝（ln3＋1）·（3e）x－2xln（lnx）′（x2＋1）－ln1（x2＋1）－2xln

x2＋1－2x2ln＝x（x2＋1）2 （3）y′＝ln ＝［ln（2x－1］′－［ln（2x＋1］′＝ ·（2x－1）′－ ＝ － 考点 导数的几何意导数几何意义的应用类型及求解思路A（x0，f（x0）（x1，y1，

求解即可上；③切点在曲线上求切线方程（1（2019· （0，－1（x）相切，则直线l的方程 （1）∵y′＝3（x2＋3x＋1）ex，∴线在点（0,0）k＝y′|x＝0＝3，∴曲线在点（0,0）y（2）∵点（0，－1）f（x）＝xlnx上∴设切点为（x0，y0）.又∵f′（x）＝1＋ln∴ly＋1＝（1＋ln∴由

∴ly＝x－1，（1）求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横（2）－1）”，要注意二者的区别求切点坐标（2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx（－e，－1（e，点A的坐标是 A（x0，y0， 得k＝1 xAy－lnx0＝1x0因为切线经过点（－e，－1，所以－1－lnx0＝1（－e－x0）.所以lnx0＝e xg（x）＝lnx－e（x＞0，xg′（x）＝1＋e， xg（e）＝0，∴lnx＝ex∴x0＝e.∴A的坐标为f′（x）＝k（k为切线斜率）的解即为切点的横坐标，抓住切点既在求参数的值（1（2019·切线方程为y＝2x＋b，则（ （2）已知f（x）＝lnx，g（x）＝1

m＜0 （x，g（x）（1，f（1 （1）∵′＝ax＋ln∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切点为（1,1，将（1,1）y＝2x＋b，∴b＝－1， lf（1）＝0，∴ly＝x－1.lg（x）的图象的切点为（x0，y0，x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝1

已知切线方程（或斜率）求参数值的关键就是列出函数的导数等于导数与函数图象（1）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数 （2）y＝f（x）y＝kx＋2y＝f（x）g（x）＝xf（x，g′（x） （1）由＝f（x）图象的切线的斜率先增大后减小，（2）y＝f（x）x＝3

1∵g（）＝f（，∴g′（）＝f（）＋f′（，∴g′（3）＝f（3）＋3f′（3，

函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点1.曲线f（x）＝x－在x＝0处的切线方程 1 ［根据题意可知切点坐标为（0，－1，

故切线的斜率k＝f′（0）＝

y－（－1）＝－2（x－0，2.（2019·大同模拟）已知f（x）＝x