第五章一次函数的导数及其应用达标测试卷-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册Word版含解析

第五章一次函数的导数及其应用达标测试卷(时间：90分钟，满分：100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线y＝2－在点(0，0)处的切线的倾斜角为()．A．1 B．－1 C． D．2．如图，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．若圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()．ABCD3．设函数f'(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()．A．(－∞，－1)(0，1) B．(－1，0)(1，＋∞)C．(－∞，－1)(－1，0) D．(0，1)(1，＋∞)4．已知对于任意的xR，有－ax＋a－1≥0恒成立，则实数a的范围是()．A．{1} B．(－1，1) C．(0，1) D．{－1，1}5．已知f(x)＝，其中e为自然对数的底数，则()．A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(e)＞f(3)＞f(2)C．f(3)＞f(e)＞f(2) D．f(e)＞f(2)＞f(3)6．已知f(x)＝alnx＋x2，若方程f(x)＝(a＋1)x恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是()．A．(，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．7．已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是()．A．f(x)在R上单调递增B．f(log52)＜＜f(lnπ)C．方程f(x)＝－1有实数解D．存在实数，使得方程f(x)＝x有4个实数解8．设f(x)＝xa·cosx，x的最大值为M，则()．A．当a＝－1时，M＜ B．当a＝1时，M＞C．当a＝2时，M＜ D．当a＝3时，M＜三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．9．设f(x)＝cos(2x＋φ)，若y＝2f(x)＋f'(x)为奇函数，则常数φ的一个取值为____________．10．函数f(x)＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值等于__________．11．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，且轮船的最大速度为每小时m海里．已知速度为每小时10海里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．要使轮船每海里的总费用最少，则轮船的速度为__________．12．已知函数f(x)＝－x3＋9x2－26x＋27，f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，则x1＋x2＝__________．13．已知函数f(x)＝x3－ax，对于任意的x[－1，1]，有|f(x)|≤恒成立，则a的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．(8分)已知函数f(x)＝aex－2x2．(1)当a＝1时，求函数f(x)在x＝2处的切线方程；(2)若不等式f'(x)≥0在R上恒成立，试求a的取值范围．15．(10分)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围，并求函数g(x)的极值点．16．(10分)已知f(x)＝x2＋lnx．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x[t，t＋1]时(t为大于0的常数)，求f(x)的最大值；(3)若当≤x2＜x1≤1时，不等式f(x1)－f(x2)＜(x1－x2)恒成立，求的取值范围．17．(10分)设函数f(x)＝ex－ax＋3(aR)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值是4，求a的值．18．(10分)数据显示，公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，mR)QUOTEfx=mlnx-x+600xx2+144-6((1)求实数m的值；(2)求近期每天空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8QUOTEln6=1.8

参考答案一、单项选择题．1．D．2．B．3．A．提示：由导数的运算法则可得，因此当x(0，＋∞)时，＜0，单调递减．又f(－1)＝0，f(x)(xR)是奇函数，所以当x(－∞，－1)或x(0，1)时，f(x)＞0．4．A．5．B．6．A．二、多项选择题．7．BCD．提示：f(x)＝ex·x3，则f'(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，故函数在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，A错误；0＜log52＜，＜＜1，lnπ＞1，根据单调性知f(log52)＜＜f(lnπ)，B正确；f(0)＝0，f(－3)＝－＜－1，故方程f(x)＝－1有实数解，C正确；f(x)＝x，易知当x＝0时成立，当x≠0时，＝＝exx2，设g(x)＝exx2，则g'(x)＝exx(x＋2)，故函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－2，－0)内单调递减，在(－∞，－2)上单调递增，且g(－2)＝．画出函数图象如图所示，当0＜＜时有3个交点．综上所述：存在实数，使得方程f(x)＝x有4个实数解，D正确．故选BCD．8．AC．提示：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝在区间上单调递减，所以M＝，故A正确．对于选项B，当a＝1时，当x时，恒成立，所以当x时，f(x)＝xcosx＜tanxcosx＝sinx≤，所以M＜，故B错误．对于选项C，当a＝2时，f(x)＝x2·cosx，则f'(x)＝xcosx(2－xtanx)＞0，所以f(x)在区间上单调递增，即M＝，故C正确．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cosx，则f'(x)＝x2cosx(3－xtanx)＞0，所以f(x)在区间上单调递增，所以M＝·＞，故D错误．故选AC．三、填空题．9．(答案不唯一，满足φ＝π＋(Z)的任意一个值均可)．10．．11．v＝12．6．13．．四、解答题．14．解：(1)因为f(x)＝aex－2x2，所以f'(x)＝aex－4x．当a＝1时，f(2)＝e2－8，f'(2)＝e2－8，所以f(x)在x＝2处的切线方程为y－(e2－8)＝(e2－8)(x－2)，即y＝(e2－8)(x－1)．(2)根据题意，若函数f(x)为R上的单调递增函数，则f'(x)＝aex－4x≥0恒成立，即a≥恒成立，则有a≥g(x)max．令g(x)＝，则g'(x)＝．当x＞１时，g'(x)＜0；当x＜１时，g'(x)＞0，所以g(x)max＝g(1)＝．所以a的取值范围是a≥．15．解：(1)由已知，切点为(2，0)，故有f(2)＝0，即4b＋c＋3＝0．①又f'(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知f'(2)＝12＋8b＋c＝5得8b＋c＋7＝0．②联立①②，解得b＝－1，c＝1．所以函数的解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2．(2)因为g(x)＝x3－2x2＋x－2＋mx，则g'(x)＝3x2－4x＋1＋m＝0．当函数有极值时，则≥0，方程3x2－4x＋1＋m＝0有实数解．由＝4(1－m)≥0，得m≤1．当m＝1时，g'(x)＝0有实数x＝，在x＝左右两侧均有g'(x)＞0，此时函数g(x)无极值；x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)g'(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以在m(－∞，1)时，函数g(x)有极值，且g(x)的极大值点是x＝；极小值点是x＝．16．解：(1)由f(x)＝x2＋lnx，可知x(0，＋∞)，f'(x)＝－x＋＝．由f'(x)＝＞0，x＞0，得0＜x＜1；由f'(x)＝＜0，x＞0，得x＞1．所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)①当0＜t≤1时，1[t，t＋1]，所以f(x)max＝f(1)＝．②当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]为减函数，所以f(x)max＝f(t)＝t2＋lnt．(3)当≤x2＜x1≤1时，不等式f(x1)－f(x2)＜(x1－x2)，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2恒成立．令g(x)＝f(x)－x，则g(x1)＜g(x2)，则g(x)在[，1]为是减函数，所以g'(x)＝f'(x)－＝－x＋－≤0，即≥－x恒成立．所以≥(－x)max＝．17．解：(1)f'(x)＝ex－a，当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在R上单调递增；当a＞0时，f'(x)＞0解得x＞lna，由f'(x)＜0解得x＜lna．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，所以函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝e－a＋3＝4，即a＝e－1＞0，矛盾．当a＞0时，x＝lna是函数f(x)在R上的极小值点．①当lna≤1即0＜a＜e时，函数f(x)在[1，2]上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(1)＝e－a＋3＝4，即a＝e－1＞0，符合条件．②当lna≥2即a≥e2时，函数f(x)在[1，2]上单调递减，则函数f(x)的最小值为f(2)＝e2－2a＋3＝4即a＝＜e2，矛盾．③当1＜lna＜2即e＜lna＜e2时，函数f(x)在[1，lna]上单调递减，函数f(x)在[lna，2]上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(lna)＝elna－alna＋3＝4，即a－alna－1＝0．令h(a)＝a－alna－1(e＜a＜e2)，则h'(a)＝－lna＜0，所以h(a)在(e，e2)上单调递减，而h(e)＝－1，所以h(a)在(e，e2)上没有零点，即当e＜a＜e2时，a－alna－1＝0无解．综上，实数a的值为e－1．18．解：(1)由f(6)＝29.6QUOTEf6=29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6QUOTE