编码理论第章

第6章数学理论基础

6.1基本概念6.2群、域及环6.2.1群及其性质6.2.2子群及陪集6.2.3置换群及循环群6.2.4域、环及有限域6.3多项式环、域及群6.3.1基本概念6.3.2多项式剩余类环6.3.3多项式域6.3.4有限域中的计算6.3.5多项式群6.3.6极小多项式第6章数学理论基础

6.1基本概念

在纠错码及密码学研究中，抽象代数已经扮演重要角色，如在线性分组码、循环码、美国高级数据加密标准AES、国际数据加密标准IDEA和椭圆曲线密码体制中，群以及域上的多项式理论等都是其理论基础。本章介绍群以及有限域上多项式等相关知识，以利于以后内容的理解。6.1基本概念6.1.1基本概念如果数a能够被b整除，称b是a的一个因子，或称a有一个因子b，记作b︱a(6-1)如果b是素数，称a有素因子b。设整数n≥2，有整数a1,a2,…,an和d，并且有d︱a1,d︱a2,…,d︱an（6-2）那么称d为a1,a2,…,an公因子,公因子中最大的一个称之为最大公因子,记a、b的最大公因子为gcd(a,b)(6-3)例如gcd(36，24)=12，gcd(1008，1260，882，1134)=126。设整数，n≥2，有整数a1,a2,…,an和m，并且有a1︱m,a2︱m,…,an︱m（6-4）那么称m为a1,a2,…,an公倍数,公倍数中最小的一个称之为最小公倍数。显然，公倍数有无穷多个。记a,b的最小公倍数为lcm(a,b)(6-5)如lcm(12，18)=36，lcm(198，240，360)=7920。可以容易得到如此结果：lcm(a,b)=a×b/gcd(a，b)。6.1.2基本模运算如果a是整数，n是正整数，则定义a除以n所得的余数为a模n。记为amodn(6-6)设a,b,m都是整数,如果m︱(a-b),则称a和b模m同余,记为a≡b(modm)(6-7)同余在数论中是一个最为基本的概念，使用了模运算来定义，a和b摸m的余数相同。例如，15≡2(modl3)，73≡4(mod23)，21≡-9(modl0)。1．模运算符性质(1)(amodn)=(bmodn)等价于a≡b(modn)。(2)如果n∣(a-b),那么a≡b(modn)。(3)a≡b(modn)等价b≡a(modn)。(4)a≡b(modn)和b≡c(modn)等价于a≡c(modn)。定义比n小的非负整数集合为Zn,这个集合称为剩余集或模n的剩余类。即Zn={0，1，…，(n-1)}或Zn={aZ︱0≤a≤n-1}(6-8)设模n的剩余类中与n互素的集合为，则

特别是当n为素数时,有5.模n求逆的算法。设n和u都是整数，且u＜n，n＞0。若存在一个整数,使成立，则u模n的逆元就是v。模n求逆的算法如下：(1)(2)(3)如果，则,转（2）步(4)如果，则u模n不存在逆元(5)如果，则u模n的逆元为6.2群、域及环

6.2.1群及其性质1.基本概念设G为一个非空的集合，在G内定义了一种代数运算“”，若满足4个条件：(1)有封闭性。对任意，有。·(2)结合律成立。对任意。(3)有单位元e。对任意。(4)存在逆元。对任意,有使；称互为逆元。则称G构成一个群。群G,有时记做{G，·}，定义了一个二元运算的集合。群中元素的个数称之为群的阶或元数。如果群的元数为有限值，称为有限群；否则为无限群。若群G中，对任意，有ab=ba，则称为Abel群、交换群、加法群或可换群。[例6-3]证明非空集合{0,1}是运算法则的一个群，已知运算法则是

证明：根据群的定义，非空集合{0,1}是的一个群。这是因为：（1）由（6-11）式可知，集合在运算法则下具有封闭性；（2）集合{0,1}在运算法则下满足结合率（3）因为，且有则{0,1}集合中存在单位元e＝0；(4)因为集合{0，1}中的元素“0”和“1”，都有则“0”和“1”都存在逆元素。“0”的逆元素就“0”本身；“1”的逆元素就“1”本身。由于在规定运算法则下，集合满足群定义中的四个条件，按群的定义，{0，1}集合是规定运算法则的一个群。2.群的主要特性(1)一个群单位元是唯一的，每一个群元素的逆元素也是唯一的。(2)设G是运算法则的一个群，若，则

(6-14)

6.2.2域、环及有限域群是有一个二元运算的系统，环及域也是定义了两个二元运算，由于在域中对加减乘除运算都封闭，因而许多与四则运算有关的问题都涉及域的性质。1．基本概念一个域F就是一些元素的集合，具有满足下列性质的两种运算+(加法)和×（乘法）。(1)F在“+”和“×”下是封闭的。F中所有的a、b和c，满足下列性质：(2)交换律：(3)结合律：(4)分配律：,(b+c)×a=ba+ca进一步，F中必须存在元素0和1，满足(5)a+0=a(6)a×1=a(7)对F中任意a，存在加法逆元(-a)，使a+(-a)=0(8)对F中任意，存在乘法逆元，使以上性质对含有有限和无限个元素的域都成立。例如有理数全体、实数全体、复数全体对加法乘法分别构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。它们的元数是无穷的，故称其为无限域。域的集合元数是有限的，则称其为有限域，一般用GF(p)或表示，p表示其元数(阶)。有限域也称为Galois域或伽罗华域（GaloisField）。例如0和1两个元素按模2加和乘构成域。该域仅有两个元素，记为GF(2)。若只满足域定义中的前7条性质，则称为环(ring)。注意环的乘法没有单位元，当然更没有逆元。其实环是一个乘法的半群。若环中有乘法单位元，则称其为有单位元环。若环的乘法满足交换律，即任意则称其为交换环、可换环。例如在普通加法乘法下：全体整数Z构成环；全体偶数构成环。在模n的加法和乘法下构成环，称为剩余类环。实系数多项式全体在多项式加法和乘法下构成环。2.有限域GF(p)中的计算有限域GF(p)定义为整数{0,1,2,…,p-1}的集合,相应的运算为模p的代数运算。如果a,bGF(p),则加法a+b≡r(modp)(6-41)如果a,bGF(p),则乘法a·b≡s(modp)(6-42)令表示GF(p)中所有非零元素的集合，可证明在GF(p)中至少存在一个元素g，使得GF(p)中任意非零元素可以表示成g的某次幂的形式，这样的元素g称为GF(p)的生成元(或本原元)，的乘法逆元是。即

(6-43)注：均是mod23结果

[例6-4]有限域GF(23)={O,1,2，…，22}，5是GF(23)的生成元，5的各次幂分别如表6-1所示。表6-1GF(23)的生成元5的各次幂6.3多项式环、域及群6.3.1基本概念1.有限域GF(p)上的多项式系数属于某数域的多项式，称为该数域上的多项式。比如，二进制系数的多项式称为二元域GF(2)上的多项式，p进制系数的多项式称为p元域GF(p)上的多项式。域的多项式的一般形式为

如果fn≠0，f（x）称为n次多项式,n为多项式f(x)的阶(degree）,记为deg(f(x))。用表示系数取自域GF(p)的一切多项式的集合。其中的多项式可以按通常的方式进行加法、减法和乘法运算。2.剩余多项式的除法算法是指对中的任意一对多项式a(x)和，存在惟一的一对多项式q(x)和r(x)，分别称为商和余数，满足

其中该余数有时又称为剩余，并记为(6-46)设a(x)、b(x)和f(x)都为GF(p)上的多项式,则剩余的两个重要性质为3.同余令f(x)为中的一个固定多项式,中有两个多项式g(x)和h(x),如果g(x)-h(x)能被f(x)整除,则g(x)和h(x)关于模f(x)同余,记为(6-47)如果设为定义在GF(2)上的多项式。因为故4.既约铃多项盏式设f(景x)是次骑数大倡于0的多昏项式伯，若厅除了爷常数销、常耀数与点本身责的乘身积以累外，托不能笼再被房诚域GF符(p)上的继其它键多项挨式除狮尽，嗽则称f(用x)为域GF闷(p)上的既约扬多项堂式。次墨数至片少为1的首培一既节约多舟项式衬为素多雨项式。所以块，一昆个常伍数总首是多肌项式遗的因嫩子，f(泻x)是否巡寿既约递与讨阵论的川域有斗很大爸关系亩。5．本给原多越项式对于管有限篮域GF忙(p)上的m次既甲约多蝴项式p(饼x)，若泥能被贩它整杠除的鞋最简纤单首毙一多考项式水的辩次数怒，骂则称猛该多尖项式趋为本原呜多项谈式（Pr底im静ar伯y指Po耍ly松no嚼mi氧al耐s）。辅本原疑多项注式一功定既输约；炉反之应，既证约多奋项式炎未必谋是本或原的篇。6．多汗项式牌循环籍群由多甜项式享的各播次幂翁所构杆成的遇群称量为多项井式循读环群（Cy院cl裙e动Gr必ou凉p）。覆多演项式鞋是群令元素傲之一鉴，称搜为该鸽循环耽群的生成碧元。6.洞3.落2多项屈式剩览余类搞环以数菌为元桂素可卵以构蛮成群删、环贴、域宾，以准多项指式为贯元素宁同样效可以旦构成决群、弄环、辩域。暗下面朋将讨肥论用边多项羞式构巨成群木、环较、域乔的方延法、肥条件娘和性够质。某数起域上直多项屈式的拘集合堵在乘叉、加脆运算尚下可稀以构值成一拦个多搬项式慎环，滥它是诉一个急以多谈项式发为环汪元素挎的交弦换环穿。多项侄式的剥两个区要素曲是系防数和奋幂次延，只斑要其糊中一耽个有签无限折取值佳，如魄系数婆所在址数域浑是无裁限域(实数禁、整触数等)或多宇项式沾的幂衔次无记限，库则多阴项式崇环元跳素的货数目身也就娃无限裳，称杏之为室无限爆环。然而节在纠台错码藏的实庭际使蛋用中拼，码厕集总点是有骑限的妹，对应应的防多项孩式环弯也应控是有旧限环赚，因娘此必堵须在饼系数验和幂稀次两胳个方翠面对雕构成敞环的洒多项驳式进数行限构制。裳最常肺用的稍方法险就是为利用如模运早算产渠生数融量有柴限的别剩余厌类。GF阶(p)上的掠多项扔式在狱模p加、尊模f(番x)乘运猎算下观，多非项式挤剩余酿类的雅全体载所构航成的善交换杂环称见为多项雪式剩候余类泡环，记搅做显然傍，多渡项式猴剩余纱类环咬是靠GF马(p)域保截证系牛数有猫限，限靠模f(库x)乘保姜证幂吸次有孙限的锅。多旷项式眠运算宅中包逢含了晌系数兽间模p乘、旬加的浅数域索运算近。多鼠项式企剩余坑类环蹦的环择元素彩是模f(赵x)乘的德产物钥，即A(逝x)衰·B某(x)除以f(筹x)的余睛式。感余式卖也就符是“歪剩余栋”类领环名恭称的灵来历量。如果f(度x)的最续高次礼幂是n，多功项式孝剩余协类环臣中所叠有环依元素民的次乖数不丑高于n-罩1次，炊通式齐形式绒为：如果渔多项吸式最椒高次裂项的吩系数眯为1，则爸称该更多项链式是首一追多项筐式。仅锄包含方最高粒次项绞和常牛数项1，且记形式状为的首待一多终项式取称为n次最简史首一洒多项拌式。[例6-肃5]剩余鼻类环肠中,p筹=2，袭。若心，是两孝个环吨元素讯，求箩是什逗么元惹素?该剩文余类穗环至队多由展多少府个元央素组赤成、售它们残分别遇是什贱么?解：狭本题梦的多鞋项式牌系数直取自伪，专系数瓶做模2加、极模2乘。做一凳般的鼠多项霸式乘捐法运行算,然后晕将结棵果除发以f(节x)后取杯余，甘得：f(蚂x)是3次多副项式李，即de随g[眉f(刷x)]居=3，因席此环蹲元素便的幂萍次不剑会超但过2，环度元素磁的通蒙式可果表示吗为其中3个系递数最现多可训能有8种组脸合，据即该犹剩余羊类环斜至多跌由8个域燃元素肆组成掌，它蹲们正素好是套次数属小于3的所逮有可怨能的膜多项摆式,即与整火数环窄存在臂子环售一样弊，多猪项式绪环也指存在悦多项逮式子详环。卵如果沃说GF蚁(p)上无陷限幂掌次的坚多项反式构朋成一狸个无较限环充，那注么任弯一n次多谈项式f(冤x)的一猫切倍腔式是遭该无晚限环糖的一怪个理泪想子摄环。以f(备x)为模果的多该项式盈剩余茧类的使全体富构成挥一个刑有限纵元素词的多惯项式耗剩余眨类环险，汽这个速环也茎可以砌有子落环。坑可以盟证明吊：中的防每一刑理想戒子环给皆为洽主理拨想，卷且该过主理绿想的艺生成球多项孙式g(叉x)必定案能整器除f(促x)。6.铁3.捐3多项会式域讨论坝多项绩式域院的前海提是歪这个鲜域必苏须是清存在乐的。近因此脚，首爷先以抱定理界的形微式解期决多初项式烛域的法存在坏性问蜘题。定理6-就4若f(津x)是GF寨(p)上的n次多贷项式槽，哄是GF有(p)域上涨次数初小于n的多柄项式融的全墓体，捧则次温数小迎于n的多捏项式泄全体碎构券成环，当抓且仅塞当f(石x)是须上满的既脏约多谈项式办时，眉此环陈是域。可以文得到崇了一小种产熔生伽允罗瓦贫域的禽漂亮径的过论程!若能罪找到GF遇(p)上次妹数为n的一推个素汇多项菊式，侮就可托以构核造一浆个有秀个观元素比的伽才罗瓦户域。宽这样惹的域蔽将含浙有的的多项见式作句为其叉元素落。这反些多鼓项式狡将由衫定义阻在GF闯(p)上的赴所有娘次数济小于n的多尝项式笋构成肉。容纷易看柱到共芹有辉个隐这样桨的多哪项式习，它怪们组默成了时扩域GF指(排)上的聪元素您。若f(持x)是GF刑(p)上的n次既笨约多胸项式河，宽是GF以(p)域上毙次数春小于n的多岛项式朵的全仙体，赢则贤在模p加、虹模f(湾x)乘运欧算下近构成附一个拼阶的轮有限薯域，鸭称为GF贝(p)域的扩域(E床xt愉en旬si柜on判F合ie桥ld江)，写贝做GF滥(撒)。称GF兴(p)是扩雀域的里基域莲。[例6-雷6]二元沙域上影的多言项式爷在模2加、器模策乘底运算麻下构鼠成一旅个多详项式姑扩域讲，该定扩域耐的基雀域是GF滋(2限)=秆