自动控制第三章系统状态方程的解

第三章状态空间表达式的解

一种分析系统状态和输出特性的直接法

一.线性定常齐次状态方程的解

二.状态转移矩阵三.线性定常非齐次状态方程的解

四.线性时变系统状态方程的解

五.离散系统状态方程的解

六.连续系统的离散化

一.线性定常齐次状态方程的解1、线性齐次状态方程解的定义2、线性齐次状态方程解的物理意义3、状态转移矩阵的引出

返回主页一阶齐次微分方程组解的定义一阶齐次微分方程：

解为：一阶齐次微分方程组：，解为：

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推导1阶齐次微分方程的解返回2.齐次方程解的物理意义

由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解

确定的，状态向量在任意时刻t1的取值可由

获得。并可以在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间里绘制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。

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3.状态转移矩阵的引出

系统由初始条件引起的运动的规律及特性主要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小形式有关与系统的结构及eAt的形式也密切相关，定义为系统状态转移矩阵。显然，状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态转移矩阵。

返回二.状态转移矩阵1、状态转移矩阵的性质2、几个典型形式的状态转移矩阵

3、一般状态转移矩阵的求法

返回主页(1)(2)(3)(4)(5)状态转移矩阵的逆为时间的逆转。(6)(7)(8)若，则有注：上述性质由定义导出。返回1.状态转移矩阵的性质

2.几个典型形式的状态转移矩阵

（1）若为对角阵，则

（2）若

T-1AT=为对角阵，则

（3）A=为约旦阵，则

书上p58~60页（4）T-1AT=为约旦阵，则（5）若

，则[举例1]：若则

[举例2]：若则返回3.一般状态转移矩阵的求法

(1)利用定义计算

(2)利用Laplace变换计算

(3)化A阵为对角型或约旦标准型计算（利用状态转移矩阵的性质计算）求特征值和特征向量由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵求原矩阵A的状态转移矩阵。

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推导Laplace变换法返回三.线性定常非齐次状态方程的解1、非齐次方程解的通式直接求解Laplace变换求解

2、典型输入下非齐次方程解脉冲输入阶跃输入斜坡输入

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已知系统状态空间表达式为：

直接法积分求解

初始状态引起的解：输入作用引起的解：由输出方程可以求出系统的输出解。

1.非齐次方程解的通式

Laplae变换求解状态方程两边同时求拉氏变换得：

系统的状态与输出的形式取决与系统结构初始条件和输入信号的形式，所以在系统为典型输入信号作用时的状态解和输出解的形式可以依据上述通式导出。

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2．典型爸输入楚下非平齐次具方程较的解（1）脉冲填输入很下的拾解为龙：（2）阶跃炮输入辫下的拍解为厨：(使用博条件A的逆军存在)（3）斜旨坡下输遣入下萍的解冒为：(使用陈条件A的逆治存在)注意订：线冷性系接统的堤输出国输入鹿特性。返回四.离散系们统状蜘态方醉程的多解1、差分绪方程霞组的奇求解劈燕方法迭代蛇法Z变换庆法2、引入描状态扩转移脉矩阵蛙，简源化离脸散系袭统状湿态方岂程的抢求解返回忘主页1.差分斤方程店组的州求解听方法赠（1）（1）妄迭缘瑞代法得系僵统状派态的毯迭代蓝计算保式为鞋：注：盆计算料结果化为逐敏点形墙式，烟便于负计算阀机运勿算，例但有泪累积防误差窗。与连岛续状摄态方烦程的述求解搭公式章在形籍式上茄类似（2）z变换范法注：银计算叨结果厚为封我闭的张解析拘形式斥。返回2.引入把状态次转移丹矩阵侄，简耗化离识散系贩统状地态方惠程的芹求解（1）状蔽态转特移矩挨阵的润定义奸及计置算：（2）G阵为过典型辽结构禁形式慈的状楼态转表移矩叫阵的太计算G为对童角型洲时G为约液旦型G可化笼对角例型（拆变换聋阵为P）G可化硬约旦短型（腹变换晕阵为P）（3）状态畏转移记矩阵粮的性室质返回五.连续迷系统挽的离观散化1.连续幅系统圣离散什化的炎意义意义2.连续瓦系统佛离散络化的娇假设鹅条件(1电)离散深化按神等采航样周责期处证理；(2霞)采样满脉冲太为理宝想脉递冲信扎号；(3来)输入虚向量u（t）只在役采样持点变面化，吉两相炒邻采革样点之间互的输锦入由雁零阶灰保持杯器保甜持不乘变；(4白)采样据周期溉的选窄择满久足香叉农定股理。3.线性钥定常扛系统炸状态释方程雕的离我散化原方法(1杨)化连晨续状谜态方改程为男离散坑状态北方程连续似系统羊状态绢方程呜：理论推导能可得：取时，T为采雄样周管期，则离盒散化示以后啄的状住态空旨间表嘉达式腹为：例题连续影系统涉的离厌散化室的意添义线性武连续有系统施的状息态方辅程为1阶微昂分方仆程组尿。可栽采用因解析梅法求迷解。紫也可捐以采店用数营值解己法求涝解，丧此时蠢对微叉分方吉程做割近似浙解，吵给出货离散伴采样浆时刻雅的状毯态方仅程解伟的近技似值校。利皮用计守算机炉对线周性定祥常连近续系之统求耗数值佩解是管现代色科学疗技术拼研究己中常榨用的消一种担方法灾，不胁但方厨便而疮且精梅确。海由于乖实际脑工业品生产假中线吩性定拜常连送续系鞭统的贴被控漏对象球需要肺在线燥控制妖等，轮必须肥将连拦续系帮统的旅状态讽方程袜化为版离散蜓系统鸣的状态态方澡程，冒即对庭矩阵浴微分物方程菌化成躲差分