四川省三台中学人教版高中数学必修一教案 1.3反函数

反

函

数——

课堂教设计一、教材依：全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。二、教材分[设思路：1体验教学的原重视学生的亲身体验与感悟使学生具有对于知识生成发展、形成及应用过程的体验和感悟。本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。2、本节教是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概-----反函数反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出对应，并且是3从A到B函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。三、教学目]：

1、识与技目标：（1解反函数的概念（求一些简单函数的反函数。2、程与方目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。3、感、态、价值观目：培养学生良好的思维习惯，使之能在独立思考的基础上积极参与数学问题的讨论，并从交流中获益。四、教学重]：1、反函数概念五、教学难]：反函数的概念六、教具准]：七、[教学程：（一、课引入

2、反函数求法由函数y2x)中解x吗？为什么？谁是谁的函数？

11y)，而式xy)是数22[设计明]：从学生熟悉的具体实例出发引导学生从函数的三要素的变化角度认识反函数的特征，揭示将要学习的反函数的本质。（二、课讨论1、函数的义：见课本第67页。[]：同学们对反函数的概念有了初步的了解，谁来分析一下反函数的定义着重强调了哪几点？（留出点时间让学生思考）抽生回答后，教师补充说明。反函数定义过程可括为：函数y(x定义域为A

从yf(x)反解出

中

y)

对于任意的yC，x能确定唯一的与之对应

()值域为

C

1414函数

y

f()反函数

(y)

与

互换

定义域为

C值域为

A[师]：简而言之：函数就以原函的值域为定域，逆则为法则，义域为值域的数。其中f

)是一个整的号，不f或f(的负一方，是了能体现与x)的联系与区而设的一个则符。2、函数存的条件：在本章第一节“函数”部分给出了以对应，并且3AB的函数。（打出灯片2）观察与思考：这三个函数有反函数吗？为什么？对应法则

f

：乘

对应法则

f

：求平方

对应法则

f

：求倒数AB

A

B

A

B

1111图一

图二

图三

4请问：这三个函数有反函数吗？为什么？（在图一中，的元素1，3，5在A中没有元素与之对应，所以没有反函数；在图二中，B的元素1A中的两个元素和—对应，故也没有反函数；在图中，B的每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应，故存在反函数）

111111我们知道，函数可以是“多对一以是“一对一能是“一对多对一二）没有反函数一”的时候，如图一B存在多余元素，它没有反函数；如图三，B中的每一个元素在A中都有唯一元素与之对应，而A中的每一个元素在B都有唯一元素与它对应们把这种对应称作一一对应一对应存在反函数，于是我们得到结论：

（出灯3只有一对应构成的数才有函数；一般，单调数都有反函。例：判断下列函数是否有反函？请说明理由。（1

y

（2

2（3

y22x6(x

（4

y25x0)解，则xx因此不存在反函数。

2

=0xx，即一y值有两x与对应，12（2y3，x

2

23，所，此不存在反函数。（3对称轴x，它在（1，+）上是增函数，所以存在反函数。（4y00x

2

5x6得x1

2x2

3所以不存在反函数。点拔：说明个函数有反函数，需举出个反例即可3、互反函数的两函数之的关系：（打出幻片4）请同学观下，你能用对应关系“”与“f”别表示元素之间的关系吗？1f求数112

2

在图中、①、

，

则

f1134

1314

11②、，则()22211③、，则f(333④、

11，则()444：请同学们观察上面的式子，总一般性的结论吗？

1111f()bf

b)

（注：下节课我们再研究这个结论的应用）[师]：请同学们思考数f()与反函数联系？

)的定义域、值域分别有何由上图知：yf(x)的定义域为{12，3，}值域为{}，它的反函数23411的定义域为{}，值域为{1,2,3,4}24（打出灯片）互为反数的两函数的关系函

数

定

义

域

值

域

对应关系yf(x)

f:C(f()Ayf

x

f

:CA(f

)aC

A互反

互

换

互

逆4、函数的法：（出灯6）根据反函数的定义，求反函数的骤一般三步（反：将yfx)看成关于的方程，反解出xf唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个。

)；如果求出的不（2交换：交换y

得出：

)（3写反函的定义：反函数的定义域必须由原函数的值域来决定。请同学们自学课本第页例，然后教师提问）小题中式y(

2

有意义的条件，为什么书上在它的后面又添了限制条件"x呢？（因为反函数的义域应原函数的值来决定最后教师以（4题）为例，板书解题步骤及格式。

练习：课本第70页的练1、4（个学生上台板演，其他同学只[计说明

①、将反函数概念的复习巧妙地穿插在探索练习中，安排很自然，不落俗套。②、新课改强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验。在上面的教学过程中，教师不是将“反函数存在的条件”和“反函数与原函数的关系”直接告诉学生，而是给了学生自主学习的空间，由课本前面的例题加深对反函数定义的理解，引导学生自主探索，小组交流，集体讲解，循序渐进地得出结论。（三、例解析（打出灯片7）例2、求下列函数的反函数：①、

y

xx

②、

yx(1,③、y2(

④、

x③分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合写成一个

函数，分段函数的反函数也是分段函数）解：因为当x0时y，则x

，所以此段的反函数是

xx222因为当x0时，则，所以此段的反函数是y(x0)xx因此所求的反函数为y

x2(x0)

(x④解：因为yxx(练习本上做）

（抽一学生板演，其余在师点拔求反函的过中必须意：①、如果求出x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个。②、反函数的定义域必须由原函数的值域来决定。[设计说]：

巩固所学知识，加强解题训练。这节课的重点是能求一些简单函数的反函数，难点是反解x时，正负的选取问题与原函数的值域问题。（四、堂小结请同学们谈谈本节课的收获有哪些？让学生畅所欲言，互相补充，最后教师强调本节课的重点知识。[计说明

启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识，从而培养学生的概括能力和准确的语言表达能力。（五、置作业1、本题：课本第71页第1题2、高题：（打出幻灯片）（1下列函数的反函数：①、

1(x,且x)2x2

②、y

x

)

③、

y

2

2x

x0)④、yx

（2数

f