初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版)

特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如，在直角梯形ABCD中ADBC，∠B=90°AD=24cmAB=8cm，BC=26cm，点P从A开沿AD边向以的度运动；动点Q从开始CB边向B以3cm/s的速度运动PQ分从点AC同出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为．（）为何时，四边形PQCD为行四边形？（）为何时，四边形PQCD为腰梯形？（）为何时，四边形PQCD为角梯形？分析：（）边形PQCD为行边形时PD=CQ（）边形PQCD为腰形时QC-PD=2CE．（）边形PQCD为角形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解）∵四边形PQCD平为边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：即当时四边形PQCD平行四边形．（）D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）解得：（）即当t=7（）时，四边形PQCD为腰梯形．（）题意知QC-PD=EC时四边形PQCD为角梯形即（24-t=2学佳育数教组

解得：t=6.5（）即当t=6.5（），四边形PQCD直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如，△ABC中点O为AC上的一个动点，过点O作直MN∥，MN交BCA的外角分线CF点F，交∠ACB内平分线CE于E（）说明EO=FO；（）点O运到何处时，四边形AECF矩形并证明你的结论；（）AC边上在点O，使四边形AECF正方形，猜想的状并证明你的结论．分析：（）据CE平分ACB，MN∥，找到相等的角，即∠OEC=∠，根据等边对等角得OE=OC同理OC=OF可得EO=FO．（）用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（）用已知条件及正方形的性质解答．解答：解）∵CE平∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（）点O运到AC中点处时四边形AECF是形．如图AO=CO，，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠（∠ACB+ACG=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（）△是角三角形∵四边形AECF是正方形，学佳育数教组

∴AC⊥，故∠AOM=90°∵MN∥，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1利结论（1）和矩形的判证明结论（再对（）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如，直角梯形ABCD中ADBC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3BC=4，动点P从B点出发，线段BC向点C作速运动；动点从点D出，沿线段DA点A作匀速运动．过Q点直于AD的线交AC于，交BC于PQ两点时出发，速度都为每秒个单长度．当点动到A点PQ两点时停止运动．设点运动时间为t秒（）NC，的长用t的数式表示（）为何时，四边形PCDQ构平行四边形；（）否存在某一时刻，使射线N恰好的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（）究t为何时，△PMC等腰三角形．分析：（）据题意易知四边形ABNQ是形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已，就是t，解；AB∥QN∴△∽CAB，∴CM：CA=CNCBCB、已知根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构平行四边形就是PC=DQ，方程4-t=t即解；（）先根据平分ABC的长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出t值，求出△MNC的面积，即可判断出MNC的面积是否为面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的．（）于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，此可求出t的．②当CM=CP时，可根据CM和CP的达式以及题设的等量关系来求出t的．③当MP=PC时，在直角三角形中，先用t表示三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的．综上所述可得出符合条件的t的．解答:解）∵∴CN=4-（）=1+t在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在eq\o\ac(△,Rt)MNC中，cos∠=，．学佳育数教组

（）于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，4-t=t解得t=2．（）果射线将△ABC的周平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t=（）解得：（分）而MN=NC=（）∴eq\o\ac(△,S)MNC=（1+t）（1+t2当t=

时，S△（1+t）≠

×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面和周长同时平分．（）当MP=MC时如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）解得：③当PM=PC时（如图3）则有：在eq\o\ac(△,Rt)MNP中，PM2=MN2+PN2而MN=NC=（）PN=NC-PC=（1+t）（4-t）=2t-3学佳育数教组

∴（1+t）（2t-3）2=（4-t2解得：，t2=-1（舍去）∴当t=，t=

，t=

时，△为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合数学思想方法．4、直线y=-34x+6与标轴分交于、B点，动点、Q时从点发，同时到达A点运动停止．点沿线段OA运，速度为每秒1个位长度，点P路线OB运．（）接写出A、两点坐标；（）点Q的动时间为t（OPQ的积为S，求出S与t之的函数关系式；（）S=485时，求出点P的标，并直接写出以点、P为点的平行四边形的第四个顶点M的坐．分析：（）别令，x=0，可求出AB的坐；（为OA=8，OB=6，用股定理可得，而可求出点Q由O到A的间是8秒点P速度是2，从而可求出，当P在段OB上动（或0≤t）时OQ=tOP=2tS=t2当P在线BA上动或3＜t≤8时OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S=12OQ×PD，即可求出答案；（）S=485，出t的，而求出OD、PD，即可求出的坐标，利用平行四边形的对边平且相等，结合简单的计算即可写出M的标．解答：解）y=0，x=0，得A（，）（，（）∵OA=8，，AB=10．∵点Q由O到A的间是（秒∴点P的度是6+108=2（位度秒当P在线段OB上动（或O≤3时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上动（或3≤8时，OQ=t，，如图，做PD⊥于点D，由PDBO=APAB，得PD=48-6t5∴S=-35t2+245t．（）S=485时，∵＞12×3×6∴点在AB上当S=485时，-35t2+245t=485∴t=4∴PD=48-245，AD=16-2×4=8学佳育数教组

AD=82-(245)2=325∴OD=8-325=85∴（85，245）M1（，245（125，245（125，245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题2时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程出现漏解现象．5.已知：如图，在直角梯形

OAB

中，

OC∥

，以

O

为原点建立平面直角坐标系，

，，

三点的坐标分别为

B，CD为线段BC的点P从点O出秒个单的速度线

OABD的路线移动，移动的时间为秒．（）直线BC解析式；（）动点

P

在线段

OA

上移动，当

t

为何值时，四边形

O

的面积是梯形

COAB

面积的

27

？（）点

P

从点

O

出发，沿折线

OABD

的路线移动过程中，设

△

的面积为

，请直接写出

与

t

的函数关系式，并指出自变量yC

t

的取值范围；BDOP

A

x6.如图，已知中AB厘米，BC厘，点D为的点．（）果点在段上以3厘米/秒的速度由B点点动，同时，点Q在段CA上C向点动．①若点Q的运速度与点P的运速度相等，经过秒，与△CQP否全等，请说明理由；②若点Q的运速度与点P的运速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全？（点Q以中运动速度从点C出以来的运动速度从点B同出发逆针沿ABC三运动，求经过多长时间点P与点Q第一在的哪条边上相遇？ADQB

P

C学佳育中学研

四形的点题后业1.如，已知与BC相于E1＝∠＝3，BDCD，ADB＝90°，⊥于H，交AD于F.（）证CD∥；（）证：△BDE≌△ACE；（）O为AB中，求证：OF＝

12

BE.2、如图1――2l，在边长为a的形ABCD中，DAB60°是于AD两点的动点，F是CD上动点，满足AE＋CF=a，说明：不论E、F怎移动，三角形BEF总是三角形．3、在平行四边形中，EBC中点，连接并长交DC的长线于点F．(1)求证：

；(2)当

与

AF

满足什么数量关系时，四边形

是矩形，并说明理由．DACB

EF4、如图l－－，知正方形ABCD的对线、BD交于点O，E是AC上点，过点A作AGEB，垂足为，AG交BD于F，则OE=OF．（）证明0E=OF（）答（1）题后，某同学产了如下猜测：对上述命题，若点在AC的长线上AG⊥，AG交EB的延线于G，AG的长线交DB的延线于点F其他条件不变，则仍有OE=OF．：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．学佳育中学研

5、图，在梯形ABCD中AD∥BCAD，，B45从点出发线段

以每秒2个位长度的速度向点

运动；动点

同时从

点出发沿线段

以每秒1个单位长度的速度向终点D运．设运动的时间为t秒（）的．（）∥时求的．（）探究：

t

为何值时，

△MNC

为等腰三角形．DNB

M

C6.如所示，有四个动点PQEF别从正方形ABCD四个顶点出发，沿着ABBCCD、DA以样的速度向B、C、、各移动。（）判断四边形PQEF是方并证明。（）是否过某一定点，并明理由