版数学人教A版必修1课件3.2.1几类不同增长的函数模型

函数模型一般地,设自变量为x,函数值为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条

件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际

问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性①单调递增

②单调递增

③单调递增

随x的增大函数图象逐渐④与y轴平行

逐渐⑤与x轴平行

n值不同,趋势不同增长速度的比较共同点在区间(0,+∞)上,三种函数都是⑥增函数

不同点增长速度⑦越来越快

增长速度⑧越来越慢

介于两者之间总会存在一个x0,当x>x0时,有⑨

logax<xn<ax

三种常见函数模型的增长差异

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.

(√)2.由于指数函数模型增长速度最快,所以对于任意x∈R恒有ax>xa(a>1).

(

✕)3.函数y=log2x的增长速度越来越慢.

(√)4.当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.

(√)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则其图象是直线,所以y是x的一

次函数.5.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.

(

✕)根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知,存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.假如某公司每天向你投资1万元,共投资30天.该公司要求你给他的回报是第一天

给公司1分钱,第二天给公司2分钱,以后每天给的钱都是前一天的2倍,共30天.

几种常见增长函数模型的增长差异问题1.你认为这样的交易对你有利吗?提示:公司30天内给你的总投资为30万元(一次函数模型);你30天内给公司的回报为0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229=10737418.23≈1074(万元)(指数函数模型).由此可见,这样的交易对你没有利.2.上述问题中,你发现了什么问题?提示:函数y=ax(a>1)与y=kx(k>0)都是增函数,随着x的增大,指数函数的增长速度越

来越快,相比指数函数,一次函数增长得较慢.

常见的函数模型及增长特点1.线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.2.指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是

随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.3.对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长

特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称

之为“对数增长”.4.幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.下列是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前

途的生意是

.(填序号)①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50.解析

比较幂型函数、指数型函数与对数型函数可知,当x大于某个值时,指数型

函数增长速度最快,故填①.答案①跟踪训练1(

)甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>1时,甲走在最前面;②当x>1时,乙走在最前面;③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;⑤如果甲、乙、丙、丁四人一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.其中所有正确结论的序号为

.思路点拨在同一平面直角坐标系中作出各函数的图象

比较各个图象的变化趋势

得出结论.答案③④⑤解析在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象如图所示,结合图象易得:①错误.因为f1(2)=22-1=3,f2(2)=22=4,所以f1(2)<f2(2),所以当x=2时,乙在甲的前面.②错误.因为f1(5)=25-1=31,f2(5)=52=25,所以f1(5)>f2(5),所以当x=5时,甲在乙的前面.③正确.当0<x<1时,f1(x)和f2(x)的图象均在f3(x)图象的下方,f4(x)的图象在f3(x)图象的上方,即丁走在最前面;当x>1时,f4(x)的图象在最下方,即丁走在最后面.④正确.当0<x<1时,丙在甲、乙前面,在丁后面;当x>1时,丙在丁前面,在甲、乙后面;当x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.当x充分大时,指数函数的增长速度越来越快,f1(x)的图象必定在f2(x),f3(x),f4(x)图象的上方,所以最终走在最前面的是甲.故填③④⑤.李明家种植蔬菜,他研究了黄瓜的种植成本与上市时间的关系.黄瓜从1月1日开

始上市,通过市场调查,李明得到该黄瓜的种植成本Q(单位:元/10kg)与上市时间t

(单位:10天)的数据如下表:

几种常见增长函数模型的选择时间t(10天)561125种植成本Q(元/10kg)1514.0310.815问题1.根据表中数据,如何选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q(元/10kg)

与上市时间t(10天)的变化关系?提示:画散点图,根据图形确定拟合函数.2.根据散点图如何确定函数模型?提示:根据散点分布特征对比基本函数图象确定模型类型.3.用得到的函数进行拟合,是否一定符合实际问题?提示:不一定.用得到的函数进行拟合时,可能误差较大或不切合客观实际,因此要

对所得函数模型进行检验,切忌盲目下结论.

选择函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较

低阶、较简便的模型.(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能

得出正确结论.(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问

题的功能,能回到具体问题中解决问题.

函数模型的实际应用(1)根据条件,选择适当的函数模型,再利用相关数据求解出函数模型.(2)根据建立的函数模型进行预测和决策,预测过程就是依据模型研究相应性质,

得到结论后再返回实际问题给出决策.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:现有如下四个模拟函数:①y=0.6x-0.2;②y=x2-5.5x+8;③y=log2x;④y=2x-3.02.若从中选择一个模拟函数,使它可以近似地反映这些数据的变化规律,则应选(

)A.①

B.②

C.③

D.④解析

观察题表中数据知,当x=1.99时,y=0.99≈1,当x=4时,y=2.01≈2,当x=8时,y=

3,结合给出的模拟函数可知对数函数y=log2x最为合适.答案

Cx1.992.845.18y0.991.582.012.353.00跟踪训练2(

)某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:(1)写出x年后,该城市的人口总数y(万);(2)求大约多少年后该城市人口总数将达到120万(精确到1年).(lg1.2≈0.079,lg