第章化学中的误差与数据处理

第3章分析化学中的误差与数据处理3.2有效数字及其运算规则3.3分析化学中的数据处理3.1分析化学中的误差3.4显著性检验3.5可疑值取舍3.6回归分析法3.7提高分析结果准确度的方法1第3章分析化学中的误差与数据处理本章学习要求:了解分析误差的意义、分类、性质及其产生的原因；了解误差和偏差之间的区别与联系；掌握误差与偏差的表示及其有关计算；明确有效数字的意义，熟练掌握有效数字的运算规则及其在分析化学中的运用；掌握可疑值取舍的意义和方法：Q检验法和Grubbs法；掌握提高分析结果准确度的方法。2第3章分析化学中的误差与数据处理本章学习重点:1.误差和偏差的表示方法；2.有效数字的意义及其运算规则。3.Q检验法和Grubbs法；4.提高分析结果准确度的方法。33.1分析化学中的误差理论真值计量学约定真值相对真值一、几个值的概念1．真值(xT):truevalue下列情况下，可能认定真值2．测量平均值（）算术平均值:某一测定量客观存在的真实数值。43．中位数(xM):一组测定值经排序后的中间测量值。奇数个测量值：偶数个测量值：正中的测量值两个中间测量值的平均值。4．误差：分析结果与真实值的差异。分析结果>真实值正误差分析结果<真实值负误差mediuan5二、误差的分类1．系统误差（SystematicError）A.定义：由于分析工作中某些经常发生的、比较固定原因所造成的分析误差；B.产生原因：a方法误差：(如重量分析法)b仪器、试剂误差(如砝码腐蚀、试剂或蒸馏水不纯)c操作误差(如预处理不当、洗涤、灼烧）

d主观误差(个人误差)（颜色的观察）6d可测性：误差大小是可测的，至少在理论上是可测的C.特点：c单向性：使测定结果系统偏高或偏低a产生原因：b误差具有重复性：在多次测量中重复出现经常发生的固定原因72.随机误差（偶然误差）（RandomError）A.定义：由于分析工作中，某些无法控制的、随机的、偶然的因素所造成的分析误差。天平零点稍有变动；读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准如：8大小相等的正负误差出现的几率相等小误差出现的几率大，大误差出现的几率小B.特点：

c具有永恒性：不可避免，永远存在b具有规律性，符合统计规律a具有偶然性，可以变化，难以预测9

3.过失误差(GrossError)：由于分析工作者的工作差错所造成的分析误差。☺属责任事故，不允许出现；☺对含有过失误差的数据，查明确证后，弃之不用。3.1.1误差和偏差的表示方法1.准确度与误差(accuracyanderror)A准确度(Accuracy):测得结果与真实值之差。B误差：分析结果与真实值相互接近的程度。用误差来表示。10正误差结果偏高负误差结果偏低特点：☻误差越小，分析结果的准确度越高；☻误差有正负:☻绝对误差不能表示分析结果的准确程度。112.精密度与偏差(Precisionanddeviation)A.精密度:分析结果个别测定值之间相互接近的程度；B.偏差：个别测定值与测定平均值之差；对同一样品，在相同条件下，平行测得一组测定值：

x1,x2,········,xi········xn

12偏差：特点：偏差有正负，偏差为正，说明测量值大于平均值；偏差之和恒等于0。13D.相对平均偏差平均偏差或相对平均偏差越小，则分析数据的精密度越高。单次测定偏差绝对值之和的平均值。E.总体平均偏差C.平均偏差(averagedeviation;meandeviation):14E.标准偏差（均方误差）(StandardDeviation)σ

总体标准偏差n测量次数xi单次测量结果测量数据的总体平均值a总体标准偏差(standarddeviationinpopulation)对一组测量次数较多的数据，n>20,设总体平均值为,则:15n-1称为件自由圆度(f)由于异实际挖分析五中，匙测量畜次数西不可翠能很切大，抓一般n仅为3～7次，龙所以殃，在型计算滚分析塘结果舞的标献准偏座差时挑，需级对上轨述公蜘式作渐出修该正。b样本继标准匆偏差(s哗am锋pl轮est盘an潜da养rd咳d的ev灵ia请ti拥on获)16在标埋准偏班差的墓计算子中，跨由于缝将偏缘瑞差平教方后猾再计适算，愧所以付，大鲜误差蚁得到泉很好愚地反奴映。c相对夺标准吃偏差炭（变列异系炉数）re碧la宁ti圾ve溉s摧ta点nd颈ar租d锐de蔬vi闲at筒io娱n泥(a做lt锐er好at捡io鼓n私in竟de搞x芒;v带ar尚ia航bi宜li认ty得c刻oe钱ff搏ic闭ie绢nt吼;柱va广ri纳at捏io课n旁co烧ef昆fi词ci粉en碗t)17第一眉组：10役.3岂,鼻9.抗8,9.取6,便10垃.2亡,苍10惭.1趟,10魔.4,省10舅.0症,辣9.警7,条1灶0.悼2,痕9混.7比较曾以下屠两组献测量纲数据芒：第二隶组：10杆.0肃,桶10咐.1毕,9.喂3,10烂.2巴,稿9.默9,10症.5,贤9.往8,需1纵0.夸3,晴9屯.9火,搭9.贵8F.平均富偏差弹与标各准偏捉差的权使用喉比较18A.区别弦：准确迈度与真帖实值顺相联全系，级描述韵测定焰结果傅与真昨实值适相坦接近埋程度僚，准千确度转高，盐表示垂分析干结果索与真壤实值窄相接肆近。精密蓝度描述套分析徐数据怠之间瓶相互钳接近痰的程缸度，碌精密季度好悬，表形示分拥析数扰据之朝间彼屈此接蚕近良如好。3.良1.碧2准确吐度与姥精密及度的蹲关系19准确员度高典，一腿定需同要精洗密度炊好；但精规密度肚好，叶不一闭定准姨确度弱高。B.联系坑：例：德甲、凝乙、猜丙、腾丁四血人同丢时测湖定一纲铁矿础石中Fe2O3的含跟量（意真实饶含量猫为50寺.3亩6%），让各分俩析四锤次，埋测得呆结果六如下恶：50霞.4籍0%50隔.3呈0%50胆.2唯5%50蜘.2堤3%乙50盗.3佳6%50谜.3涛5%50排.3耽4%50铁.3拐3%丙50济.3咱0%50领.3芦0%50盈.2筒8%50甜.2扶7%甲：50窃.2奸9%啄5有0.汗30示%骑5强0.愤35慌%吊5竹0.解36姨%50阴.1哪0芬5凉0.乘20需50魔.3去0厦5消0.泛40第5获0.杜50所得劫分析日结果柱如图族：真值图1-1不同分析人员的分析结果50爪.2诱4%50盼.3介2%50浪.4滋1%50键.4伸7%丁甲乙丙丁（精陪密度和高，镇准确披度低角）（精制密度湿不高与，准挑确度沸也不闭高）（精骄密度植和准抓确度巡寿都高暂）（精幸密度沾和准叮确度氏都不渣高）20因此刃，准警确度已和精党密度探是确眠定一隙种分辫析方品法质廊量的受最重钳要的丝式标准忍。通屠常是魄首先次计算各精密漆度，惩因为拾只有欲已知堵偶然错误差接的大膀小，副才能槐确定聪系统旧误差尿（影根响准本确度我）。精密勇度是保库证准母确度建的先鞠决条容件，曾精密叨度低彻，说淡明所嗽测结错果不缺可靠令，当症然其园准确堵度也敏就不抗高；鞭如果易一组死数据抽的精腹密度聪很差悟，虽摇然由择于测态定次腔数多倚可能岂使正崭负偏疮差相冰抵消校，但葱已失啊去衡腔量准赛确度惊的前感提。精密而度取促决于列偶然男误差耳；碍准确敬度取晨决于玩系统期误差父和偶率然误嫂差之炒和。C.准确竹度、尸精密缎度与喷分析羊误差翠的关汇系21偶然酷误差包和系登统误帝差的双最显旨著特前征偶然（或不可测）误差系统（或可测）误差(1)由操作者、仪器和方法的不确定性造成(1)由操作者、仪器和方法偏差造成(2)不可消除但可通过仔细的操作而减小(2)原则上可认识且可减小(部分甚至全部)(3)可通过在平均值附近的分散度辨认(3)由平均值与真值之间的不一致程度辨认(4)影响精密度(4)影响准确度(5)通过精密度的大小定量(如，标准偏差)(5)以平均值与真值之间的差值定量223.头1.扫3极差徐（全荒距、谋范围话误差踪蝶）1.定义笼：一组秩测量障数据秩中，裁最大汉值（xma靠x）与兵最小奶值（xmi腔n）之纸差。23分析刊结果继超过估允许饿误差控范围邮。3.消1.曾4公差(t狸ol策er啄an迅ce增)1.定义报：生产芽部门察对分酬析测区量结僚果允唤许误刮差大摊小的捏界定挖。超差(ov类er仇pr辫oo饲f)：公差悼：2.公差料范围圆的确盘定A.对分描析结哀果准微确度遥的要掘求；B.样品水组成般；C.被测尽组分螺含量;D.所用鸭分析障方法万本身逢的准拌确度授。243.记1.所5误差困的传合递分析牢结果雄通常赛是经胁过一坚系列紫测量事步骤屿之后矿获得陈的，筋其中胜每一跳步骤短的测深量误砌差都括会反课映到部分析肚结果贪中去伪。设毙分析负结果R由测掏量值A、B、C计算涂获得止，测伯量值国的系米统误拖差分考别为EA、EB、EC，标准阻偏差眠分别粉为SA、SB、SC。25一、暂系统必误差昨的传腐递1.加减汗法2.乘除滴法3.指数套关系4.对数裹关系26公式条推导1.加减沉法2.乘除慨法27二、兰随机洽误差竿的传街递1.加减振法2.乘除股法3.指数翻关系4.对数测关系28公式卧推导1.加减胁法对任所一测遮量结嘴果R=f(A言,B,…秒),设A，B…等做路了n次测宁量，膝得到n个R值。根据繁高斯浪正态签分布缺规律仗，正扫偏差株和负浆偏差汁出现尘的几萌率和战大小孟相等葛，则创上式策中非难平方储项必重然相兴对消主。对于贯上式黎：R=A+B–C，29三、炒极多值误傻差在分累析化省学中龟，当谦不需创要严咐格地野定量病计算城，只运需通捉过简陈单的孙方法磨估计须一下救整个菠过程窑可能勺出现借的最驱大误刃差时政，可姥用极阿值误充差来后表示秘。303.后2有效宁数字移及其傻运算围规则一、恐有效躬数字战的位蚀数及剂其意支义1.有效角数字则的定莫义：有效女数字(si夜gn国if寄ic迎an爽t宽di妖gi目t及;s滩ig推ni技fi旅ca冲nt采f培ig泄ur画e)是指效分析掩工作皮中实叔际能六够测植定得脖到的羊数据君。包悦括全族部可坑靠数森字及付一位潮不确范定数饺字在肿内。2.记录刷有效帽数字偷的方磁法根据那测量废方法却和仪录器的舰准确陡程度庆，使桂所记圆录的廊数据有且押只有估读坊的一凶位数哑字（可疑料值）。31m◆分析病天平(称至0.僚1含mg组):莲12毅.8监21毫8菜g(6赵),气0截.2脉33戚8恒g(4浅),0.帖05拣00耻g(3计)◆千分辜之一肉天平(称至0.尸00为1杀g)额:凉0.胳23闯4楼g(3情)◆1%天平(称至0.弹01惕g门):洋4佳.0阁3昨g(3融),樱0.敌23合g(2辣)◆台秤(称至0.因1普g)尾:敲4.椒0予g(2缝),五0.年2码g(1博)V★滴定依管(量至0.闪01绞m哄L)戴:2苦6.乓32伏m吹L(4挡),3.谨97分m茅L(3倾)★容量缓瓶:1状00软.0臂m剖L(4惩),车25榜0.厕0mL(4竹)★移液上管:2掀5.塘00粗m垮L(4锈);★量筒(量至1mL或0.简1mL):袄2喷5押mL(2浩),兆4.拐0者mL(2辫)32有效盖数字亚的位客数包肚括所清有准研确测地量数因字和组最后樱一位医估计睁数字政；“0”在具铃体数黑字前独面时累，只所起定边位作拔用，灯不能考算做勺有效怒数字忠，但卧“0”在具吩体数砍据之侵后，窝无论捧中间悦或最锐后，尊均作皮有效律数字疏；自然泊数的合有效郑数字故位数钢不确绵定，狸应根饮据具减体实艘际，越改写肠成相旬应的旺指数娱表达愤形式晶；0.碗03持82摊1蒸.0腔00育8底0.埋10愁003.有效桃数字殿位数袄的确舰定36杨0043愿.1卷8133pH卸,pM,lo拾gk,肾10x等对厦数、瞒负对填数、砍指数吨形式标，其缝有效术数字节的位昌数只乏取决厌于数态字的监小数散部分,因整锯数部乐分只予起定壤位作娃用。分析元应用该中的钱计量闻关系阿、换摄算关峡系、底常数忍等非缠测量军所数森值,视为和无限鸣多位,根据双需要,决定县取用小位数蛾。数据鞭的第一房诚位数出大于绳等于8的,可多剂计一储位有刘效数景字。9.沃45剖×1阿0495引.2彻%8.破65。10-2惜.3天4pH妹=1涂1.阴02[H+]=册9.钟5×晨10-1流20.筒00肃4634如0.驻51膝80男g,若记棵为0.廊51纲8川g,则测咏量的梅相对欢误差娇由±0期.0粘2%变为±0刮.2演%,测量谅准确溪度降射低了10倍。4.有效疤数字巩的意回义通常刻表示射最末乳一位进有±1单位静误差天，即救测量娘准确听度例:某物妨体质粗量m=3差1.轧27牢65责g,表示隔其值剂可能害为:(殊31陵.2蔽76眯5顿±0但.0武00些1)短g直接钓表示壶测量录结果裙的相洗对误荡差，胳多记怖或少锻记有着效数团字，迷表示古测量蒸误差雷的改旬变。35例如:要修樱约为售四位术有效训数字:尾数≤4时舍,销0螺.5匪26膝64廉-跳--碰--陡--携0集.5帖26间6尾数≥6时入,郊0惭.3庙62削66杂-拨--叮--舞--弊0医.3粱62挥7尾数乓＝5时,驱10厘.2父35棋0-振--泊-1桥0.你24弓,25食0.药65裹0-满--球-2河50优.6二、逼有效猜数字割的修约规则1.修约：当进菠行运妄算的推有效似数字钳位数姥不相培同时棋，根百据一液定的两标准壳进行松舍弃裁，这赶种舍传弃多模余有斜效数海字的竞过程臂，称购为有也效数溪字的修约。2.原则：四舍俯六入寸五成妄双36如:史2.咽54宏81我(两位2.薄5)3.修约篮只允丑许对牧原测股量值症一次勾修约桨到所格需的伸位数，公不能辽分次高修约源。2.锐34视91抹(两位2.威3)例如:要修测约为口四位绿有效锦数字妄时:尾数里＝5时,若后跳面数浪为0,舍5成双:策10匀.2攀35踢0-贯--元-1胜0.尺24养,25勉0.艳65付0-祸--票-2记50向.6若5后面炒还有号不是0的任勾何数胖皆入:讲18去.0间85罩00禽01责--络--冲18拴.0虫9四舍春六入樱，五陆后有沟数就麻进一孝，五纽奉后无犬数就田成双37E有效恰数字滔的运利算规置则1.加减塘法几个适有效羡数字抱相加桶减时炮，它泉们的球和或箩差的赢有效丝式数字塘保留丢，应姨以小僻数点厕后位贱数最容少（膜即绝赚对误反差最毅大）亡的数博据为廉依据支，先葛修约缎后再康运算现。±0.1±0.01±0.00150.11.5+0.652.250.1

1.46+0.581252.1(×)52个.1贪41程2382.乘除之法例2几个狸有效蓄数字钞相乘超除时贺，它井们的工积或产商的子有效谎数字耕保留丹，应疼以有煮效数小字总笑位数企最少稻（即奋相对某误差耕最大绒）的选数据哲为依查据，制先修耻约后暮再运千算。例10.燥01击21捉×还2聚5.型64孔×再1员.0错57剑8＝0.察32负843董2(±0碍.8安%)(±0薯.0芝4%庙)(莫±0么.0柏1%箱)斧(得±0而.3炒%)0.多01休21急×2建5.线6×所1.贴06＝0.铺32葬8394.当数辛据的第一错位数锋大于区等于8的，繁在运窃算过摩程中束，可多撕保留时一位芳有效效数字摄，如9.屈45房诚×1迫04,95亦.2涨%,亲8畏.6昌5等，触均可盯看作4位有音效数紫字。lo疮g27眉.3怖8=打1.糠43沿743.对数冬运算设中，渠所取添对数羡位数著应与走真数吃位数挡一致搂；5.在计劈燕算过睛程中,为提烧高计矮算结辱果的翅可靠惭性,可暂旋多保泛留一花位,但最胞后结丝式果应孕保留律与准恶确度亦一致慎的有绝效数描字位卫数6.在计滑算分增析结撒果时,组分蚁含量:>1纺0%孔,保留颤四位沙；1~绒10赚%,保留杯三位<1剥%密,保留吼二位俘；各类单误差终通常是取1~抬2位40甲：0.据04喉2%泡,旬0概.0枕41册%乙：0.移04溉20寇1%认,巡寿0茅.0触41禽99衔%谁的纷合理喇？四、震有效蔬数字挨运算周规则释在分侨析化馅学中站的应娱用1.正确吓地记姐录测赵量数爱据；2.正确教地表侍示分蜡析结伍果，咽使测坦量结雹果准帝确度隔与测量过队程、啊仪器镰和方尼法准因确度词一致等；如:称样0.还03场20魄g房诚,称样0.译3脏20绑0怒g,则w=1玻2.盐3%中;则w=1晒2.幻玉31永%;又如纱：测定束煤中仆含S量，辅称样行量3.犁5妻g,报告柔结果摧：41一、频数求分布在相盟同条络件下缴进行梨的试椒验和惰观察叉，其妹可能催结果辟不只支一个绢，事挤先无屿法确腐定，兵这类暗现象司称为警随机骗现象挪。随毕机现倚象也魔称为抖不确雀定性版现象抄。例如摘：有捞一矿公石样跨品，横在相裂同条捎件下羽测定Ni的百娇分含权量，朴共有90个测但定值国，这派些测坊定值泡彼此拔独立羡，属冶随机青变量，见驱下表拥：随机恶现象呢：频数于分布3.头3分析价化学撒中的熟数据齿处理3.朴3.昼1随机会误差夺的正你态分鸽布421.601.671.671.641.581.641.671.621.571.601.591.64

1.74*1.651.641.611.651.691.641.631.651.701.631.621.701.651.681.661.691.701.701.631.671.701.701.631.571.591.621.601.531.561.581.601.581.591.611.621.551.52

1.49*1.561.571.611.611.611.501.531.531.591.661.631.541.661.641.641.641.621.621.651.601.631.621.611.651.651.641.631.541.611.601.64

1.65

1.59

1.58

1.59

1.60

1.67

1.68

1.69

43极差献除以锦组数追即得勇组距耽，此帆例组展距为:为了藏研究疑测量知数据浮分布伟的规英律性主，按荡如下旧步骤暖编制颜频数殊分布抢表和座绘制孙出频福数分茶布直躁方图筝，以讯便进骄行考撤察。1.算出极差R=浩1.肺74霸-1餐.4蛇9=娱0.眉252.确定勇组数可和组肠距视样怨本容甚量而性定，摘本例垂分成9组。组距哭：组数担：443.统计总频数丧和计州算相熔对频陡数相对兄频数衫：频数店与样晋本容耐量总制数之点比。频薯数：落在病每个犯组内册测定受值的淹数目蹈。为了络避免织一个录数据业分在矿两个陡组内奸，将晓组界始数据丙的精浅度定宾提高浩一位,即1.牛48勾51.块51认5,桌1遍.5预151.烂54沟5，这返样1.旦51就分昆在1.拐48沾51.吼51粮5组。每组弯数据凝相差0.筝03，如1.孔481.皱51叮,婆1.坟511.箩54。45频数分布表分组频数相对频数1.4851.51522.2%1.5151.54566.7%1.5451.57566.7%1.5751.6051718.9%1.6051.6352224.4%1.6351.6652022.2%1.6651.6951011.1%1.6951.725

66.7%1.7251.75511.1%∑90100%464.绘直箭方图以组罪值范硬围为看横坐阳标，方以相宋对频胃数为斜纵坐羊标绘笛制直予方图晃。测量愧数据红有明症显的纷集中搏趋势还，这种誓既分醉散又唱集中所的特袖性，庆就是鸭其规戚律性辰。47二、正态布分布在分饶析化锹学中郑，测跳量数身据一恰般符危合正妖态分熔布规据律，饺即高斯踢分布麻：可以绒设想涂，如纺果测温定的辽次数歉不断罢增加丛，组熄距越枪来越萝小，绘分组遇越来读越多宴时，毫就会亲得到贡一条捏曲线搞，这核条曲胸线就勺是正现态分庙布曲娃线。48正态弯分布杰曲线和数学揉表达金式为壶：y：概率黎密度词；x：测量关值；：总外体平犹均值球，即河无限干次测威定数梯据的枪平均重值，无系拆统误上差时赢即为叼真值伟；反曲映测冶量值岂分布的集悉中趋补势；：标磨准偏狡差，筑反映命测量隔值分验布的剑分散什程度坐；x-：随浊机误甚差。491212(

相同)1<2如果厕精密男度好销，小，轻分布袖曲线识为瘦利高型埋；如果李精密非度不腊好，大，另分布朴曲线商为矮拔胖型怠；同时招也与有关冠（平酿移）涌，所地以这播种正凉态分披布曲诵线也狡可用N(,2)表示嫁。分布夺曲线从的形棍状与饥一组植测定引数据登的标爽准偏暮差有关辈。50当x趋于帐－∞喊或＋尺∞时予，曲障线以x轴为洲渐近触线，仰即小艳误差守出现鞠概率今大，扇大误叙差出还现概渐率小炊，出窝现很我大误青差概塞率极纯小，鹿趋于轮零。正态面分布孕曲线钢规律和：曲线下以x=这一不直线些为其锅对称旷轴，秋说明枝正误狂差和逆负误茶差出延现的孝概率姥相等他；x=时，y值最鸦大，难体现拦了测盾量值傻的集漏中趋拳势。墙大多板数测蛛量值享集中酸在算售术平幻玉均值与的附更近，册算术裕平均劣值是供最可津信赖呆值，斩能很隐好反纸映测济量值薪的集悦中趋指势。反映谨测量太值分属布集陕中趋光势；51σ越大窑，测述量值抓落在附近叛的概略率越组小，希即精修密度巨越差薪时，往测量专值的撕分布暑就越但分散找，正荣态分鸣布曲日线也容就越熊平坦越（正狐态分如布曲沃线越情“胖抓”）识；叹反之佣，σ越小巧，测辛量值宪的分阳散程爷度就哑越小桌，正锡态分辈布曲爪线也艺就越咏尖锐浩。σ反映效测量北值分斩布分奏散程晶度。因此扬，和是正姓态分仙布的飘两个尖基本貌参数贸，这肾种曲初线用N(,2)表示复。无论和值为菠多少紧，曲蔑线和嫁横坐柏标之舰间的梨总面飘积为1，即宏各种扭偏差谜的测尝定值梳出现高的概属率总俭和为1。52测定喜值落缎在指驶定区炼间(a,b)的概愚率为念曲线会与a,b间所弹夹面可积（倦阴影抛部分精）。ab53x=时的工概率浙密度患：越小售，y越大报，测量央值分蓄布越述集中棋。越大壳，y越小遗，测量猪值分讽布越艇分散聪。54三、共标准励正态盆分布台曲线为简酬化计许算，玩作如其下变档量替芝换：两边灯微分柳得将新变量民代入帖原函适数:dx=赔du55所以筋：56以u为变饺量的徐概率脖密度逃函数炕表示井的正铃态分挠布曲糖线称筹为标准伴正态滑分布曲线袄，=杏0,=应1，以N(山0,趁1蒸)表示茄。注：u是以σ为单烤位来妥表示捕随机框误差x-的点，即∪与∩交界点57标准谢正态属分布令曲线舱的特寇点横坐芽标是酸以为单们位的x-值，唉曲线捆形状矛与大小叮无关;曲线浇最高饼点对岩应于u=0熄;无论多大烧，都兄被看疾成1，对染不同书的和，标在准正鞠态分安布曲英线都担适用发。标准辛正态暂分布愧曲线甩就是以总烂体平移均值为原隔点，普以为横熔坐标乘单位的曲坏线。然拐点蕉在u=1的垂派线上合。58四、惯随来机误纵差的浩区间占概率正态鹿分布璃曲线蛋与横削坐标−∞到+∞之间洁所夹都的面兽积，拣代表验所有面数据禽出现回概率怜的总运和，叨其值倍应为1，对早于标霜准正撤态分阿布曲码线，男即概考率P为：随机尚误差在标勤准正产态分拾布曲长线某踏一区沟间出针现的旁概率还，可耕以取界不同u值对徒上式诞积分宪，如蚂考虑u范围桐内所害相应质的概象率，骨则必姿须乘昏以2，见请下图红。59不同u值的扭积分怪结果慕（表像示随牧机误回差在秒此区化间的递概率事）前叉人已馆求出腿。图3-做2正态羽分布殿概率良积分燥图60表3-绑2正态挠分布锄概率条积分战表p.及5英761例如：随躲机误竞差在u=1，即不测量悬值在1区间贱的概踏率是肝：2×案0.裙34蓝13矿=梢6剥8.谱3%，同理喘可求叛出测接量值呈出现盗在其案他区沙间的她概率窄。随机误差出现的区间(以σ为单位)测量值出现的区间概率u=1

x=1σ68.3%u=1.96

x=

1.96σ95.0%u=2

x=

2σ95.5%u=2.58

x=

2.58σ99.0%u=3

x=

3σ99.7%利用甩上表告可求贡出随举机误创差或戴测量辆值出橡现在胶某一冬区间岭的概季率。62例1已知勺某试桶样中Co质量馆分数灭的标沟准值睡为1.者75畅%，σ=0荣.1笛0%，又已苦知测矿量时瓦没有肢系统碎误差赖，求细分析秃结果英落在(1万.7迎50.甩15沿)%范围举内的葱概率挂。解：查表可知能，分例析结岁果落在(1碌.7丽50.金15厚)%范围露内的客概率慎为2×描0.啊43丧32羽×1雾00趁%险=塔86楚.6圾%。63例2同上劳例，册求分皮析结建果大父于2.慨00山%的概乱率。阴影吐部分刮的概明率为0.名49昌38，整每个正沿态分壁布曲舟线右蝇侧的拣概率灵为1/竟2，即拴为0.辟50窜00，故糠阴影丧部分惊以外远的概仿率为0.旧50腾00－0.咸49母38信=0乎.6剥2%，即兼分析饮结果富大于2.碎00丧%的概纸率为0.然62访%。解：张属于捞单边雁检验搅问题欲。643.承3.渣2总体六平均鸦值的载估计一、t分布唯曲线对于刊少量毙测定暑数据凝，总摇体标传准偏比差不知袜道，吴只能杠用样此本标犹准偏玻差s来估计粥数据谣的分助散程划度，t分布缴纵坐嘉标仍撤用概所率密掉度，忠但横隙坐标垂用统剪计量t，t定义并为：正态陡分布森是无释限数场据的束统计缎分布滩规律镜，但傻实际丑分析瞧中，贼只能勇是有爹限次悦的测你量，姑因此旨，如彼何用箭统计谋方法劲处理节有限泄次测过量数灵据？默由英捉国化方学家W.数S.缺Go慰ss档et提出穴用t分布惰处理夜。65可得到税与正制态分型布曲爬线类竭似的t分布西曲线达，见下秀图。66自由骂度f深—迁—碍de鉴gr筒ee考o求f李f喉re球ed恩om（f=n-1）t分布犁曲线虑与正延态分堆布曲稍线相目似，昏只是t分布增曲线蚀形状每随自抛由度f而改攻变。沫当f趋近时∞时瓜，t分布搭就趋住近正把态分屋布。t值-5-4-3-2-1012345-0.4-0.3-0.2-0.1f=∞f=5f=167与正态俩分布免一样姓，t分布火曲线职下面文一定狠区间阻内的牌面积询，就荡是该陡区间支内随赢机误咏差出尽现的层概率艳，不护同的阴是t分布捏曲线膜形状扒不仅趋随t值改趟变，缴而且贞与自抗由度f有关达，不铅同自使由度f及概历率下他所对本应的t值已计算吓出来卸（表3-功3）68表3-掩3t,连f分布钳值表(双边)

tα

，ff置信度P、显著性水准P=0.9=0.10P=0.95=0.005P=0.99=0.0116.3112.7163.6622.924.309.9232.353.185.8442.132.784.6052.022.574.0361.942.453.7171.902.373.5081.862.313.36201.722.092.84∞1.641.962.58p.娃6欢169例：t0·督05，10表示榜置信哲度为95墨%，自你由度伶为10时的t值。t0·范01，5表示专置信删度为99黎%，自调由度躬为5时的t值。置信旬度P(d妇eg鞭re慢e保of像c征on滑fi码de狠nc棒e;桃c稍on辈fi月de辽nc购e仰le莫ve共l)在某勉一t值时冷，测类定值伏落在(ts)范围碍内的蜘概率劝。显著饼性水并准α(le瓶ve郑l廊ofsi托gn叨ni唯fi览ca缸nc行e)在某序一t值时脉，测踪蝶定值态落在(ts)范围雀以外爬的概竭率(l－P)ta，f：t值与慨置信数度P及测巴量次五数（格自由枪度f）有蜜关。70一定换置信围度时较，以狂测定坛值或落样本再平均自值为适中心翅，包脚括总艺体平格均值科在内弦的可刚靠性倡范围嫌，称置信日区间。1.置信密区间(c悉on汗fi帮de糊nc宣e猪in写te居rv轰al朝)当n趋近絮∞时芝，用单次蝇测量斑结果奸来估鞭计总如体平是均值刊范围嗓：根据饭前面等讨论栋可知卧：包括迟在（x±1σ）范挖围内踩的概泡率为68梦.3饶%，包括友在（x±1迎.9辉6σ）范叛围内雀的概需率为95瞎%听··污··踏··。二、鄙平颗均值忆的置货信区劫间(Co坑nf稳id堆en膏ce洁I排nt辣er亿va倘l俊of约t馒he瓣M忽ea佩n)71也可饲用样枪本平轮均值来估计笔总体座平均科值可政能存范在的农区间最，则淹用下亮式进刷行估尖算：因为救：上式悦表示典以样节本平书均值究为中排心的范包括貌真值垫在内芒的取神值范偏围，暗即平均夸值的逼置信眠区间饭。72对于舱少量败测量欠数据养，即既当n有限彼时，穷必须蜻根据t分布批进行笨统计薄处理躺：它表且示在唐一定茎置信挠度下拴，以龟平均隐值为己中心冻，包友括总抚体平渠均值忘的范辟围,这就堤叫平均句值的归置信破区间。或表璃示为总体染均值的置占信区敬间为蛇：～73正确隆地理和解置太信区虏间的冷含义超：在47花.5谣%0西.1误%区间贝内包摇括总挠体平俩均值的概乔率为95迎%。意义牛：=47侧.5气%0墙.1冷%卖(置信抄度为95殃%)74例:对其愉未知截试样蒸中Cl-的质婶量分信数进丸行测贪定，4次结把果为47扬.6耻4%，47穷.6黑9%，47拿.5丹2%，47村.5精5%。计胃算置荷信度璃为90金%，95翅%和99校%时，谅总体暗平均耽值的置帜信区煮间。解：置信暑度为90华%时，组查表3-球3可知:t0.拜10零,铃3=敏2.扭3575置信讲度越套高，政置信侦区间虫就越衡大，缓所估延计的借区间鞠包括锄真值肉的可炎能性板也就越大深，一止般将飞置信波度定勒在95狼%或90经%。同理孩，置末信度济为95洗%时：置信受度为99恩%时:763.制4显著袜性检熊验（Si湿gn炭if滨ic谎an筋ce漆t掘es上t）当不同裁分析秆方法螺分析变同一肿样品不同独分析耻人员这分析药同一额样品分析兽结果烤可能挺产生活差异那么秋，这摘种分女析结绩果产也生差于异是相偶然业误差紫还是瞎系统少误差疯引起往？如术果纯领属偶堆然误杯差引功起的遭，可甘认为父是正污常的单。是冤否存绍在系躲统误午差，属可通骨过“显著安性检构验”来雨判断狂。新方后法分努析标妖准试启样或疫纯物虾质771.t检验懒法（1）平猜均值错与标伸准值忽的比样较（判断混新方我法的砌可靠亦性，扛即是裤否存帝在系静统误爱差）为了并检查幕分析瓶数据直是否喊存在绍较大览的系爪统误鹊差，雕可对揪标准什试样钳进行计若干愁次分童析，信再利扑用t检验娘法比霸较分遇析结慌果的搏平均栏值与瞒标准辟试样蜂的标糖准值饶之间氏是否格存在值显著纷性差少异。进行t检验熊时，咽首先厦按下铸式计络算出t值78若t计算>ta,悲f，存在馒显著或性差辛异，否寸则不蓝存在键显著岁性差符异。翻（通染常以95明%的置掉信度太为检伸验标鹿准，更即显肺著性庸水准轻为5%或0.谋05）。例:采用唇某种策新方改法测冷定基水准明很矾中竿铝的责质量烂分数券，得僻到下挪列9个分直析结衰果：10滤.7劫4%，10柔.7规7%，10挤.7规7%，10诱.7卫7%，10航.8副1%，10今.8哀2%，10你.7漆3%，10边.8负6%，10歼.8址1%。已尽知明第矾中恭铝含吸量的哑标准朋值(以理善论值哨代)为10柳.7愿7%。试槽问采脏用该贵新方驾法后湿，是耕否引舅起系篮统误层差(置信惯度95疾%)泳?79查表3-斯3,P=0叉.9并5，f=弄8时，t0.狮05,8=2银.3拢1。t<届t0.雨05皇,8故x与之间趁不存患在显补著性蹄差异破，即谊采用筹新方欠法后刑，没耕有引姨起明斩显的貌系统停误差。解:n=9腔,f=誓9-逝1=推880（2）两太组平也均值际的比痰较设两千组分肃析数暑据为:n1s1n2s2是否六存在夹系统鬼误差?求合素并标载准偏闯差s:（判婆断分雕析方岛法或呢不同顷分析风人员访之间皇是否珍存在有系统咬误差)81在一故定置挑信度准时，斗查表3-聋3(总自遇由度f剃=n1+n2-2俗),若t旦>辉t表两组秀平均屋值存烧在显男著性弃差异和；t暂<染t表，则裕不存搏在显唇著性旨差异拌。然后回用下杀式计炭算t值：f别=？822.F检验升法通过逮比较有两组艺数据纤的标稍准方骑差s2，以确踪蝶定它嚷们的公精密陪度是材否有机显著送性差私异的狮方法愈。(用于圾判断吹两组有数据仙的精密询度是否垮存在光显著缺性差退异。)两组惠数据乘的标沟准方淘差的拒比值棋，分近子为薪大的罚方差勺，分糟母为盾小的帖方差辩。统计确量F定义控：83显然剖，若拆两组琴数据躬的精闲密度碗相差院不大锻，则F值趋匆近于1；若押两者氧之间夫存在核显著葛性差柜异，F值就煮较大末。在一女定的P(置信皮度95长%)及f时，寸查表3-斜4，若:F计算>F表，存损在显吹著性归差异谋，否车则，英不存刷在显着著性徐差异填。84表3-仗4置信啦度95屡%时F值(单边)f大f小2345678910∞219.0019.1619.2519.3019.3319.3619.3719.3819.3919.5039.559.289.129.018.948.888.848.818.788.5346.946.596.396.266.166.096.046.005.965.6355.795.415.195.054.954.884.824.784.744.3665.144.764.534.394.284.214.154.104.063.6774.744.354.123.973.873.793.733.683.633.2384.464.073.843.693.583.503.443.393.342.9394.263.863.633.483.373.293.233.183.132.71104.103.713.483.333.223.143.073.022.972.54∞3.002.602.372.212.102.011.941.881.831.00f大:大方讨差数悬据的择自由惠度;f小:小方虑差数席据的押自由陪度。p.锄6营485例7用两嚼种方握法测雁定合赛金中凭铝的低质量炼分数鸦，所规得结信果如诉下:第一住法1.亲26浅%岛1雷.2门5%毕1迟.2闭2%第二轿法1.住35辛%动1随.3脸1%折1擦.3滤3%排1叉.3暑4%试问稠两种呜方法离之间栗是否孝有显伴著性扒差异(置信橡度90乒%)延?解:n1=3，=1题.2祖4%s1=0欢.0甲21克%n2=4，=1源.3评3%s2=0暑.0早17舍%86当P=0汁.9生0，f伤=n1+n2-2家=5时，t0.化10藏,得5=2由.0千2。t托>叛t0.疮10老,秀5，故两浴种分架析方睛法之忧间存积在显雁著性灭差异帮，存在引系统求误差，必须丢找出图原因白，加称以解象决。查表（3-镜4）:F础<粪F表说明播两组肉数据界的精密捐度没有针显著歉性差槽异合并购标准块偏差:87例8在吸标光光文度分柜析中饶，用丸一台素旧仪稀器测肆定溶览液的然吸光加度6次，鄙得标求准偏庸差s1=团0.龙05际5；再达用一陪台性海能稍翁好的隶新仪绒器测敲定4次，价得标经准偏沈差s2=耕0.久02两2。试架问新锹仪器战的精穗密度狂是否忠显著葵地优龟于旧刮仪器奸的精蛛密度?解:已知昆新仪恋器的压性能灿较好猫，它询的精冲密度打不会牵比旧凤仪器释的差雹，因艳此，抛这是狱属于巴单边高检验酷问题杠。已知:n1=6，s1=0阅.0收55n2=4，s2=0斤.0晓22查表3-病4，f大=6思-1岂=5，f小=4孤-1坑=3，F表=9究.0顷1，F<杰F表，故搏两种文仪器胳的精脚密度献之间叹不存季在显识著性易差异屋，即俯不能笑做出港新仪替器显福著地括优于薯旧仪版器的啄结论碗。做即出这幸种判唤断的宰可靠兵性达95炸%。88例9采用巾两种架不同然的方堡法分火析某谅种试汪样，哗用第粘一种身方法丝式分析11次，模得标辨准偏岁差s1=0刃.2春1%；用当第二变种方语法分讲析9次，刑得标假准偏丢差s2=0串.6么0%。试聋判断览两种崭分析奇方法携的精伞密度后之间呼是否见有显络著性恢差异?解：规不论露是第豪一种否方法箩的精肢密度枕显著愚地优凳于或梦劣于甲第二帆种方淋法的主精密遮度，棒都认闷为它肺们之填间有赔显著虎性差冒异，奔因此藏，这树是属纹于双躲边检临验问拾题。已知:n1=11，s1=0·拘21等%n2=9，s2=0·舰60宿%查表3-页4，f大=9队-1适=8，f小=1小1-劳1=四10，F表=3晌.0匠7，F>君F表，故率认为杨两种因方法兵的精项密度习之间测存在窝显著最性差芒异，赵作出榆此种岗判断纷的置责信度众为90戚%。893.昆5异常废值（cu樱tl病ie倒r）的取估舍在一悬组分倡析测臭定数袭据中素，有袋个别蜘测量牺数据棉与其扛他数梅据相弦差较竭大，互这一士数据渴称为淡异常丽值（男也称馆可疑司值或粱极端桌值）恢。若是兄过失协造成处的，串则这根一数联据必蒜须舍巾去。序否则泊异常捷值不恰能随妥意取江舍，麻特别寇是当冒测量嫂数据滥较少尽时。常用铁处理把方法议有4法、登格鲁乖布斯(G睡ru妄bb拦s)法和Q检验栗法。1.异常搅值90原理：根父据正铜态分售布规抱律，遍偏差组超过3σ的个锐别测袖定值创的概谎率小肺于0.但3%，故斯这一丸测量则值通炒常可凳以舍型去。警而δ=0.慰79疗7≈士0.呢80,剩3≈4,即偏死差超烧过4的个听别测陡定值廊可以今舍去，对于亿少量街实验汁数据混处理龄，用s代替，用继代强替（1）将异常照值除槐外，镜求其闲余数拍据的跌平均乖值蝴和残平均更偏差希；步骤弃：2.4法91（2）求异隙常值缎与平腐均值踩之差已的绝感对值纸，如守绝对授值差值秘大于，则将颤可疑群值舍池去，轧否则些保留，轧即：当4法与拉其他谋检验妥法矛渠盾时摆，以域其他酬法则耗为准宴。舍弃保留92例:测定名某药旦物中落钴的刻含量什如(g/栗g)，得结柄果如矿下:碍1.确25，1.往27，1.坚31，1.色40。试华问1.碗40这个繁数据每是否淹应保哥留?首先玩不计尖异常露值1.楼40，求国得其励余数歉据的限平均暂值和椒平均遇偏差恶为故1.尺40这一毁数据些应舍攻去。解:异常怀值与枣平均烘值的津差的解绝对心值为:|1患.4醋0-决1.且28周|=脸0.惧12＞4(0快.0轰92即)933.格鲁殊布斯(G而ru诊bb柜s)法若x1可疑革：步骤披：(1姻)将一里组数颤据，灵从小骄到大袭排列执为:x1,x2,贫…症…,xn-侍1,xn其中x1或xn可能滥是异为常值(2然)计算筛出该交组数坦据的麻平均跨值艰及蛛标准西偏差s;(3裹)计算情统计便量T：若xn可疑剥：94（4）查换表比吐较：服将计竿算所吴得T值与表3-反5(豆p.似67蒙)中相祝应值比较回，若T>T,午n，则园异常盆值舍尺去，肌否则追保留崭。例:前一索例中庄的实茎验数棋据，潮用格来鲁布亚斯法瞎判断踪蝶时,1.乔40这个听数据良应保监留否(置信艇度95蜓%)悦?平均值，s=0.066解:查表:T0.陈05索,4=1讲.4葵6，T<怒T0.狡05季,娃4，故1.求40这个六数据庙应该鸽保留治。95格鲁假布斯躺法优移点是由张于引竞入了任正态引分布瞎中的维两个很最重第要的匆样本相参数及s，故方船法的叛准确兵性较蹈好。缺点是需呼要计畅算和s，手续缠稍麻遮烦。96(1合)将所岔有测州定值居由小哄到大曾排序小，蚊设其馒可疑农值为x1或xn4.Q检验跟法（2）求袭出极差R=xn-x1（3）求出谈可疑啦值与芽其最袋邻近严值之面差（4）求出拾舍弃叹总商Q计x1可疑暗时：x1,为x2,晌……xnx2-x1或xn-xn-敬197xn可疑陪时：（5）根据雀要求经的置成信度P和测覆定次暂数n查表3-舰6(p.睛6静8)Q值，若Q计Q表，则讯可以低舍去趴可疑唉值，港否则音保留。缺点是分渣母是xn-x1，数据圣离散条性越渴大，澡可疑接数据骄越不栏能舍系去，全因而Q检验辅法准缸确度禁较差别。该方钥法的优点：Q检验由法符弯合数迎理统闭计原惭理，望具有挪直观然性，盲计算云方法装简单塌；98例:例10中的迷实验壮数据拜，用Q检验格法判宾断时侄，1.毫40这个品数据挨应保丛留否(置信杜度90烘%)倘?解:已知:n=4，查表3-雪6，Q表,0滋.9篮0=专0.名76故1.归40这个疗数据曾应该域保留附。Q计<Q表,0.址90993.醋6回归源分析眠法3.滔6.若1一元盏线性庭回归司方程(li鸟ne唱ar杂r茂eg煌re甲ss汗io诊n)式中x，y分别失为x和y的平鸟均值袄，a为直肉线的们截矩山，b为直译线的含斜率筐，它竭们的缝值确总定之泛后，扩一元郊线性闯回归位方程榆及回支归直列线就避定了舌。10矮03.伏6.清2相关稀系数(c责or座re瓶la侄ti丢on舰c误oe赏ff词ic蔬ie配nt垃)相关兼系数葵的物对理意恰义如傅下：当所过有的yi值都钳在回缓归线真上时柿，r=脆1。当y与x之间快完全武不存逮在线骑性关尺系时划，r=啦0。当r值在0至1之间捉时，吩表示y与x之间菊存在故相关福关系其。r值愈妄接近1，线数性关困系就培愈好欣。10朱1例:用吸牧光光渐度法至测定游合金兵钢中Mn的含膝量，限吸光吃度与Mn的含柔量间阶有下臭列关醒系:Mn的质侧量g藏0喜0.梁02割0.储04艰0.序06激0.网08抬0.齿10时10耽.1周2未知觉样吸光质度A0.看03帅2释0.佣13畅5咳0.烦18狂7帅0斥.2小68升0疼.3墓59蔬0遭.4坑35敬0.累51白1冒0.丽24评2试列告出标森准