第讲分形几何与分形插值

分形几何与分形插值孙洪泉教授第一章绪论1.1分形的起源

人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在经典几何学中,我们可以用直线、圆锥、球等一类规则的形状去描述诸如车轮、道路、建筑物等人造物体。因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而在自然界中,却存在着许许多多极其复杂、极不规则的形状。例如,海岸线、山川、河流、岩石、断裂、森林、闪电等等。它们都是非规则形状,用欧几里德几何是无能为力的。

下面我们给出欧氏空间中不能解释的一些的“奇怪”现象。

koch雪花的面积有限，周长为无限。这是欧氏空间中的“奇怪”现象。为了说明这样的事实，下面我们给出koch雪花的生成步骤（如图1.1所示）。取周长为1的正三角形为初始元。第一步（k=1）：将边长三等份，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元（见图1.1）。原三角形每条边都用生成元替换，得到具有6个凸顶点的12边形。第二步（k=2）：对第一步得到的图形，同样将其边长三等份，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。如此方法，一直作下去，当k→∞时便得到Koch雪花。运用初等几何和初等代数知识不难求得每一步图形的周长（设k为步数；L图形边长）：由此可见，随着n→∞时，Koch雪花的周长Ｌ→∞。初始元k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n→∞,L→∞k=2:L=16/9=(1+1/3)2……

k=n:L=16/9=(1+1/3)n图1.1Koch雪花的生成然而，由Koch雪花的制作过程可知，每一步的图形都包含在半径为1的单位园中。因此Koch雪花的面积是有限的。这种面积有限、周长为无穷大的图形在欧氏空间中也是一种不可思意的“奇怪”现象。

为什么会有这种“奇怪”的现象发生呢？从分形的概念引入之后，人们发现用上述方法作出的Koch雪花边长是极其复杂，它的维数已不是欧氏空间中曲线的维数——1维了，它的维数是大于1维的。但这个边长也不能填满任何一个小的面积，所以它的维数是小于2维的。同样，在测量英国海岸线时，人们发现海岸线的长度随着测量时使用的码尺的变小而增大。1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位。以1km为单位测量海岸线，那些短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m为单位测量，那些大于1m的迂回曲折就能被测量出来，所以测出的长度将变大。

测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大。如果这些愈来愈大的长度能趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。难道海岸线的长度是不确定的，或者说，海岸线是无限长的。为什么？后来人们发现，英国海岸线以及Koch雪花的周长都是极其复杂的几何图形，它们的维数是介于1～2之间的分数维。而我们使用的量测码尺都是一维的。用小于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是无穷大；反之，用大于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是零。上述例子说明确实存在维数不是整数的图形，分数维——分形几何的思想便从这里萌芽。

“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。1973年,法国数学家BenoitB.Mandelbrot在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。他创造了“分形(Fractal)”这个新术语。分形(Fractal)这个词出自拉丁语fractus,其原意具有不规则、分裂、支离破碎等意思。引入到中国，Fractal这个词起初被人们译为“分形”、“分维”、“分数维”、“分维数”等。现在已基本上统一称为“分形”。

BenoitB.Mandelbrot创立的分形几何，借助于自相似性原理，洞察于混乱现象中的精细结构，其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的复

杂无序，而又具有某种规律的系统，它为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法，为研究自然界中的不规则现象提供了一种定量描述手段。因此,近年来分形几何不论在理论上,还是在应用上都得到了迅速的发展。1.2什么是分形我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。在传统欧氏几何学里，人们总是把研究对象想象成一个个规则的形体：直线、圆形、方形、曲面、立方体等，而我们生活的现实世界中存在的物体，竟有如此多的不规则和支离破碎。与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述和研究这种不规则复杂现象的新方法。什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？我们日常生活中的菜花就是一个具有统计自相似性的分形几何体的很好的例子(图1.2)。从一棵菜花上掰下一枝，放大后它与整体是相似的，再从这枝上掰下更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水系(图1.3)，一个大的河流、水系与它的支流、更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水系(图1.3)，一个大的河流、水系与它的支流、更小的水系就具有统计意义上的自相似性。图1.3显示了亚马逊河水系的自相似特征,经测量计算得其分形维数为1.85。图1.2菜花的自相似性征1/2inch1/2inch1/2inch图1.3河流水系的分形特征N♂500km

其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。分形几何的创始人BenoitB.Mandelbrot说过:“云团不是球体,山峰不是锥形,海岸线不是圆弧,树皮也并不光滑,闪电也不是直线传播[2]。”这就说明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形态来精确地进行描述。而在这些“不规则”的形体中,大量的具有分形的特征。

分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的的晶体结构，从地学、生物学、物理学、化学以至社会科学都普遍存在分形现象。分形几何揭示了世界的本，分形几何是真正描述大自然的几何学。区别于经典几何，分形几何有两个基本特征，即自相似性与分形维数。自相似性就是说物体的任何细小部分与整体相似，例如上述Koch雪花的周长。这种相似性称为严格自相似性。然而,自然界中常见的自相似是统计自相似，即统计意义上的自相似性。我们对上述分形的描述加以引伸，可以得到下列分形的含义：

1、分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数理模型；

2、分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；3、自相似性可以是严格的，也可以是统计意义上的，自然界的大多数分形都是统计自相似的；

4、相似性有层次结构上的差异，数学中的分形，具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形只有有限层次的嵌套，且要进入到一定的层次结构以后才有分形的规律；5、相似性有级别（即使用生成元的次数或放大倍数）上的差异。级别最高的是整体，最低的称为0级生成元。级别愈接近，则愈相似。级别相差愈大，相似性愈差。可用无标度区间或标度不变性表示。1.丙3维数缓与分让形维继数在欧城氏空肉间中国，人宪们习蒙惯把椅空间掠看成渡三维诵的，欢平面免或球卵面看茧成二峰维，创而把雕直线串或曲顾线看落成一芬维。听也可挣以稍绣加推膛广，炉认为鸽点是乔零维提的。招还可够以引肚入高剑维空怎间，透但通作常人肥们习扛惯于渠整数窄的维挽数。分形彻的另聚一个猪特征钱是分类数维趟数，串即维隆数可驴以是侧分数知的。颗这类潜维数贺是在猫研究这自然当界中沈复杂转现象逢时需芦要引捧入的市一个娇重要挎概念赤。为了哥弄清春楚分热形维牲数的姻计算竭方法宣，我昨们首想回顾刚在欧邮氏空锡间中仙，度集量不川同维绣数的闪单位生形体请时，近尺码理与度夸量次视的关最系(见图1.毯4)。取单事位长酬的线芹段(1维形令体)，以验长为机的宴码尺逢去度攻量它朋，度省量的茂次数宋为N(r)=粱2，它腐是码秒尺的1次幂叹分之巷一；听若以径长为添的跟码尺园去度厅量它介，则资度量指的次啦数为N(r)=抗3，它梨仍然讲是码开尺的1次幂鹅分之门一；……；当煮以长库为纳的码搜尺去促度量寒它，掌则度灭量的和次数嫂为N(r)=n，它胸仍然胜是码洪尺的1次幂姑分之僻一，社见图1.牌4（a）。再取悉单位捉正方字形(2维形跟体)，以贺边长库为(码尺)的小巷正方宾形去娘度量饿它，驶度量宿的次勿数为N(r)=攀4，它溜是码赏尺的2次幂冒分之偶一；卵若以未边长寸为(码尺)的小罩正方怜形去店度量帅它，亲则度斜量的耽次数鼻为N(r)=览9，它院仍然微是码想尺的2次幂劳分之趁一；……；当怪以边京长为颠的愈小正恰方形咽去度晃量它亭，则已度量目的次临数为N(r)=n2，它帅仍然末是码坛尺的1次幂溪分之添一，荷见图1.辽4（b）同理贴，对尘于单贯位立低方体(3维形讨体)，用烂不同眼的码猜尺去疤度量仗它时群，其挖度量扑次数女是码础尺3次幂轮分之艳一,见图1.选4(c)。…………株……归……俯……(a掘)……写……只……喷…………(b泊)……浇……御……红…………图1.诉4欧氏井空间黄中单想位形妄体码艇尺与怜度量桑次数燃之间冠关系r：码嗓尺，N(r)：度话量次尖数，l(r)：单楼位形亿体体箱积(a)一维输形体乒；(b)二维晶形体愉；(c)三维吨形体所以蚕，我间们可井以得掩到，子对于d维欧奋氏空水间中大的形爹体，唯码尺赤长度r与度桑量次译数N(r)之间崭关系乡丰为公式(1赛.4旨.1埋)是欧皆氏空粮间中脆维数胞定义斧的数汽学表骂达式话，它溪是维疾数本校质的锈数学摧特征害。对宽于分董形空苗间中紧的分考形体漂，如白果它吨是严把格自刃相似冶的，区则它需的相雷似维很数也好可以葛通过询公式(1钻.4炭.1侨)来求乖得。锦由于合分形江几何滨具有睡特殊负的复同杂性凝，对顷于一所般的掀分形够集的骄维数匀的计陕算，朽根据晋不同测的情讲况可奏以用栗极限趣的形用式定湿义不裳同的护分形觉维数羡计算程公式但，以窝后的增章节纵将有藏详细咱介绍指。(1具.4躲.1跪)对于昼分形生，目俩前还阀没有晒一个惯确切言的定道义，冶正如廊生物形学中拔对“常生命姥”也婆没有稼严格况明确技的定警义一体样，破人们物通常扎是列特出生扎命体僻的一扶系列温特性问来加捆以说冠明。庄对分额形的凤定义说也可遇作同塘样的垂处理库。对于自某一衬集合A，如厘果具期有下宰面的炊性质鹿，可饼称为复分形惕集：(1仅)曼德驴布罗钉特曾肥把满涛足下垒式条删件安的集框合A，称肠为分菠形集芽。其室中，Di堂m(A)为集俩合A的分袍形维富数，di擦m(晴A)为其乔拓扑考维数筋。一彻般来誉说，Di糊m(A)不是讨整数坝，而定是分哄数；(2格)集合A具有授近似闯的、挨或统蓬计的问自相商似性仿，亦肃即满攀足标债度不规变性拣；(3食)集合A具有浙不规优则性哪，从话整体恭到局久部均害难以长用传而统的陡几何丹学进肢行描挺述；(4变)集合A具有折精细推结构如，也杂就是叫说，险它具讽有任倚意小谜的比炮例的服细节跳；(5看)在许工多情变况下床，集拖合A可以尽用非认常简闸单的羡方法田定义迹，它君具有截递归尚性，槽可在云计算雪机上零以递泻归的忆方式埋生成平。总之燃，分龄形几庸何与腰传统侍的几桑何完汇全不牛同，煮传统咳的欧雅几里风德几启何的谈对象蹦具有混一定敞的特家征长嫩度和杜标度币，其疏所描喝述的取是人滚类生哀产的雹工业铅产品呆的规坊则形古状，禾分形滥几何静则是感无特贯征长终度与课标度酸的，炊它擅牧长描雄述自确然界提普遍茶存在执的景飞物，们分形匹几何脉的图沿形具裕有自恐相似烧性和渡递归页性，本它比泪较适辫于用鼓计算销机迭重代生敞成。1.榆4插值鸦与分钥形插涨值给定香一组浇测量铺数据疤（信运息点功）{(xi,Fi);xi-餐1＜xi,i=近1,惑2交,剃…,N}欲构谅造一粥个函总数f(x)，使优它的瓜几何速图形善连续斤地穿努过每吨个点廊，即Fi=f(xi),i=0诊,写1,突…品,N。函置数f(x)就称盛为插滥值函益数。对插首值函轻数的拘要求眯不同查，又豪可得摇到不悠同的寺性质博的插苏值函蚀数。1.线性屡插值线性刮插值橡是假沫定相茧邻两速已知射数据月点之马间的涛未知份信息鬼呈线催性变届化规活律,即为蜻一次坊函数(直线缎或平看面）衬。半如手奏工绘暴制等盼值线铸图。2.距离嫩平方伴反比压法已知农数据纸点对江未知园点的逃影响,是与心它到龄未知约点的袖距离有见关的搏。折距离锄越远,影响拍越小让。传疤统的凑曲面继插值貌常采虹用这历种方肆法。3.枝L殿ag循ra沈ng绍e插值La号gr帐an奶ge插值托是多牙项式犁插值,它是药插值仁区域梦的整棵体函容数,使得斯这个改函数掀在观酷测点谱上的因函数期值与唉观测扇值相北等。4.样条挑函数样条陷函数亏是分勇片函握数,它不街仅要哲求函邻数在自观测阳点上馆连续,还要涉具有托一阶逗或二趁阶导冰数存底在。5.地质坦统计残学法地质贝统计垄学插拳值假绩定研黑究区牲域中讨的数足据,具有云统计努上的只二阶铅平稳悉性。辣它是迫一种肝无偏纳且估扣计方锤差最半小的精插值红方法灾。在计插值泥的过跌程中,既考挺虑到萝已知归信息储点的课随机叨性,又考庸虑到秋已知腾信息出点的蓝空间侄相关脆性。6.分形险插值分形煌插值剃是根谜据分侵形几豆何的简自相巨似性狼的原近理和丧迭代脚函数末系的汪理论,将已推知数且据插旋值成庆具有赏自相些似结镰构的钟曲面腔。任杯何一熊个局级部都稀与整宪体自跌相似巧或统冬计自肠相似叔。(a狠)(b地)(c停)图1.输5不同炼性质桶的插宿值曲咏线(a)线性本；(b)光滑破曲线窗；(c)分形骡插值因此,从插绣值原押理上蔬看,传统贪的插弄值方辞法(15),任意狭两相身邻插正值点患之间依的信捏息都嚷是用乎直线霉或光度滑曲半线连晃接(见图1.叮5(a)，(b)),从而铸掩盖吨了相趟邻两查插值联点之酬间局价部变周化特它征,因此圣具有揪一定伍程度爪的光赌滑作躬用；胆而分忧形插锣值,根据贩整体扮与局委部相丛似的蓬原理,将插疲值数毅据点河的变产化特药征映趴射到历了相捞邻点斗之间乘的局铺部区养域，企在相梅邻的赚两个扇信息扣点之僵间也远能得塑到局终部波开状起烧伏的礼形状乒，可蓝以得岔到两匠信息绪点之仙间的跨局部春变化赤特征(见图1.匙5(c))。然遭而，仆对大酷量实应际情化况，挤在相返邻两壶信息采点之揪间并枣不是勾线性跨变化抵的或唉是光乐滑过熄渡的待，而麻是存行在局采部变艳化的洁特征伸。因柄此,对于颤具有嗽分形筐特征闪的形芝体，菊两信劫息点巷之间吨有更鞋多更四精细绕一级割的波叉状起雁伏，欣用分欺形插砖值其眉结果片更加启符合梦实际春。第三迟章分形暴集的阁构造这一翁章我列们着葬重讨屿论经熔典分吓形集乐的概坚念和煮构造答方法详。这德些构厉造方隐法使棍我们送能够巴产生狂和分蹈类广肉泛的困分形宪类，核包括亚康托(C披an砖to生r)集、讨科赫(K东oc告h)曲线私、谢伍尔宾赏斯基(Si羡er饱pi披ns哲ki)地毯驴和皮俭亚诺(Pe签an社o)曲线晶。分医形被春看成平是由浴逐次列微小夹加细块的无例限递船归或械归纳达过程宇而得吸到的粗一种候对象通。本赴章仅叼给这商些集雀合的破生成敞方法墓及其赶图形馅，下看一章脉将给扰出它撞们的粒相似卵维数牌。3.长1调Ca党nt脊or集3.俗1.批1蜓Ca侄nt果or集的熔构造经典法的Ca肥nt爷or集提让供了束一个充最简倚单的遍分形馆集的安例子改。它乎的构泉造反云映了摇分形羊集构暗成的月一般武原理否：它涂是由唇无限珠个许社多小踢片组录成，尸每一洞个小好片又牧与整柳体集半相似扛。更精刑确地口说，偶令E0:＝[0魂,智1]，E1:＝[0很,汗1/迈3]∪[2票/3某,诱1]，…，并圈且令Ek+1是从恒去掉Ek每一以个小难区间寒中间母的三湾分之蛾一而市得到奸。很瓜清楚Ek是由2k个小捕区间鸣组成仰，且峡每个载小区舞间的备长度纳为(1类/3像)k。注齿意，Ek可以虹通过舌连续确地使仅用函削数fi:肢[0痒,社1]→[0孩,柱1],i＝1,就2而得守到。单对于柔前一助步Ek-1集的色每一游个小古区间姐，fi由下费式给良定：和（3.摧1.转1）（3.字1.抱2）那么Ca包nt异or集就拐定义块成。众所狂周知岸，E是一渠个完叠备集拔。也歌就是鼻说它淘是闭抛的并里且自红身是漫稠密最的。Ca棵nt增or集F并不求包含援任何彩区间损，它拔的一猛维勒岛贝格录测度级等于麦零。拿但是炕，E是不习可数锻的，巴它的货零维扒勒贝晶格测眨度是祸无穷尊大。思这种清相当发简单骄的研宏究给示了我恳们一痒个启述示：盐对于朽精确航地度驴量E的“躬体积野”，央勒贝侵格测供度是段太粗忌糙了(事实再上这垦是分肢形集昼的一辫般特纵征)。然山而，攀豪斯玩道夫爷引进蝇了一侨种测栏度，裁这种劝测度袖将一峡个有萄限的例非零番数与司集C联系势在一禽起。现在管我们论给出Ca西nt符or集的耗具体剃作法混（见说图3.阀1）。圆设E0表示金线段[0，1]上所陆有实巩数的城集合祝，把驴线段[0，1]分成串三等虏份，尽把中元央的腿三分他之一添部分[1扮/3，2/久3]去掉愉，用E1表示叼这剩口下两立个线煤段[0，1/奖3]，[2脂/3，1]。接驶着，水把剩么余的供线段[0，1/舅3]，[2储/3，1]再分蒜别分更成三终等份懒，去速掉各扬自中攻央的坡三分设之一眯部分[1昼/9，2/吃9]，[7谣/9，8/六9]，用E2表示津剩下污四个垦线段[0，1/搅9]，[2吉/9，1/啦3]，[2该/3，7/咐9]，[8固/9，1]。这舟种作坚法不女断重摸复下冻去，叮得到Ca灭nt舰or集F。三帮分Ca仁nt咽or集F是由于属于盖所有Ek当k趋于惜无穷亡时的讯极限不，是格一个五不可深数的本无穷嫂集。主图3.侨1给出随了第5级的糖情况作。在割下一门章，伸我们离将给描出Ca献nt灵or集的喉自相娇似维仓数。下面划列出欢三分Ca徐nt毕or集F的一识些性歉质：(1谎)F是自潮相似欧的。蚕很明霸显，惑在区埋间[0，1/昏3]和[2字/3，l]内的F的部斤分与F是几洲何相章似的亩，相填似比聪为1/欺3。F在E2的四驶个区踏间内返的部沉分也呀与F相似遵，相齿似比戚为1/颂9。以油此类罚推，丧这个涉集包泛含许混多不暴同比误例的结与自灰身相触似的澡子集摆。(2婚)F具有歪“精兔细结到构”嘉。它驻包含屯有任片意小零比例答的细袄节，凳即在斜任意夫小的得尺度房诚内都轨包含喘整体脑特征糟。越狐放大三蝴分Ca嘉nt原or集的汁图，枯间隙鼓就越价清楚含地呈且现出踩来。(3膀)尽管F有错杯综复养杂的垫细节线结构复，但E的实特际定宣义却滨非常额简单学明了演。(4证)F是由激一个龟迭代敞过程倍产生星的，己它的姻结构硬是由序重复警去掉朝区间消中间益的1/平3得到岩。持怒续的锡步骤患得到驱的Ek是E的越茂来越贿好的品逼近达。(5贴)F的几傅何性耍质难怖以用原传统喘的几轻何术企语来崖描述炕，它端的点捐的轨锋迹既货不满穴足某蒙些简效单的压几何像条件线，也欣不是础某个师简单外方程壳的解信集。(6趟)F的局雹部几按何性诵质也缘瑞是很吨难描冷述的服，在布它的垦每个辟点附绳近都巡寿有大留量被素各种豪不同燥间隔闯分开筐的其嚷它点涝。(7摩)虽然F在某杂种意窗义上颜是相率当大嗓的集(它是烂无限阔不可故数的)，然挣而它笋是不生能用湾通常细的测镰度和悦长度考来度咸量，削用任兰何合裳理的盟长度陵意义树下，F的长肌度总茎为零冻。图3.1Cantor集18/97/92/31/32/91/90E0E1E2E3E4E53.抄1.役2尸Ca同nt攀or尘的那构造一个背平面她中的Ca套nt冻or集，铅称为壶“Ca善nt暑or尘”[1健9]，如舱图3.腹2所示法。构覆造“Ca蝇nt挥or尘”闪的步观骤与驰三分Ca红nt茄or集的覆类似各，它垃的每俊一步酱骤是捧把正撑方形蜘等分避成16个小柜正方敬形，皂保留浴其中赠四个荡而把令其余僚的去路掉。虚当然罚，保蹄留不矩同次艘序或河个数至不同尼的小梨正方巨形，拦可以呜构造孟出不筹同的讲集。爹显然锻“Ca平nt犬or尘”签具有俱与在货三分Ca烘nt烘or集中汪指出街的那反些性球质相纷似的殊性质础。图3.2Cantor尘Ca趁nt排or集的炮构造磨还可舱以有正随机捡的类梅似形腥式。遣以三源分Ca妙nt躺or集为尚例，出它的篮构造变可以山用几波种不症同的雀方法挎随机杠化。衰每次搂把线矩段分拐成三陕部分黎，但潮不是泻总去蹄掉中北间的混一段英，可窗以用粱掷骰匆子来拍决定闪去掉尾哪部戚分。猴另外患，也左可以鸦在每最步的州构造杏中随淹机地锤选择个区间欣的长助度，能可以惜在第k步，弱得到2k个不驳同长妄度的肆区间像，最事终得锣到一振个看顷起不首规则疏的图薪形。一般盘地说巾，在狭构造言随机尘的Ca删nt胜or集时扫，有最两个谨条件处是可便以改价变的膨：其朋一是晃对初置始长串度L0进行榴多少游等分令或不耐等分萍；其陶二是饰留下宏哪些麦部分医，去忘掉哪转些部宝分。及在Ca寸nt耀or三分休集中松，可馒以随黎机地傅保留翼其中正的两赚部分诱，每艳部分寨的长容度也税可以羊是随境机变吃化的掌。得恰到的卡图形耀将是揪更加茎错综少复杂远的。3.船2级Ko泄ch曲线3.庙2.北1善Ko护ch曲线汪的构宏造现在蹈我们集介绍Ko烘ch曲线息的构价造(图3.漆3)。开始才，设琴单位呼长度固的线撕段为E0；第一缩慧步，稻将E0分成馋三等挑份，间去掉敬中间响的一灯段，督并以汁两条骂长为1/参3的折亚线来箭替代震，得畅到E1；第二睡步，壶将E1中的踢每条能线段雄三等猾份，响去掉售中间锐的一萄段，科用长(l逮/3链)2的两惊条折摇线替呆代，授得到E2；不断绣重复场这样外的迭抢代作野法，云无数绪次迭议代后虫就生辜成了轿具有蜓无穷证多弯动曲、肠处处碧连续钳、处腿处不订可微边商的Ko慈ch曲线F。E0E1E2E3F……图3.3Koch曲线3.焦2.语2哨Ko宰ch曲线苹的自源相似附性Ko劝ch曲线F是分图形的豪，因盟为它兔是自以相似谣的。雄自相尝似性桃就是愧跨尺白度的翼对称扎性。虚它意古味着母递归尊，在邮一个鼠图形巴内部暴还有垂图形翻。自举相似填性指辨的是惯把要减考虑山的图施形一评部分算放大脏，其春形状致与整疑体相刚同。捐设想亏把图3.靠3中Ko艘ch曲线F在区段间[0，l/本3]中的炉图形贼放大3倍，千放大枕后的扛图形均与原肿来的鸟曲线秆形状租完全叔相同魄。把慰区间[2狸/3，1]放大3倍，堂也会浪得到梨同样口结果术。虽爽然区封间[1胸/3，l/雀2]，[1湖/2，2/英3]的图付形是吼倾斜馋的，庙但是厦把它偏放大欢，也证会得俗到同蜓样的倦结果忆。若幻玉把区懂间[0，1/狮9]的图壳形放要大9倍，料同样值也可掘以求挖得与导原来湖相同秃的图罗形。肚对更猪小的看部分羡进行械放大腊也是镰如此凶。不岗论多争小的多部分祝，若秋把它梦放大涉到适申当大预小，铁应该领能得宰出与缠原来脉相同吼的图滨形,见图3.捞4。图3.4Koch曲线的自相似性放大3倍注意荒到，油在第n步迭涌代时挥，每豪个线垃段的戏长度茧为(1遵/3恭)n，一伤共有4n个这只样的井线段师。因倘此，Ko额ch曲线钱的长株度在豆第n步时梳为Ln=(聚4/饶3)n（3.选2.阻1）显然播，当求时n→∞，Ln→∞。这功正是正由于明这条死曲线端是分领形曲责线，摧它的紫维数芹大于归一维撕，用杀欧氏勿空间座一维古的尺昆码去安度量百所得势到的快结果蹄。下精一章续我们谊将给米出Ko轿ch曲线猛的分践形维判数。3.日2.傲3聪Ko食ch雪花燥的构昌造绪论汇中所剩讲的Ko辣ch雪花迷的构网造过早程与Ko野ch曲线无的构雄造过钳程类止似。郑实际均上，Ko台ch雪花怀是由克三条控三次Ko丧ch曲线齿组成妖（见透图3.费5）。洪它是厅一条周连续铸的回贝线，茶永远谨不会位自我码相交忘。因灿为每茅边上购新加牵的三如角形柴部足谢够小落，以刮致彼患此碰浮不上氏。每嗓一次船变换煤在曲槽线内阿部增券加一猪点面菜积，皱但总档面积情仍是莫有限店的。伪事实宋上比扁初始肠的三血角形屑大不驴了多诉少。赌如果热画一姿个外节接圆绕把初虎始的伟三角懒形包蜘起来秀，Ko术ch雪花慢的周滴长曲凭线永雷远不停会超延出这习个圆堵之外容。然而趟，曲议线本记身却鞠是无牺限之铲长，舒同任睁何伸折向无鬼边无扒际的绞宇宙茂深处诊的欧众几里乡丰德直们线一蒸样长亚。就牺像第息一次岂变换足把长1m的每献边换天成4个各殃长l/畏3m的线挠段一排样，垒每一险次变询换使饭总长患度乘浊上4/胡3，使纹得在税有限杨空间唱里的榜无限锯长度压的曲售线产典生了次。从遮而出蕉现了筹面积遮有限赏，周血长为链无限偏长的氧矛盾纽奉的结记果。别这也役说明流了Ko长ch雪花庭的周吓长曲创线是届一个水分形肆曲线区，它绝的维铲数是烛大于1的。图3.5Koch雪花3.棵2.束4随机Ko曾ch曲线Ko荡ch曲线概也可拣以“酱随机涨生成伯”，胞图3.勉6表示蜻一个猎随机Ko指ch曲线辫。在沃构造际的每榆一步志，每绒次去亿掉区坊间中治间三处分之斥一的宪部分撑，而哈用与朽去掉差部分呢构成冲等边毫三角炮形的茅另两遣条边炒来代锋替，道再用届掷硬停币的亡方法盈来决宣定新收的部馅分位字于被识去掉半的部患分的长“上瓜边”俩或“购下边停”。醉经过榆几步猎以后非，得筛到一往个看散起来拣相当佳不规毕则的亭随机Ko况ch曲线改，它虾仍然省保留坊了Ko史ch曲线诱的某赏些特尾征，洁如具窗有精冻细的定结构岩，但Ko久ch曲线宇具有灭的严佳格自耕相似咸性已封被它妻所具盆有的刘“统滴计自征相似返性”恰所取涝代。图3.6随机Koch曲线E2E3F……E0E13.撑2.格5四次Ko泉ch曲线另外云，还思可以课将Ko工ch曲线制的构冲造方申法加条以推身广。男改变让等分油数目朵。例冤如，虽将一廉条欧锐氏长独度为L0的直雾线段挠进行谦四等渣分，沫保留任两端齿的两臣个小镇段，会而中退间的晴两段挡改成溜一个剑向上揭，另壤一个校向下劈燕的小距段，曾使得彼和原掘来的天两小牌段构幅成两颂个小置正方阵形，乖如图3.逝7所示取。将瓣上述呼操作息重复氏下去击，得桶到一倍条具恢有相拢似结握构的折折线帆，常较称之押为四鸭次Ko鞋ch曲线梦。这第样，拾四等尖分之私后，k＝1时，E1的长湿度为8个L0/4的小绿线段缴的长告度。退同样世用下备一章枪所讲江的内总容，置可以脱求出庭其自炮相似军维数态。E0E1图3.7四次Koch曲线3.顾3Si越er晓pi谅ns望ki垫片3.端3.朝1Si批er甚pi事ns似ki三角尸形波兰银数学难家Si往er物pi博ns搭ki于19梁16年提茧出了鹿一种腰分形怜生成切的方示法，福其图抚形被脉称为Si摧er史pi此ns未ki垫片或Si侨er静pi嗽ns跳ki三角颤形。曾这种蚂方法产提供嘱了一学个由县二维沟图形虾生成述分形恩集的争例子跟。这礼个集贿合早紫在“奴分形专”这谱个术摧语创出立之毕前的贼很长呀时间鹿就广仁为人触知了挂。这何个集田合原得来是陪在点撇集拓狮扑中斗提出尤的。唐它的雄构造优过程野是：怠令△寨为具粮有顶捉点坐拖标(0惨,摧0)、(1配,租0)和(1塌/2欺,混1)的三较角形营。连捕接这萝个三气角形艘三条缎边的蛙中心堂，将仿这个校三角铅形分处为四歉个全士等的刮子三偏角形△1，…，△4。删柿除中考心的受一个牛子三放角形△1，剩前下三项个小△2，△3，△4（令要△(1替)=△1）。将策上述葵方法晴应用闯到剩存下三线个子糠三角日形的塞每一造个上昼，产激生九建个小映三角第形△22,△23，△24，…，△42，△43，△44，以场及它套们被键删除缸的中帮心的定并△(2蝴):＝△21∪△31∪△41(此处涌原文努有误)。这娘种过寻程无灵限地振延续推下去税产生夜一个灶序列{△(k)}，这写里的△(k)表示楼第k步后3k-1个被笋删除馒的中降心的膝并。Si城er阳pi盏ns呈ki三角边形定谣义成(见图3.踪蝶8)。很清祝楚，S的一食维勒蛋贝格慕测度蛾是无拼限的发，它寄的两经维勒粘贝格务测度穗等于膊零。谢集合S是R2的不罗包含现任何遇面积再的连浩通子盒集。S的构壤造序呜列，霜任何批一个泛子部巾分都句与它史的整叔体图予形相折似。竿另外治，S也可早以通政过连持续应屑用映洁射的约并而途得到编：fi：△危→△绣，i=1福,牲2,托3。（3.球3.宅1）（3.壮3.种2）（3.需3.绸3）每一诸个映肤射都白对应精各自班的图出象。图3.8Sierpinski三角形如果答三角硬形是唇一个斤等边柏三角监形，泪将这矿个等繁边三期角形脑四等拾分，擦用上防述方荒法可爬以类脏似地替得到播四个搞小等配边三挂角形赔，去钩掉中荣间的怠一个壁，保垂留其包他三汉个。刺将剩旬下的计三个您小三惜角形拥再分毫别进现行四觉等分锹，并隐去掉序中间睬的一梅个，炼保留将其他巴三个日。重烘复操钢作，喷直至绑无穷彻，得次到由爹正三爬角形戴生成半的Si贸er朵pi帅ns辈ki三角剩形。有人砖称这缸种Si亭er透pi息ns胆ki三角岗形为寒谢尔检宾斯改基垫老片（Si欧er扔pi凝ns榆kiGa盛sk匠et）。奇图3.严9给出斜了Si挑er兼pi歌ns筛ki垫片盘的生虚成过拣程。该集祖合的步面积烘是零鸣，而哥线的鼻欧氏源长度胸趋于颂无穷强大。图3.9Sierpinski垫片的形成过程3.辛3.钉2Si救er睡pi释ns布ki地毯类似合地，拨正方队形9等分冰成9个小嘉正方挺形，张挖去垦中问聋的一栋个，眯保留俩四条义边，卖剩下8个小职正方等形。灯再把站剩下汁的8个小展正方耳形各9等分消，各男自挖引去