结构力学-力矩分配法分解

结构力学——力矩分配法分解学习目的和要求

目的：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。

要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。

第一节力矩分配法的基本概念一、引言

对于超静定结构的内力计算，我们前面学习了两种基本的方法—力法和位移法，二者的共同特点是都要建立和求解联立方程组，当未知量太多时，计算量也相应的增大，同时，在求得未知量后，还需要利用杆端弯矩的叠加公式求得杆端弯矩，整个计算求解过程较繁琐。为了寻求计算超静定刚架更简捷的途径，自20世纪30年代以来，又陆续出现了各种渐近法，如力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等。而这些方法的理论基础都是位移法，共同特点是避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确值。二、力矩分配法的概念1、力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移(侧移)刚架的计算，其特点是不需要建立和求解联立方程组，而在其计算简图上直接进行计算或列表计算，就能直接求得个杆端弯矩。理论基础：位移法力矩分配法计算对象：杆端弯矩计算方法：逐次逼近的方法使用范围：连续梁和无结点线位移的刚架

力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。2、力矩分配法的正负号规定3、力矩分配法的三要素（1）计算单跨超静定梁的固端弯矩固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁，在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力法计算或在计算表中查得。（2）计算结点各杆端的弯矩分配系数μ（3）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数C（用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先解决三个问题：）4、相关参数的概念（1）转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩。远端固定，SAB

=4i；远端铰支，SAB

=3i远端滑动，SAB

=i；远端自由，SAB

=0说明：在SAB中，A端是施力端，也称为近端，B端称为远端杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端的支承情况有关。（2）弯矩分配系数μ和弯矩分配可以看出，刚结点A在外力偶荷载作用下，结点A上各杆在A端的弯矩与各杆的转动刚度成正比，由此我们进入分配系数定义：结点处，某杆的转动刚度与汇交于该结点的所有杆件的转动刚度之和的比值。特性：相交于的所有杆件的分配系数之和为1弯矩分配：近端弯矩=分配系数×结点弯矩远端弯矩=近端弯矩×传递系数（3）弯矩传递系数和弯矩传递传递系数C：表示当杆端发生转角时，杆件远端弯矩与近端弯矩的比值。当杆件的某一端发生转角时，在该端产生的弯矩称为近端弯矩，另一端产生的弯矩称为远端弯矩。远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：

远端固定远端铰支

远端滑动固定状态:放松状态:不平衡力矩变号，再乘以分配系数即为分配弯矩例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。杆端弯矩＝固端弯矩+分配弯矩+传递力矩最终状态:分配传递M通常采用列表方式计算练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。分配传递分配传递结点杆端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8BAC1l/2l2qll/2l例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常数)

。分配传递结点杆端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/81/4-1/4-1/8BAC12qlql2/8ql2/4ql2/4BAC1ql2/64ql2/1611ql2/323ql2/64M所得结果是近似解吗?注1、力偶不引起固端弯矩注2、杆端最终弯矩注3、由于内力只与各杆相对刚度有关，故可用相对值计算（EI可取任意值）练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。分配传递60kN.m30kN.mM练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念)。分配传递M例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念)。第三节多结点力矩分配法用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只需人为制造只有一个分配单元的情形。方法：先固定，然后逐个放松。应用单结点的基本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。第三节多结点力矩分配法

经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较接近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需要再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约束力矩分解（因为<1，C<1），所以几个轮回约束力矩就会小到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。

1.变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。3.一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确到三位有效数字，计算中取4位计算，以保证前三位的精确度2.释放顺序是任意的，但通常先释放不平衡力矩较大的分配单元（这样收敛快）第三节多结点力矩分配法计算的指导思想由两个步骤说明：固定状态的计算（与单点固定一样）。即刚臂→荷载→固端力矩→约束力矩；放松状态的计算（与单点放松不同）。力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的，因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。

第三节多结点力矩分配法⑴加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁（基本体系），计算各杆固端弯矩MF，由结点力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基本体系与原结构的差别是：在受力上，结点1、2上多了不平衡力矩；在变形上结点1、2不能转动.⑵为了取消结点1的刚臂，放松结点1（结点2

仍锁住），在结点1加上负的不平衡力矩，此时梁只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和传递。结点1

处于暂时的平衡。此时2

点的不平衡力矩是原不平衡力矩加上1

点传递来的传递力矩。计算过程详述第三节多结点力矩分配法⑷传递弯矩的到来，又打破了1

点的平衡，1

点又有了新的约束力矩M传，重复⑵、⑶两步，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般2～3个循环就可获得足够的精度。(5)叠加：最后杆端弯矩：

M=MF

+∑M分配＋∑M传递

⑶为了取消结点2的刚臂，放松结点2，在结点2加上新的负不平衡力矩，为了只在2点产生一个角位移，结点1再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点2处于暂时的平衡。6m6mEI=1EI=180kN3m3mEI=1ABCD8kN/m0.50.50.50.5MF-2424-242460-60MMC&-18-18-9-94.54.52.2-1.1-1.12.2-0.6-0.60.30.30.10.1M-40.840.9-69.619.2-19.226.3704119261203636M例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。….….….….2.不相邻点可同时释放.1.为避免小数运算，可先将固端弯矩扩大100倍；对结果再缩小100倍。EI=const21.24.211.0M例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。3B是悬臂梁，转动结点3

时，悬臂可自由转动，固其转动刚度为零M3B＝100010MF10000.50.50.570.43-1000-5000.430.570.570.43MF或例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念)。0.4290.5710.5710.429-150030003000MFN·m10mEIEI10m10m=1cmABCD例题：有支座移动（已知结点线位移）E=200GPa，I

=

2500cm4绘制弯矩图。0.4290.5710.5710.429-150030003000-184-15-2-857525-1713-1287105979611-2-3-23-30-276-367MFMMC&MC1201-1201-18011801N·mN·m1.201.80kN·m变形条件的校核：杆端力与固端力之差由于所以第三节多结点力矩分配法4m4m8m8m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kNABCC固端弯矩最后弯矩－128128－75086.6－86.6124