理学68二重积分

二重积分的计算（一)二重积分在直角坐标系下的计算在直角坐标系二重积分的计算化二重积分为二次积分或累次积分把二重积分化为二次积分的关键：（1）选择积分次序（2）确定定积分的上、下限

根据积分区域D的图形和被积函数f(x,y)的特点

从左端点a值到右端点b值.累次积分中积分限的确定方法yxabyxdc区域D为X-型区域区域D为Y-型区域

从穿入的边界方程作为下限，穿出的边界方程作为上限.第二次积分:第一次积分:

从左端点c值到右端点d值.

从穿入的边界方程作为下限，穿出的边界方程作为上限.第二次积分:第一次积分:X-型积分Y-型积分

在计算二重积分时，甚至是积分区域D造成的困难是主要的。有时而且还在于积分区域D,求积分的困难不仅在于例

计算其中xyo因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数的特点,选择不同的坐标系来计算二重积分是一个很重要的问题.被积函数

一般地,当二重积分的积分区域D的边界通常采用极坐标变换,就可使二重积分的计算或被积函数用极坐标表示更加方便扇形等）（如被积函数为

等时，大大得以简化。曲线用极坐标表示更加简单（如D为圆形、环形、极轴X极点Orxy

如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，原点Ox轴用以极点O为中心的一族同心圆,1.利用极坐标系计算二重积分

设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点不多于两点，把区域D分成n个小区域，在极坐标系下，以及从极点出发的一族射线,在直角坐标系下在极坐标系下如何表示？极坐标系下的面积微元则得面积微元为所以，

于是得到直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式

如何计算极坐标系下的二重积分？化为二次积分或累次积分来计算这样二重积分在极坐标系下的表达式为

在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分，同样要解决下面两个问题：（2）确定积分的上、下限（1）选择积分次序化为二次积分或累次积分来计算2.极坐标系下化二重积分为二次积分(1)若极点O在区域D

之外则有

(2)极点O在区域D的边界线上D:则有xoxoDD（只研究先对r后对θ的积分次序）下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论(3)若极点O在区域D的内部则有D:或被积函数为f(x2+y2)、利用极坐标计算二重积分积分特征xo利用极坐标常能简化计算.如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，D等形式，3.极坐标下二重积分计算的基本步骤

(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分.①将

代入被积函数,②将区域D

的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.

将面积元素dxdy换为

.2.将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.3.计算二次积分.则例1

计算其中解故

注：由于的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.xyo在极坐标系下

例2

计算二重积分

其中区域D为由x=0及

x2+y2=2y围成的第一象限内的区域.解D的边界曲线为x2+y2=2y，此时D可以表示为xyo其极坐标表达式例3

计算积分积分域是圆环，xyo解D：解故

例5

计算

,其中D是由不等式

所确定的区域.解极点在区域D的边界曲线上.曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为因此xyor=2.解因为被积函数为偶函数,例6

求广义积分所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。(泊松积分）又因为被积函数的原函数不是初等函数,令利用极坐标计算H，所以D正态分布

当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，

一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，

选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的.而被积函数中含有

项时,选择坐标系选择积分次序二重积分计算过程通常选择在直角坐标系下计算.

下的计算方法往往比较简便.二重积分计算方法总结：化为累次积分计算累次积分二重积分可在两种坐标系中的计算.采用极坐标系四、二重积分的几何应用1.平面图形的面积

由二重积分的几何意义可知，xyD

利用二重积分的几何意义可以求解平面图形的面积(为平面图形的面积值）表示成二重积分

可成的平面区域D的面积值，xOy平面上封闭曲线所围和空间几何体的体积.

例求由曲线

所围成的区域的面积.

解xy2-6作出区域的图形，所求面积为

解2利用定积分求面积，2.几何体的体积

(1)以连续曲面

为顶，有界闭区域D为底的曲顶柱体体积为

(2)由连续曲面所围成的几何体的体积为zxyzxy

例用二重积分计算由平面和三个坐标平面所围成的四面体的体积.解xzy由二重积分几何意义知所求四面体体积为yx232x+3y+z=6

例求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积.

考虑到图形的对称性，xyz解只需计算第一卦限部分即可，画出曲面所围立体的图形,xy22Ｏ在极坐标系下计算xy22Ｏ显然，该题利用极坐标系来计算要简便。

例求由锥面与椭圆抛物面所围立体的体积.解消去z得投影区域边界为xyz由xyo练习：解

故所求的立体的体积为xyo12.因曲面是由得两曲面的公共面为有则解故曲面方程为由因曲面是由xyo旋转（椭圆）抛物面一、二重积分在极坐标系中的计算小结作业：P747（