第一章 电力系统潮流计算1

1、North China Electric Power UniversityDepartment of Electrical Engineering 主讲：卢锦玲主讲：卢锦玲目目 录录 一电力系统潮流计算一电力系统潮流计算二电力系统状态估计二电力系统状态估计 四电力系统复杂故障分析四电力系统复杂故障分析 三三电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析 电力系统潮流计算电力系统潮流计算 概述、潮流问题的数学模型概述、潮流问题的数学模型 Geuss-Seidal 法，法，N-R法法 PQ分解法分解法 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 最小化潮流算法最小化潮流算法 最优潮流问题最优潮流问题 几个特殊

2、性质的潮流计算简介几个特殊性质的潮流计算简介 电力系统状态估计电力系统状态估计 概述概述 电力系统运行状态的表征与可观察性电力系统运行状态的表征与可观察性 最小二乘估计最小二乘估计 不良数据的检测、不良数据的辩识不良数据的检测、不良数据的辩识 电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析 概述概述 电力系统静态等值电力系统静态等值 支络开断模拟支络开断模拟 发电机开断模拟发电机开断模拟 预想事故的自动选择预想事故的自动选择n电力系统复杂故障分析电力系统复杂故障分析简单故障的分析简单故障的分析用于故障分析的两口网络方程用于故障分析的两口网络方程复杂故障分析复杂故障分析主要内容（四）主要内容（四）参考

3、书参考书 1. 现代电力系统分析现代电力系统分析诸骏伟诸骏伟 主编主编2. 电力系统稳态分析电力系统稳态分析陈珩陈珩 主编主编 3. 电力系统状态估计电力系统状态估计于尔铿于尔铿 主编主编 4. 电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析吴际舜吴际舜5. 高等电力网分析高等电力网分析 张伯明张伯明 6. 电力系统故障分析电力系统故障分析 刘万顺刘万顺第一章第一章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算本章安排本章安排: : 潮流计算概述潮流计算概述 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 三种最基本的潮流算法三种最基本的潮流算法 保留非线性潮流法保留非线性潮流法 最小化潮流计算最小化潮流计算 最

4、优潮流最优潮流 特殊用途的潮流计算问题特殊用途的潮流计算问题 电力系统潮流计算是研究电力系统电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的基本电气计算。稳态运行情况的基本电气计算。第一节第一节 概述概述n电力系统常规潮流计算：根据给定的电力系统常规潮流计算：根据给定的网络结构及运行条件，求出整个网络网络结构及运行条件，求出整个网络的运行状态。的运行状态。n运行状态包括：母线的电压、网络中运行状态包括：母线的电压、网络中的功率分布及功率损耗等。的功率分布及功率损耗等。离线计算离线计算: :规划设计规划设计; ;运行方式分析运行方式分析; ;其他其他计算的配合计算的配合在线计算在线计算: :安全监控

5、和安全分析安全监控和安全分析潮流计算是电力系统中应用最为广泛、潮流计算是电力系统中应用最为广泛、最基本和最重要的一种电气计算。最基本和最重要的一种电气计算。第一节第一节 概述概述 常用的潮流计算方法归纳到数学上属常用的潮流计算方法归纳到数学上属于多元非线性代数方程组的求解问题，于多元非线性代数方程组的求解问题，一般需采用迭代计算方法进行求解计算。一般需采用迭代计算方法进行求解计算。 2020世纪世纪5050年代中期起，电力系统潮流年代中期起，电力系统潮流计算的研究就是如何使用电子计算机计计算的研究就是如何使用电子计算机计算电力系统的潮流问题。算电力系统的潮流问题。 第一节第一节 概述概述 对于

6、潮流算法，其基本要求可归纳成对于潮流算法，其基本要求可归纳成以下四个方面：以下四个方面： （1 1）计算速度；）计算速度； （2 2）计算机内存占用量；）计算机内存占用量； （3 3）算法的收敛可靠性；）算法的收敛可靠性； （4 4）程序设计的方便性以及算法扩充）程序设计的方便性以及算法扩充移植等的灵活通用性。移植等的灵活通用性。 此外，程序使用的方便性及良好的人此外，程序使用的方便性及良好的人- -机界面也越来越受到人们的关注。机界面也越来越受到人们的关注。第一节第一节 概述概述 电力系统由发电机、变压器、输配电电力系统由发电机、变压器、输配电线路及负荷等组成。线路及负荷等组成。 进行潮流计

7、算时，发电机和负荷一般进行潮流计算时，发电机和负荷一般可用接在相应节点上的一个电流注入量可用接在相应节点上的一个电流注入量表示。表示。 电力网络中的变压器、线路、电容器、电力网络中的变压器、线路、电容器、电抗器等元件可用集中参数表示的由线电抗器等元件可用集中参数表示的由线性电阻、电抗构成的等值电路模拟。性电阻、电抗构成的等值电路模拟。 第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 对这样的线性网络一般采用节点电压对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析。节点电压与节点注入电流法进行分析。节点电压与节点注入电流之间的关系为之间的关系为: :或或第二节第二节 潮流计算问题的数学模型

8、潮流计算问题的数学模型 IUYIZU式中：nY是导纳矩阵，对角元是节点i的自导纳，非对角元是节点间的互导纳。1122 , U nnUIIUIIU.111212122212nnnnnnYYYYYYYYYY 分别是节点注入电流列向量及节点电压列向量第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 展开为展开为或或第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 niIUYinjjij, 2 , 11niIZUnjjiji, 2 , 11 在实际中，已知的节点注入量往往不在实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此用节点是节点电流而是节点功率，为此用节点功率代替节

9、点电流功率代替节点电流, ,得得 (1-6) 或或 (1-7) 第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 niUjQPUYiiinjjij, 2 , 11niUjQPZUnjjjjiji, 2 , 11 上两上两式式是潮流计算问题的基本方程式，是潮流计算问题的基本方程式，是一个以节点电压为变量的非线性代数是一个以节点电压为变量的非线性代数方程组。而采用节点功率作为节点注入方程组。而采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。量是造成方程组呈非线性的根本原因。由于方程组为非线性的，因此必须采用由于方程组为非线性的，因此必须采用迭代方法进行数值求解。迭代方法进行数值

10、求解。 根据对方程组的不同处理方式，形成根据对方程组的不同处理方式，形成了不同的潮流算法。了不同的潮流算法。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 对于电力系统中的每个节点，需要对于电力系统中的每个节点，需要P P、Q Q 、U U和相角四个变量才能确定其运行和相角四个变量才能确定其运行状态。状态。n n个节点总共有个节点总共有4n4n个运行变量。个运行变量。而基本方程式只有而基本方程式只有n n个个, ,将实部与虚部分将实部与虚部分开，则形成开，则形成2n2n个实数方程式，仅可解得个实数方程式，仅可解得2n2n个未知运行变量。必须将另外个未知运行变量。必须将另外2n2n个

11、变个变量作为已知量而预先给定。也即对每个量作为已知量而预先给定。也即对每个节点，要给定两个变量为已知条件，而节点，要给定两个变量为已知条件，而另两个变量作为待求量。另两个变量作为待求量。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 根据电力系统的实际运行条件，按照根据电力系统的实际运行条件，按照预先给定的变量的不同，电力系统的节预先给定的变量的不同，电力系统的节点可分成点可分成PQPQ节点、节点、PVPV节点及平衡节点三节点及平衡节点三种类型。种类型。 对平衡节点来说，其电压相角一般作对平衡节点来说，其电压相角一般作为系统电压相角的基准。为系统电压相角的基准。 第二节第二节 潮流

12、计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 交流电力系统中的复数电压变量可交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示以用两种坐标形式表示或或 而复数导纳为而复数导纳为第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 jiieUUiiijfeUijijijjBGY 将以上三式代入以导纳矩阵为基础的将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式式(1-6)(1-6)，并将实部与虚部分开，可得，并将实部与虚部分开，可得到两种形式的潮流方程。到两种形式的潮流方程。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 直角坐标形式直角坐标形式 (1-11) (1-12)极坐标形式极坐标形式 (

13、1-13) (1-14) 第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 nieBfGffBeGePijijjijjijijijjijii, 2 , 1)()(nieBfGefBeGfQijijjijjijijijjijii, 2 , 1)()(niBGUUPijijijijijjii, 2 , 1)sincos(sincos)1,2,iijijijijijj iQUUGBin 若以若以p p、u u、x x分别表示扰动变量、控分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则潮流方程可以用制变量、状态变量，则潮流方程可以用更简洁的方式表示为更简洁的方式表示为 (1-15)(1-15) 根据

14、式根据式(1-15)(1-15)，潮流计算的含义就是，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量针对某个扰动变量p p，根据给定的控制，根据给定的控制变量变量u u，求出相应的状态变量，求出相应的状态变量x x。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 0),(puxf一一 高斯高斯- -塞德尔法塞德尔法 以导纳矩阵为基础，并应用高斯以导纳矩阵为基础，并应用高斯- -塞塞德尔迭代的算法是电力系统应用最早的德尔迭代的算法是电力系统应用最早的潮流计算方法。潮流计算方法。 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 已知方程组已知方程组用高斯用高斯- -塞德尔求解（塞德尔求

15、解（0.010.01）。）。 解：（解：（1 1）将方程组）将方程组改写成迭代公式：改写成迭代公式：（2 2）设初值）设初值 ；代入上述迭代公式；代入上述迭代公式32313132)(2)(1)1(2)(2)(1)1(1kkkkkkxxxxxx0)0(2)0(1 xx直到直到|x(k+1)-x(k)| 7737. 04815. 0)2(2)2(1xx8167. 05817. 0)3(2)3(1xx6667. 003333. 0032)1(231)1(1xx三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法1122123210320 xx xxx x 讨论电力系统中除讨论电力系统中除1 1个平衡节点

16、外，其个平衡节点外，其余都是余都是PQPQ节点的情况。节点的情况。 由式由式(1-6)(1-6)可得可得 (1-16)(1-16) 式中：式中： 、 为已知的节点注入有功、无为已知的节点注入有功、无功功率。功功率。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 niUYUjQPYUnijjjijiiiiii, 2 , 111iPiQ 假定节点假定节点l l为平衡节点，其给定电压为平衡节点，其给定电压为为 。平衡节点不参加迭代。于是对应。平衡节点不参加迭代。于是对应于这种情况的高斯于这种情况的高斯- -塞德尔迭代格式为塞德尔迭代格式为 (1-17)(1-17) 上式是该算法最基本的迭

17、代计算公式。上式是该算法最基本的迭代计算公式。 其迭代收敛的判据是其迭代收敛的判据是 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 sU111(1)( )1121( )1(2,3,inkskkiiiiijiijijj ikiiiPjQUY UY UY UinYU kikiiUU1max 如系统内存在PV节点，假设节点p为PV节点，设定的节点电压为Up0。假定高斯-塞德尔迭代法已完成第k次迭代，接着要做第k+1次迭代前，先按下式求出节点p的注入无功功率：)Im(1*)()1(njkjpjkpkpUYUQ 然后将其代入下式，求出节点p的电压： 在迭代过程中，按上式求得的节点p的电压大

18、小不一定等于设定的节点电压Up0，所有在下一次的迭代中，应以设定的Up0对电压进行修正，但其相角仍保持上式所求得的值，使得 如果所求得PV节点的无功功率越限，则无功功率在限，该 PV节点转化为PQ节点。npjkjpjkpkppppkpUYUjQPYU, 1)(*)()1()1(1)1(0)1(kppkpUU 本算法的突出优点是原理简单，程序设本算法的突出优点是原理简单，程序设计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因此占用内存非常节省。此占用内存非常节省。 该算法的主要缺点是收敛速度慢。该算法的主要缺点是收敛速度慢。由于各节点电压在数学上松散耦合，所由于各节点电压在数

19、学上松散耦合，所以节点电压向精确值的接近非常缓慢。以节点电压向精确值的接近非常缓慢。另外，算法的迭代次数随着网络节点数另外，算法的迭代次数随着网络节点数的增加而上升，因此在用于较大规模电的增加而上升，因此在用于较大规模电力系统的潮流计算时，速度显得非常缓力系统的潮流计算时，速度显得非常缓慢。慢。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 为提高算法收敛速度，常用的方法是为提高算法收敛速度，常用的方法是在迭代过程中加入加速因子在迭代过程中加入加速因子 ，即取，即取 式中：式中： 是通过式是通过式(1-17)(1-17)求得的节点求得的节点i i电压的第电压的第k+1k+1次迭代值

20、；次迭代值； 是修正后是修正后节点节点i i电压的第电压的第k+1k+1次迭代值；次迭代值； 为加速为加速因子，一般取因子，一般取 。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 kikikikiUUUU111 kiU1kiU21 对于具有下述所谓病态条件的系统，高对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯斯- -塞德尔迭代法往往会发生收敛困难：塞德尔迭代法往往会发生收敛困难： (l)(l)节点间相位角差很大的重负荷系统；节点间相位角差很大的重负荷系统； (2)(2)包含有负电抗支路（如某些三绕组变包含有负电抗支路（如某些三绕组变压器或线路串联电容等）的系统；压器或线路串联电容等）的系

21、统； (3)(3)具有较长的辐射形线路的系统；具有较长的辐射形线路的系统； (4)(4)长线路与短线路接在同一节点上，而长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比值又很大的系统。且长短线路的长度比值又很大的系统。 此外，选择不同的节点为平衡节点，也此外，选择不同的节点为平衡节点，也会影响到收敛性能。会影响到收敛性能。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 为克服基于节点导纳矩阵的高斯为克服基于节点导纳矩阵的高斯- -塞塞德尔迭代法的这些缺点，德尔迭代法的这些缺点，2020世纪世纪6060年代年代初提出了基于节点阻抗矩阵的高斯初提出了基于节点阻抗矩阵的高斯- -塞塞德

22、尔迭代法。但在牛顿法潮流出现后，德尔迭代法。但在牛顿法潮流出现后，即很少再被便用。即很少再被便用。 目前基于节点导纳矩阵的高斯目前基于节点导纳矩阵的高斯- -塞德塞德尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代初值要求比较高的算法提供初值，一般初值要求比较高的算法提供初值，一般只需迭代只需迭代1 12 2次就可以满足要求。次就可以满足要求。 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 二二 牛顿牛顿- -拉夫逊法拉夫逊法（一）牛顿（一）牛顿- -拉夫逊法的一般概念拉夫逊法的一般概念牛顿牛顿- -拉夫逊法在数学上是求解非线性代拉夫逊法在数学上是求解非线性代

23、数方程式的有效方法。其要点是把非线数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常的线性方程式进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程。所称的逐次线性化过程。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 牛顿法解非线性方程牛顿法解非线性方程原理：将非线性方程线性化原理：将非线性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*，将将 f (x)在在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ， 在在 x0 和和 x* 之间。之间。将将

24、 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：看成高阶小量，则有：)*)()(*)(0000 xxxfxfxf )()(*000 xfxfxx 线性线性xyx*x0 x1)()(1kkkkxfxfxx 迭代公式：迭代公式：又称切线法。平方收敛性。又称切线法。平方收敛性。 )(kx)(ky)(xfy xyo)1( kx)(kx下一步下一步迭代迭代第第k+1k+1步步迭代迭代)2( kx21200 x 4()0.000003289f x 2( )120,( )2f xxfxx 1()201011()20oof xxxfx 1211()11110.9141414()22f xxxfx 2322()0.88

25、1517510.914141410.954526()2 10.9141414f xxxfx 3433()0.0016398810.95452610.954451()2 10.954526f xxxfx 10ox 将非线性代数方程组将非线性代数方程组 (1-22)(1-22) 在待求量在待求量 的某一个初始估计值的某一个初始估计值 附附近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到线性化方程组的高阶项，得到线性化方程组 (1-24)(1-24) 称为牛顿法的修正方程式。称为牛顿法的修正方程式。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法0)(xfx)0(x(0)(0)(0)(

26、)()0f xfxx 由上式根据初值由上式根据初值 可求得第一次迭可求得第一次迭代的修正量代的修正量 (1-25)(1-25) 将将 和和 相加，得到变量的第一次相加，得到变量的第一次改进值改进值 。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法(0)(0)1(0)()()xfxf x )0(x)0(x)0(x)1(x 因此，应用牛顿法求解的迭代格式为因此，应用牛顿法求解的迭代格式为 (1-26)(1-26) (1-27) (1-27) 上两式中：上两式中： 是函数是函数 对于对于 的的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵 ，为，为迭代次数。迭代次数。 牛顿法当初值牛顿法当初值 和方程的精确

27、解足和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。够接近时，具有平方收敛特性。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法( )( )( )()()kkkfxxf x )()()1(kkkxxx( )fx)(xfxJk)0(x（二）牛顿潮流算法的修正方程式（二）牛顿潮流算法的修正方程式 将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采用的数学表达式以及复题时，由于所采用的数学表达式以及复电压变量采用的坐标形式的不同，可以电压变量采用的坐标形式的不同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。形成牛顿潮流算法的不同形式。 以下讨论用得最广泛的以下讨论用得最广泛的 采用功率采用功率方程式模型

28、，而电压变量分别采用极坐方程式模型，而电压变量分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。标和直角坐标的两种形式。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法)(xf 1 1 极坐标形式极坐标形式 令令 ，对每个，对每个 节点及节点及 节点，节点，根据式根据式(1-13)(1-13)，有，有 (1-28)(1-28) 对每个对每个 节点，根据式节点，根据式(1-14)(1-14)，有，有 (1-29)(1-29)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法iiiUUPQPV0)sincos(iijijijijijjiiPBGUUPPQ0)cossin(iijijijijijjiiQBGUUQ 将上述方程式在某个近似解附近用泰将上述方程式

29、在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式后，得到以矩阵形式表示的修正方程式 (1-30)(1-30) 式中：式中： 为节点个数，为节点个数， 为为 节点数，节点数，雅可比矩阵是雅可比矩阵是 阶非奇异方阵。阶非奇异方阵。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法1111PnnHNMLQU Unmnm nmPV22mn 雅可比矩阵各元素的表示式如下：雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法2(sincos) () (1-31) () (1-32) ijijijijjiiijiiiijUU GBj iPHU BQj i

30、2(cossin ) (j i) (1-33) (j i) (1-34)ijijijijijiijjiiiijUU GBPNUUGPU2(cossin ) (j i) (1-35) (j i) (1-36)ijijijijijiijiiiijUU GBQMU GP2(sincos ) (j i) (1-37) (j i) (1-38)ijijijijijiijjiiiijUU GBQLUU BQU 2 2 直角坐标形式直角坐标形式 令令 ，此时每个节点，都有两，此时每个节点，都有两个方程式。因此共有个方程式。因此共有 个方程式。个方程式。 对每个对每个PQPQ 节点，根据式节点，根据式(1-1

31、1)(1-11)和式和式(1-12)(1-12)有：有： (1-39)(1-39) (1-40) (1-40)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法iiijfeU2(1)nPQ()()0iiijjijjiijjijjij iPe G eB ff G fB eP ()()0iiijjijjiijjij iij iQf G eB fe G fB eQ 对每个对每个 节点，除了有与式节点，除了有与式(1-39)(1-39)相同的有功功率方程式之外，还有相同的有功功率方程式之外，还有 (1-41)(1-41) 采用直角坐标形式的修正方程式为采用直角坐标形式的修正方程式为 (1-42)(1-42)牛顿牛顿-拉夫逊法

32、拉夫逊法PV2222()0iiiiUefU 21e11 f1nPHNnnmQMLnRSmU 雅可比矩阵各元素的表示式如下：雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法j i() (ji) (1-43)() (ji) (1-44)ijiijiiijijjijjii iiiijG eB fPHG eB fG eB fe (ji) (1-45)() (ji) (1-46)ijiijiiijijjijjii iiiijj iB eG fPNG fB eB eG ff (ji) (1-47)() (ji) (1-48)ijiijiiijijjijjii iiiijj iB eG fQMG f

33、B eB eG fej i (ji) (1-49)() (ji) (1-50)ijiijiiijijjijjii iiiijG eB fQLG eB fG eB ff牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法20 (ji) (1-51)2 (ji) (1-52)iijijURee20 (ji) (1-53)2 () (1-54)iijijUSfjif 分析以上两种类型的修正方程式，分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。可以看出两者具有以下的共同特点。 (1) (1) 修正方程式的数目分别为修正方程式的数目分别为 及及 个，在个，在 节点比例不大时，两节点比例不大时，两者的方程式数目基本

34、接近者的方程式数目基本接近 个。个。 (2) (2) 雅可比矩阵的元素都是节点电压雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。重新形成。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法mn1212nPV12n (3) (3) 从雅可比阵非对角元素的表示式从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素相应的节点导纳矩阵元素 是否为零。是否为零。如将修正方程式按节点号的次序排列，如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个并将雅可比矩阵分块，把每个 阶子阶子阵阵 作为分块

35、矩阵的作为分块矩阵的 元素，则按节点号顺序而构成的分块雅元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法ijY22等如ijijijijijijijijSRNHLMNH (4) (4) 和节点导纳矩阵具有相同稀疏结和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于由于 ，所以雅可比矩阵所以雅可比矩阵不是对称阵不是对称阵。 修正方程式的这些特点决定了牛顿法修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序特点，在设计

36、算法时应重点考潮流程序特点，在设计算法时应重点考虑。虑。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法jiijjiijjiijjiijLLMMNNHH, 示例系统：示例系统：6节点系统，节点系统，3为为PV节点，节点，6为平衡节点。为平衡节点。n导纳矩阵结构：y1112131421222631333441434445545556626566YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY1111112121313141411111121213131414221212222221212222331313333343423333344141434344444545441414343550000PHNHNHNHNQMLMLM

37、LMLPHNHNQMLMLPHNHNHNVRSPHNHNHNHNQMLMLPQ1122334444445454545455555545455555efefefeMLMLfHNHNeMLMLf（三）修正方程式的处理和求解（三）修正方程式的处理和求解 有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键。序计算速度并降低内存需求量的关键。 结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起这些程序特点对

38、牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。着决定性的作用。 1 1 对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。零元素，且只有非零元素才参加运算。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法3 3 节点编号优化。经过消元运算得到节点编号优化。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由于消元过程中有新的非零元素注入，使于消元过程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消元分析表明，新增非零元素的多少和

39、消元的顺序或节点编号有关。的顺序或节点编号有关。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 节点编号优化的作用即在于找到一种节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构网络节点的重新编号方案，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少。增的非零元素数目能尽量减少。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 节点编号优化通常有三种方法：节点编号优化通常有三种方法：(1) (1) 静态法静态法按各节点静态连接支路数按各节点静态连接支路数的多少顺序编号。由少到多编号；的多少顺序编

40、号。由少到多编号；(2) (2) 半动态法一按各节点动态连接支路半动态法一按各节点动态连接支路数的多少顺序编号；数的多少顺序编号；(3) (3) 动态法一按各节点动态增加支路数动态法一按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。的多少顺序编号。 消去节点后出现新支路数最少的节点。消去节点后出现新支路数最少的节点。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 三种节点编号优化方法中动态法效果三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般认为，采用半动态法似乎是来说，一般认为，采用半动态法似

41、乎是较好的选择。较好的选择。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 P-Q分解法分解法P-Q分解法原理分解法原理P-Q分解法分解法rx P-Q分解法分解法HP)/(UULQmn121n1mnP-Q分解法分解法2010ijijBGijijijijBGsin1cos；2/iiUQiiBiiiiBUQ2 P-Q分解法分解法ijjiijBUUHijjiijBUULHUB ULUB U/BB 及1n1mnP-Q分解法分解法P-Q分解法分解法P-QP-Q分解法的修正方程式分解法的修

42、正方程式P-Q分解法分解法/()P UB U /Q UBU /BB 及P-Q分解法分解法/BBP-Q分解法分解法B P-Q分解法分解法/P UB/Q UBUBBP-Q分解法分解法222211;ijijiiijijj ij ij ij iijijijijiiioiij iijijijijj iBxBBxxxBBBBBrxrx ijijijBBB ijijxrP-Q分解法分解法1n1mnmn12图图1-3 1-3 牛顿法和牛顿法和P-QP-Q分解法的典型收敛特性分解法的典型收敛特性NRNR牛顿法；牛顿法；FDLFFDLFP-QP-Q分解法分解法 P-Q分解法分解法 P-Q分解法分解法BBP-Q分解

43、法分解法JBBP-Q分解法分解法P-Q分解法分解法XR XRP-Q分解法分解法XRXRXR 解决这个问题的途径主要有以下两种。解决这个问题的途径主要有以下两种。 对大对大 比值支路的参数加以补偿比值支路的参数加以补偿 1 1 对大对大 比值支路的参数加以补偿比值支路的参数加以补偿 对大对大 比值支路的参数加以补偿，又比值支路的参数加以补偿，又分成串联补偿法及并联补偿法两种。分成串联补偿法及并联补偿法两种。P-Q分解法分解法XRXRXR (1) (1) 串联补偿法串联补偿法 这种方法的原理这种方法的原理见见图图1-61-6，其中，其中 为增为增加的虚构节点，加的虚构节点， 为新增的补偿电容。为新

44、增的补偿电容。 数值的选择应满足数值的选择应满足 支路支路 的条件。的条件。P-Q分解法分解法mcjXcXmi RXXc)( P-Q分解法分解法 这种方法的缺点是如果原来支路的这种方法的缺点是如果原来支路的 比值非常大，从而使比值非常大，从而使 的值选得过大时，的值选得过大时，新增节点新增节点 的电压值有可能偏离节点的电压值有可能偏离节点 及及 的电压很多，这种不正常的电压将的电压很多，这种不正常的电压将导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。P-Q分解法分解法XRcXmij P-Q分解法分解法jBGjBjBBBjGYfffij)2121(1)(ji ji mmUf

45、Bji 图图1-7 1-7 对大对大R/XR/X比值支路的井联补偿比值支路的井联补偿(a) (a) 原支路；原支路；(b) (b) 补偿后支路补偿后支路 P-Q分解法分解法P-Q分解法分解法XRXRP-Q分解法分解法P-Q分解法分解法BXBBXBBXBBXXXRBBXXBX 方案采用的是严格的方案采用的是严格的 , , 交替迭代方案，这也是该算法和现在通交替迭代方案，这也是该算法和现在通行的行的 方案的标准型方案的标准型P-QP-Q分解法的第二分解法的第二个差别。新算法若仍采用老的迭代方案，个差别。新算法若仍采用老的迭代方案，将会出现周期性的使功率偏差不再下降将会出现周期性的使功率偏差不再下降

46、的的 , , ， ， 循环迭代过程。循环迭代过程。P-Q分解法分解法BXPUQ XBPQQPQQPQQP-Q分解法分解法XRXRXR第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 222()()iijijijijijijijijj iiijijijijijijijijj iiiiPG eeB e fG f fB f eQG f eB f fG e fB eeUef 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 为推导方便，将上述潮

47、流方程写成更普为推导方便，将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式。这里先定义：遍的齐次二次方程的形式。这里先定义： n n维未知变量向量维未知变量向量 n n维函数向量维函数向量 n n维函数给定值向量维函数给定值向量 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 Tnxxxx,21Tnxyxyxyxy)(,),(),()(21Tsnsssyyyy,21 一个具有一个具有n n个变量的齐次二次代数方个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为程式的普遍形式为 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 111 1121 211212 1222 2221122( ) ()()()

48、()()() ()()()iiin iniin inninninnn in ny xaxxaxxaxxax xax xax xax xax xax x(1-69)(1-69)于是潮流方程组可以写成如下的矩阵形式：于是潮流方程组可以写成如下的矩阵形式： (1-70)(1-70)或或 (1-71)(1-71)第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 12( )snx xx xyy xAx x( )( )0sf xy xy 式式(1-70)(1-70)中，系数矩阵为：中，系数矩阵为： (1-72)(1-72)第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 11 112 11 121 1

49、22 12 11 12 1111 212 21 221 222 2221 22 22111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnn nnnn nn nnnnn naaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaa2n nRA（二）泰勒级数展开式（二）泰勒级数展开式 对式对式(1-69)(1-69)在初值附近展开，可得到没在初值附近展开，可得到没有截断误差的精确展开式为：有截断误差的精确展开式为： (1-73)(1-73)

50、即即 (1-74)(1-74) 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 2(0)(0)(0)1111()2nnnsiijjkjjkjjkyyyy xxxxxxxxxxx ！12(0)1()2snxxxxyy xJ xHxx 式中：式中： 为修正量向量。为修正量向量。 为雅可比矩阵。为雅可比矩阵。第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 Tnxxxxxx,21)0(1111222212(0)12 nn nnnnnnyyyxxxyyyxxxJJRxxyyyxxx 是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。稀疏。 第四节第四节 保留非线性潮流算法

51、保留非线性潮流算法 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyH222122222212212212112222221222222222122221222122112221221211221222121212112211211122nnRH第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 )()()0(xyxJxyys12012snxxx ( )xxyy xJ xHx 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 ix

52、iiixxx)0(0)(0)(0)(0)(0)(0)()() ijiijjijijjiijx xxxxxxxxxxxxx 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 )0(xnnjinnjinnjinnjisxxxxxxxxAxxxxxxxxAxxxxxxxxAxxxxxxxxAy2111)0()0()0(21)0(11)0()0(2)0(11)0(1)0()0()0()0()0(2)0(1)0(1)0(10000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxx( )( )( )( )( )( )( )( )( )

53、( )( )( )yAAAA 首先首先12012snxxx ( )xxyy xJ xHx第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 )()0(xy 泰勒级数展开式（9）0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxx( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )yAAAA 其次其次， 中第二、三项，与式中第二、三项，与式第二项完全对应第二项完全对应12012snxxx ( )xxyy xJ xHx第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 因为式因为式第二项展开后是向量函数

54、第二项展开后是向量函数y(x)在在x=x(0)处的全微分。处的全微分。0111121222212121212nnnnnnnnnyyyxxxxxxyyyxxxxxxJyyyxxxxxx ( )x xx 而而式右端变量列向量中任一元素的全式右端变量列向量中任一元素的全微分微分()()()=ijijijijjiijijx xx xd x xxxxxxxxx第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 于是，根据式于是，根据式 ，y(x)在在x=x(0)处的全微分也处的全微分也可以表示为：可以表示为：00111 10012120000ijijnnnnxxx xxxx xxxx xxxx x( )

55、( )( )( )( )( )( )( )A 此式即是此式即是第二、三项和。所以，与第二、三项和。所以，与（174）式第二项相等。得证。）式第二项相等。得证。第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxx( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )yAAAA 所以，所以，(1-79)中第四项，必然与式（中第四项，必然与式（174）第三项相等。第三项相等。 根据式（根据式（170），）， (1-79)中第四项完全可以写成中第四项完全可以

56、写成y(x)形式形式12012snxxx ( )xxyy xJ xHx第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxx( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )yAAAA (1-79)中第四项完全可以写成中第四项完全可以写成y(x)形式形式0s ( )yy xJ xyx 最终，证明了式（最终，证明了式（1-77)，构成了算法的，构成了算法的突破突破第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留

57、非线性潮流算法 x)0(xx)()()0(1xyyxyJxs)()()()0(1) 1(kskxyyxyJx式中：为迭代次数；式中：为迭代次数； 按按 估计而得。估计而得。 进行第一次迭代时，进行第一次迭代时， ，令，令 , ,同牛顿法的第一次迭代计算完全相同。同牛顿法的第一次迭代计算完全相同。 算法的收敛判据为算法的收敛判据为 (1-84)(1-84)也可以采用也可以采用 (1-85)(1-85)作为收敛判据作为收敛判据。 式式(1-85)(1-85)是比式是比式(1-84)(1-84)更合理的收敛更合理的收敛判据。判据。第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 kJ)0(xx 0

58、k0)()0(xy)()1(maxkikiixx)()1(maxkiikiiixyxy启动输入原始数据赋初值形成雅可比矩阵J形成J 因子表计算二阶项形成节点导纳矩阵()()kyx是k=0( 0)0 x用式(1-83)求解(1 )kx(1 )()ma x?kkiiixx(1 )( 0)(1 )kkxxx计算支路潮流输出结果停机k=k+1否保留非线性保留非线性快速潮流算快速潮流算法框图法框图第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 ( )( )0sf xy xy11( )( )( )()( )( )( () ()kkkskkkxJ xy xyxxx 1010101()( )( )( )(

59、)( )()( () ()()kskkkxJ xy xyyxxxx 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 0 x第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 x)(kx)(kx)(kx)0(x第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 ( )()ky x0( )()syy x第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 保留非线性快速潮流算法比牛顿法优越保留非线性快速潮流算法比牛顿法优越 但与快速解耦法相比但与快速解耦法相比 从计算速度稍慢从计算速度稍慢 内存相差太大内存相差太大l一种采用直角坐标的包括二阶项

60、的快速算法一种采用直角坐标的包括二阶项的快速算法XR第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 ()()iiijjijjiijjijijiQfGeBfeGfBe 222()iiiUef iiijjijjiijjijjj iPeG eB ffG fB e 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 iiijj ij iiiijj ij iGGBB 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 220() ()()iiiiiijjijjiijjijjj iPgefe G eB ff G fB e 220()()()iiiii