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文档简介
迭代法回顾设f(x)=0的根为
x*,通过迭代计算产生序列:
14:00引子
选择任意的数字x。Matlab中输入命令x=yournumber。例如x=3。
Matlab中输入命令x=sqrt(1+x)。命令计算(1+x)1/2并用最新的结果替代以前的结果。重复上述过程(up-arrow键),得到如下结果:
321.73211.65291.62881.62131.61911.61841.61811.61811.61801.61801.6180
Matlab中等号是赋值算子。即计算等式右边的值并将值存储到左边的变量。命令计算(1+x)1/2并用最新的结果替代以前的结果。重复上述过程得到如下最后结果为1.6180(黄金比例)。
数学中等号是恒等。上述x称为函数f(x)=(1+x)1/2的不动点。方程x2-x-1=0的正根是函数f(x)的不动点。等价变换f(x)
的根的不动点不动点迭代(FixedPointIteration)x*称为不动点14:00启示:通过重复简单的不动点计算并赋值来逐步逼近方程的解。不动点迭代(FixedPointIteration)选择适当的初始值x0,按照如下的迭代格式计算:如果数列{xn}有极限,则称迭代是收敛的。是非线性方程的根和
的不动点。
基本思想是将非线性方程求解归结为一系列显式的函数值计算。例1
方程
x3+4x2–10=0在
[1,2]上有一个根,构造求根的不动点迭代格式。(1)(n=0,1,2,······)(n=0,1,2,······)(2)14:00
1.50000.81652.9969(-8.65)1/20.54871.6317
0123nxn|xn–x*|
1.50001.34841.36741.36501.36531.36521.3652
0.01680.00222.0e-041.0e-04000123456nxn|xn-x*|什么样的迭代格式收敛?14:00中值定理:
若函数f(x)满足:(1)在[a,b]连续;(2)在(a,b)可导;则在
(a,b)内至少存在一点,使得14:00证
若
或
,显然
有不动点设
,则有
,记
则有所以,存在x*使得即
,故
x*
是的不动点。14:0014:00如果有两个不同的不动点则有两式相减得由拉格朗日中值定理知,存在介于和之间与L<1条件矛盾故不动点唯一。14:00证14:00压缩映像(0<L<1)所以
故迭代格式收敛14:00局部收敛定理例2用不同迭代格式求方程
x2-3=0的根。(a)(b)(c)(d)xk(a)(b)(c)(d)x02222x11.75001.750031.5000x21.7344
1.732192x31.73241.7321871.5000x4
1.73211.732176532收敛速度数列的p阶收敛概念设
,若存在
a>0,p>0使得则称数列{xn}为p
阶收敛。特别:(1)收敛阶p=1时,称为线性收敛;(2)收敛阶p>1时,称为超线性收敛;(3)收敛阶p=2时,称为平方收敛。序列的收敛阶数越高,则收敛速度越快。Taylor’sTheorem
—数值分析的基石定理2.6设x*是
的不动点,且而
则
p阶收敛由Taylor公式其中
介于xn和x*之间。所以故迭代法p阶收敛。14:00不动点框架(初始点,迭代格式和收敛速度):收敛性
收敛速度一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器。保罗‧厄多斯Everyonelovesagoodcupofcoffee,mathematiciansespecially.Butdidyouknowthereisabeautifulpuremathematicstheorematworkeverytimeyoumakeyourselfamugofthatdeliciouslyaddictivestuff?Brouwer’sFixedPointTheoremsaysprecisely“everycontinuousfunctionfromacompactsubsetinn-dimensionalEuclideanspacetothesamesubsethasafixedpoint”.
Welltakeyourmugandfillitupwithcoffee,giveitagoodoldstirandthenletitcometorestagain.Thistheoremguaranteesthatthereisatleastonepointinthecup(whatwecallthe“fixedpoint”)that
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