第讲：线性空间的概念,维数基与坐标

第6章线性空间与线性变换

线性空间是线性代数最基本的概念之一,它

线性空间是为了解决实际问题而引入的,它一、线性空间的定义是向量空间概念的推广．是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解决实际问题．§1线性空间的概念个元素与之对应,称为与的和,记作记作若对于任一数与任一元素,总有唯一的一个元素与之对应,称为数

与的积,定义1设是一个非空集合,为一数域，如果对于任意两个元素,总有唯一的一如果上述两种运算满足以下八条运算规律

(

设)：,)4(使的负元素都有对任何,,)3(都有对任何中存在零元素在V那么,就称为数域上的线性空间(或向量空间),中的元素称为向量(或元).2.向量空间中的向量不一定是有序数组．3.一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封说明1.

能满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为线性运算．闭,或者运算不满足以上八条规律中的任一条,则此集合就不能构成线性空间.

(1)一个集合,如果定义的加法和数乘运算例１实数域上的全体矩阵,对矩阵记作．线性空间的判定方法是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的封闭性．的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,种运算满足线性运算规律．且向量空间.对于通常的多项式加法和数乘多项式的乘法构成的多项式的全体,即

次数不超过n例2证通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两所以空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法

n

次多项式的全体例3间.这是因为对.][对运算不封闭xQn所以例４

对数函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．因为则是一个线性空间.所以在区间上全体实连续函数,对函数的一般地,有以下结论加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间．事实上,任意两个实连续函数的和仍然为实连续函数,数与实连续函数的乘积仍为实连续函数．例

5正实数的全体,记作,在其中定义加法验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．

(2)一个集合,如果定义的加法和数乘运算证明先证运算的封闭性不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律．及数乘运算为下面一一验证八条线性运算规律：有对任何中存在零元素,,1)3(++ÎRaR使有负元素,,)4(1+-+ÎÎ"RaRa所以对定义的加法与数乘运算封闭．所以对所定义的运算构成线性空间．不构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例６个有序实数组成的数组的全体线性空间.,

不是所以线性运算由于所定义的运算不是Sn定理1线性每空间箩有唯苗一一闯个零讲元,任意似元证明假设是线性空间V中的两个零由于所以元素,则对任何有,二、强线性曲空间维的性撤质有唯找一一采个负肾元．假设有两个负元素与,那么则有向量的负元素记为所以嫌零元新是唯呼一的.所以职负元肌也是甘唯一织的.根据功零元猜和负眼元的到唯一贸性,可得格：又⑴⑵如果,则

或.假设那么又同理可得：若则有三、数线性灿空间福的子悬空间定义2

设是一个线性空间,是的一个空间昼．非空子集,如果对于中所定义的加法和乘数线性饿空间看中的观零元拿构成咏一子寺空间,称为秆零空冰间.V自身脾是V的子支空间.我们炕称这或两个糕子空拖间为V的平凡姿子空欲间.运算训也构摆成一队个线绩性空陈间,则称U是V的一讽个子充分糕必要别条件妖是：定理2线性钓空间V的非屑空子狼集U构成见子空婆间的⑴如果则⑵如果则[证略]由定间义易夺知,假如U是V的子牛空间,则U的零骡元于是饭有也是V的零元,U中元的负元也是V中元的负元,例7证明：对矩胆阵加紫法及邪数乘郑运算能构成M2的一作个子霜空间树．证明搂：因为又设则有（为实数）．所以是的一个子空间．一、苍线性误空间流的基缎与维刑数

已知：在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向量都是线性相关的．间中，最多能有多少线性无关的向量？问题：线拨性空饮间的蛋一个沙重要疏特征——在线里性空§2维数赖、基艰与坐持标满足瞎：定义2.1

在线性空间中,如果存在个元素;,,,

)1(21线性无关naaaL,表示,,,

2)(21线性总可由中任一元素nVaaaaL.,维数的称为线性空间基Vn

,,,

,21的一个就称为线性空间那末VnaaaL.,nVnn记作维线性空间的线性空间称为维数为我们激知道绒，一书个向阀量空西间可遗由它伐的一帖个基谁所生成睡．同芦样的塌，一率个线迹性空挑间可吴由它碍的一管个基挥向量组球生成种．这就显示出线性空间的构造．都有一组有序数使并且沃这组酸数是中唯一兼的．剖因为珠如果冶还有则有但是线性无关，所以即对于一个已选定的基来说,系数由

唯一确定.反之，任给一组有序数总有唯一的元素这样，的元素与有序数组之间宰存在童着一芒种一出一对隔应的贱关系触，因渗此，绵可以朽用这组有序数来表示元素二、谊元素他在给贴定基膜下的白坐标使组有序数,,,,21nxxxL总有且仅有一于任一元素,个基,如果对nVÎa定义2的一是线性空间设,,,21nnVLaaa并记作这个基下的坐标,,nLa,,,,,2121nxxxLaaa在称为元素那么有序数组,,1,取][

2中在线性空间xxP==例1.它是的一个基,2x=2次的任一不超过多项应式可表租示为若另取一个基设

在这个基下的坐标为因此从而矛有在这个基下的坐标为因此).

,

,(2110aaaa-应的腔坐标脱是唯救一的割．线性空间V的任一元素在不同的基下注意：所对倚的坐主标一妈般不里同,但是歌一个矮元素殿在一个崇基下园对例2所有二阶实矩阵组成的集合，对于线性空间．对于中的矩阵矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个,0

3321====Ûkkkk而矩牧阵A在这制组基沈下的手坐标汽是：三、捎线性针空间京的同言构和则有和之间就有一个一耽一对赠应的叶关系顷，且翠这个讽对应弦关系及具有怒下述性质移：也就钻是说匀，这饶个对垄应关巨系保旅持线佛性组伤合的翼对应.因此,我们纵可以辩说Vn与Rn有相罪同的妥结构什，我耳们称Vn与Rn同构.系保持线性组合的对应，那末就称线性空间与定义3设是两个线性空间，如果它们的览元素六之间柜有一芝一对荣应关今系腥，且魄这个驶对应浑关同构.⑶．同应维数赠的线恩性空窗间必贵同构棕．⑵．同越构的指线性掘空间骄之间惕具有琴反身愧性、润对称由定娱义可死知：⑴．数域上任意两个维线性空间都同构;性与户传递仍性;同构衫