第五讲：全微分方程

第五讲全微分方程与积分因子三、积分因子法一、全微分方程与原函数二、全微分方程判定定理与不定积分法四、小结1

定义:即若例如全微分方程或恰当方程是全微分方程，一、全微分方程与原函数的左端恰好是某个二元函数的全微分，则称（1）为全微分方程或恰当方程，称为（1）的一个原函数。是方程的一个原函数。2容易证明，如果是微分方程（1）的一个原函数，则（1）的通积分为其中C为任意常数。于是，求解全微分方程的关键在于求出它的一个原函数。例如3我们通过观察寻找方程的一个原函数。对于一个一般的方程，怎样判断它是否是全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？4二、全微分方程判定定理与不定积分法定理：设函数M(x,y)、N(x,y)在xoy平面上的单连通区域D内连续可微，那么方程(1)是全微分方程的充要条件是在D内恒成立演示证明。56一般地，若为全微分方程，则它的通积分为从而求得一个原函数7解是全微分方程,原方程的通解为例28解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例39定义:问题:如何求方程的积分因子?3、积分因子法

前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些则可利用积分因子化为全微分方程。10我们用反推的办法来求积分因子为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但对于某些特殊情况，上式可求解。（2）为全微分方程1112以上求积分因子的方法称为公式法。13思考与练习：试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子例1:求解微分方程：例2:求解微分方程：14例3解则原方程化为可积组合法15原方程的通解为(公式法)观察铜法:凭观察凑微分得到常见邮的全逗微分识表达地式16受上竿述结识论的柔启发驾通常躬我们执经常谈可以眼选用阿的积翼分因蔽子有傻：这种白方法俊给我的们又拒提供民了一评种求蹄解微粱分方臣程的主方法--逃-可积菜（微匪）组心合法扯，请都看下挨面的兔例子赏：17解将方辨程左盾端重虾新组扯合,有例4求微侍分方泡程原方弟程的巾通解贡为18解将方建程左荣端重鹊新组惜合,有原方孩程的店通解中为可积效组合麦法例5求微盘分方往程19解1整理揭得A常数咳变易滋法:B公式幻玉法:例6一题授多解瞎：20解2整理垒得A用公纳式:B凑微犬分法:21C不定烤积分法:原方棚程的型通解灵为22作业勺：P3档8震T随1（1）（3）（5）,T2亚,原T5拓展格思维洽训练罗题：23若能浙从(1忘)解出y的一汗阶导娃数，食那么押会得背到一抬个或扮几个到显式郊方程蚕，用霉前面某的办略法求搏解。前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（）一阶阳隐式策微分测方程扩是指第六鉴讲哑一阶填隐式耗方程棋的解喝法例1:试求解微分方程：24本节般主要击介绍知三种施类型永隐式摔微分古方程康的求怪解方广法。（1）不眉含y（或x）的喷方程（2）可哨解出x的方不程（3）可图解出y的方冲程若不吨能从(1枕)解出y的一红阶导污数，缺或者丢即使轻能解奇出，塔但很买难求镜解，鹊则需殊要借很助于世其它屡办法附进行导讨论芽。251、若方程（1）不含y，即26例12728例2：若方程（1）不含x，即则完全类似求解。例3：例4：292、若为可从忘方程疫（1）解痕出x，即解法牛：这个孙方程定可化题为显醋式形尘式，蒜用前昨面类洲似的呼方法朵能求造出（1）的其解。30例531323、若窗可从草方程浇（1）解姨出y，即解法悲：333435例63637例7383940小笨结（1）可宪解出y的方园程（2）可灶解出x的方与程（3）不亡含x（或y）的方虚程**

借助于一些变量代换，可将隐式形式的方程化为显式