第八章第节全微分与方向导数

§8-3全微分一、全微分我们以二元函数为主，进行讲解，所得结论可容易推广至三元和三元以上的函数中。回忆一元函数的微分若存在仅与有关的实数A，使则称函数在点处可微，为函数在点处的微分，且可微可导运用多元函数的全增量概念，将一元函数的微分概念推广到多元函数中。应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量按一元函数的微分，形式上有这里应是一个无穷小量。二元函数全微分的定义设函数在点的某一邻域内有定义，当获得增量时，若函数在点X0

处的全增量可表示为则称函数在点X0

处可微。称为函数在点X0处的全微分。其中，常数a，b与无关，仅与X0

有关。全微分概念的描述可表示为极限形式如果函数在区域中的每一点均可微，则称函数在区域上可微。可微连续可导???在多元函数中，三者的关系如何？可微：连续：可微连续可导?在多元函数中，可微连续可微的必要条件函数在点X0

处可微，则必在点X0

处连续。可微与可导的关系

(可微的必要条件)定理若在点处可微，则其两个偏导数均存在，且可微：可微连续可导在多役元函通数中芦，可驶微可偏馆导定理效的证载明：若函估数可寒微，比则由的任者意性春，取，则即同理从而份，定梢理获商证。？？？例函数在点(0闷,久0)处连窑续，穴且有驾有界渴的偏分导数袍，但不打可微污。该例蠢留给确学生奖课后鬼研讨回头堆看定秤理定理若在点处可微胸，则文其两理个偏限导数均存在，且称为础函数冤关于x的偏暴微分杯。称为锻函数武关于y的偏忠微分塘。函数暑的全腔微分味等于继各偏侦微分赚之和爽：这与悄物理厦中的丙叠加杜原理航相符撒。可微连续可导？连痒续可悼导连续扶可导Ok定理（可柔微的木充分丛条件裕）设在内有袜定义绕,传且可偏煎导。若，在点连续索，则函数f(X)在点X0处可征微。证要证瓜明函数f(X)在点X0处可浇微，即要占证利用猪微分皆中值俯定理由偏伯导数乡丰的连关续性故同理其中为该设极限块过程意中的默无穷馆小量累。从而势，函支数的扎全增揉量又由夹而逼定驼理这一阴步是鉴怎么妈得来狮的钳？故即函数f(X)在点X0处可灯微。二、铁全微伤分的灵计算全微分的计算全微分的计算设函塔数，在点X处可弓微，动则例设，求。解将y，轿z看成打常数将x，睬z看成正常数将x，乐y看成桨常数故函数是否窑可微献？若可把微，狐求其昏全微晋分。解易知宫这两柳个偏注导数村在中连宰续，故在中可乎微。例如果瓦函数在区域中具有裂连续卡偏导迹数和,多则称值函数为区域中的类函毅数全,从记为当不挑强调鸦区域翼时，垦记为§8汗-7、方止向导欣数与乱梯度偏导洒数是职方向旧导数打吗？偏导峰数是剩方向奖导数万吗？偏导予数是尺方向明导数室吗？偏导女数是鼓方向既导数读吗？ABC中xOyz.P0Pl沿方向安的方押向导播数.方向楚导数顿的定僚义设函填数在内有遥定义磁。若点沿射车线l趋于时,料极限存在辨，则受称该腰极限伶值为倘函数在点处沿l方向史的方孩向导体数。员记为或利用绢直线烤方程士可将春方向最导数粪的定搜义表示为为:射线l的方皱程为则故比较搬方向局导数奸与偏堤导数分的概建念在方冲向导钩数中填，分赵母；在偏维导数蠢中，矩分母、可正燥、可戒负。即使l的方牌向与x轴,y轴的丘正方盈向一调致时痕，方向早导数露与偏摧导数疼的概阵念也争是不株同的户。方向狡导数锡与偏傻导数籍是两赶个不扶同的毙概念想一懒想，佣为什授么？怎么会计算帅方向车导数邻？看看饿三维纤空间群的情商形定理(方然向导镇数导美计算柜公式恐)若函数在点处可美微，则函上数在点处沿任一帽方向的方向导仿数存码在，乱且其中获,蝴各导痕数均凝为在婚点处的秘值。运用覆向量辣的数贷量积晴，可买将方其向导数急计算详公式蜡表示霸为：其中煮，称为宇梯度在中在中可统税一表陡示为设,辣求函爷数在至点沿方冰向的方向位导数促。解例由点到坐看标原斜点的策距离笑定义的但函数在坐材标原醒点处的两望个偏致导数戴均不杂存在跪，但个它在惹该点沿任滴何方笨向的皮方向惯导数唐均存呢在，毅且方向导健数值筛都等湾于1仅：想一脂想，必该例林给你御什么寻启示函数赌可微担是方奸向导福数存问在的浩充分吐条件架，而汪不是仇必要笛条件扰。方向抽导数茅存在直时，细偏导观数不年一定企存在风。例四、梯度一个镰问题任：在给定富点沿什紫么方汗向增睡加得胖最快烛？该问迷题仅研在不同嫁时为浸零才丧有意旺义。可微俘函数由前振面的嫌推导原，有现在邮正式羊给出的定宝义gr吗adu由此衔可得赛出什静么结凯论？方向瓣导数下等于烈梯度匪在此浅方向堤上的兽投影定义设则称平向量为函遥数在点处的鸡梯度挺，记祖为或梯度勾的方挪向与规取得距最大灶方向苍导数富导方株向一析致，泰而它图的模革就是购函数怪在该饿点的冠方向村导数搅的最央大值甩。以上骗结论变可以巴推广被到二寺元和浪三元腰以上卵的函久数中养。梯度谁的方鼠向与拜取得霉最大猜方向舅导数火导方弟向一像致，记而它求的模胃就是薄函数套在该胳点的听方向禁导数忘的最央大值脊。以上恭结论僻可以裂推广螺到二嚼元和牌三元愉以上稀的函碑数中扩。设求并求锣在点处方雷向导炎数的负最大铸(小凤)值靠。解∵∴从而例例设点发电荷q位于贞坐标缺原点揉，在守点处的昼电位近为其中顺，为介云电系猛数，求电扒