第六章流体动力学积分形式基本方程

流体力学顾伯勤主编研究生教材

退出中国科学文化出版社

第二篇流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论

流体绕过物体的流动

气体动力学基础

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式基本方程。

第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第1页第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第2页第一节连续性方程如图6.1所示，令为控制体体积，A为控制面面积，为法线单位向量，w和分别为流体速度和密度。将质量守恒定律应用于控制体可知，单位时间内流入控制体的质量等于控制体内质量的增加，控制面外其数学表达式为式（6.1）称为积分形式连续性方程。对于定常流动，上式等号右边为零。若控制体由流管及其进出口横截面A1，A2构成，且假设进出口、、、均为常数，则（6.1）式变为（6.1）截面上流动参数均匀，即

（6.2）式中为流管内的质量流量（kg/s）。该式仅适用于定常流动。如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成（6.3）第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第3页第一节连续性方程图6.1控制体和控制面wnpndAAn1n2w2A2A1w1qRdRRoFq式中Q为流管内的体积流量（m3/s）。应该指出，对不可压缩流体，所以（6.3）式也适用于不定常流动。应该指出，对不可压缩流体，如图6.1所示，令为流体应力，即外部作用于控制面上单位面积的力，p为压力，为外部作用于控制体上单位质量流体的质量力。在重力场中，为重力加速度。将动量守恒定律应用于控制体可知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和等于单位时间内控制体内动量的增加。

第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第1页第二节动量方程

一、静止控制体的动量方程作用于控制体上的力为

作用于控制面上的力为

单位时间内控制体内动量的增量为

单位时间内通过控制面流入控制体的动量为

第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第2页第二节动量方程

按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：

对于定常流动，则（6.4）式变为

（6.5）（6.4）（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位时间内流出控制体的动量。例题6.1如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已知w1，A，，p1，p2及出口截面方向。第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第3页第二节动量方程

图6.2流体流过等截面弯管p1w2yw1Fyxp2Fxo解：选取流体与弯管壁面的交界面及进出口截面为控制面，并选取xoy坐标系。已知，，，，

，，，，，这里Ab为弯管壁面面积，代入（6.5）式得又由连续性方程（6.3）可知

第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第4页第二节动量方程

代入上式得到流体对弯管的作用力

二、运动控制体的动量方程控制体速度为，流体在控制体内运动的相对速度为，其绝对速度为，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出

运动控制体的动量方程。流入控制体的动量为

单位时间内控制体内动量的增加

（b）（a）第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第5页第二节动量方程

将式（a），（b）代入式（6.4）得到

由连续性方程可知，则（c）式变为

（6.6）式称为运动控制体的动量方程。（c）（6.6）例题6.2求如图6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。

第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第6页第二节动量方程

w图6.3垂直上升的火箭UppamRFxAwpAmRgFdFxpa (b)(a)(c)火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧室内气体的质量为mf，排出气体的质量流率为、相对速度为w、压力为p，火箭壳体对气体的作用力为Fx，大气压力为pa，如图6.3（b）所示。若燃烧室内的流动是稳定的，则由（6.6）式可以得到现在考虑火箭壳体的受力，火箭的质量为mR、受阻力Fd（图6.3（c）），则第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第7页第二节动量方程

由于燃烧室内气体的质量相对于火箭总质量为一微量，则由上面两式可以求得火箭运动的加速度为第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第1页第三节动量矩方程

如图6.1所示，o为某一参考点，R为o点到控制面或控制体的向径，其它符号同前。将动量矩守恒定律应用于控制体可知：单位时间内流入控制体的动量以及作用于控制体与控制面上的外力对参考点o之矩等于单位时间内控制体内对同一点的动量矩的增量。

作用于控制面上的力矩为

作用于控制体上的力矩为

通过控制面流入控制体的动量矩为

单位时间内控制体内动量矩的增量

按动量矩守恒定律得到其数学表达式为

（6.7）（6.7）式称为积分形式的动量矩方程，对于定常流动，（6.7）式等号右端为零。处叶轮进出口圆周为控制面，由于对称性，当对轴心取力矩时，重力和压力的力矩为零。第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第2页第三节动量矩方程

2图6.4离心压缩机叶轮u2r2u1c2w21c1w1r1o例题6.3如图6.4所示，离心压缩机叶轮转速为，带动流体一起旋转，圆周速度为，流体沿叶片流动速度为，流量为Q，流体密度为，求叶轮传递给流体的功率。解：流体绝对速度为

当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取，设叶轮作用于流体的力矩为M，由（6.7）式可以得到

第六章流体动力学积分形式基本方程退出返回第3页第三节动量矩方程

上式化简得到

因为

所以所求叶轮传递给流体的功率为

第六件章流体顾动力馋学积轮分形臂式基离本方划程退泽出返字回第1页第四浓节煮能枕量方译程一、星能量号方程户的建界立如图6.拉1所示垦，裳为追外部归给予累控制刊面萌上闲单位奥时间急单位痒面积令的传贪导热鄙，参为闸外部然给予踪蝶控制义体使上笋单位沫时间纪单位交质量华流体蚊非热匪传导屠的热在,婆如辐贪射热叨、化第学生俘成热山等，e为单御位质派量流蒙体的钳广义谦内能效，如芹热力洲学中换的内楚能，淋电磁句能等筑，z为向石上度客量的芬铅垂看高度届，其愉它符纯号意寸义同声前。矮将能忘量守赴恒定霜律应允用于俗控制假体可才知：卸单位溉时间赚内流牧入控敲制体刊的能长量，宪外部倡传入啊的热页量以淘及外巧力所朝作的扶功的榨总和妨等于纠单位城时间且内控误制体冬内能饿量的栗增加血。其睁数学宽表达姜式为（6.胶8）式甩称为铺积分需形式诉的能掩量方谦程。（6秒.8）第六印章流体娘动力妨学积晃分形狸式基惯本方帮程退送出返深回第2页第四晴节栋能胶量方乞程二、维能量珍方程冻的简筐化对于滤定常露（）、腹绝热田（）、绸质量贪力有朽势（理想豪流体块（）的剃流动粱，（6.监8）式均简化撒为）、但而由连众续性剪方程仁，定喂常流号动时，因急而。于悬是有（6.夕9）（广诸义高扯斯定界理）第六车章流体悬动力受学积歌分形亚式基苗本方著程退伶出返惰回第3页第四批节柜能营量方殖程（6梦.9）式径是定裁常绝兔热理氧想流按体质劲量力新有势兆时的偿能量剂方程模。式弟中萝可奸视为玩单位娇质量意流体型的总头能量味，它龟是内毕能e、动能株、疯压力往势能南和质呜量力秩势U的总及和。灰（6.目9）式舟的物奇理意念义是邮单位拢时间畜流进攀和流章出控枕制面劣的总级能量泻的代箩数和奖为零暗。重券力场坟中租称胖为单县位质铺量的永位能券。对于尺细小谱流管尊，其胀截面何上参枕数可授认为悼是均守匀的迈，于腊是由偷（6.炸9）式希可得址到（6.悬10）式班可理见解为泪定常骄绝热皮理想阅流体痒质量菜力有放势条峰件下攻，沿冷流线竞单位肉质量泄流体逆的总柜能量茅保持穗不变液。这悼就是丙伯努立利方很程。（6滚.1橡0）对于菌质量摇力为宣重力凡、理冬想不鞠可压巷缩流乔体非舒绝热秆定常拣流动核，若亮满足则控病制体夜内流腹体内搏能的拴增量担将由扬辐射聚热提仓供，斑于是务有，即（6.黄11）第六货章流体疾动力赢学积社分形读式基榜本方镜程退千出返防回第4页第四量节吸能呜量方歪程据系恐统导池数公燃式（蝴输运故公式斗），羡有稳定雀流动刃时由翠式（6.料11）、纽奉（6.浴12）可坑得即由残热辐献射引擦起的叫控制死体内种流体位内能妹的增望量等聋于通岂过控执制面怜的流皆体所置具有予的内元能之敢和。丝式将式旷（6.猎13）代织入式筹（6.炕8），皱有（6.旋14）（6撞.1夜2）（6葵.1秧3）对于骡微小球流管滴及其班任意宣两个召流通判截面稼构成屡的控胜制体植，上邀式为这就神是常战用的充重力芬场中承理想迟不可编压缩丽流体累的伯多努利狼方程盖式。（6五.1头5）第六驾章流体减动力冈学积肿分形呈式基仔本方语程退熄出返祖回第5页第四揪节习能垂量方革程图6.5充气中的容器piTip0，T0，V例题6.同4如图6.淋5所示错一容麻器体将积为V，通过致管道葵充气防，容益器入瓶口处木的压乳力为，温甜度为，质汪量流樱量为，容缩慧器内韵初始渣状态栽为、绝热谣，不循计重痒力及挂进口惧动能支，求检容器狡内温见度的韵变化糊规律狸。解：取容股器内柿气体腿为控辈制体口。由连浆续性浓方程，即上式侨积分虑得到t时刻想容器庆内流路体的蚕质量锋为：由理拉想气递体状善态方授程得到第六青章流体豆动力决学积宽分形少式基秒本方廊程退钻出返孝