第章机器人逆运动学

逆运动学:已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿态，计算一系列满足期望要求的关节角

为求出要求的关节角以放置相对于工作台坐标系{S}的工具坐标系{T}，可将这个问题分为两部分:首先，进行坐标变换求出相对于基坐标系{B}的腕部坐标系{W}.应用逆运动学求关节角.

第四章:操作臂逆运动学

4.1概述

求解运动方程时，可以从开始求解。根据式：两边同时乘，有：由此求解；再两边同时乘，有：由此求解。依次类推，便可以求解各个关节角度，但通常不需要全部递推过程便可利用等式两边对应项求解。第四章:操作臂逆运动学

4.1概述1.解的存在性解是否存在的问题完全取决于操作臂的工作空间.灵巧工作空间:机器人的末端执行器能够从各个方向到达的空间区域.可达工作区间:机器人至少从一个方向上有一个方位可以达到的空间.第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

例:考虑一个两连杆操作臂.如果,则可达工作空间是半径为的圆，而灵巧工作空间仅是单独的一点，即原点。如果，则不存在灵巧工作空间，而可达工作空间为一外径为，内径为的圆环。在可达工作空间内部，末端执行器有两种可能的方位，在工作空间的边界上只能一种可能的方位。第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿.---操作臂的工作空间是一个子空间.---更简单的操作臂的工作空间是这个子空间的子集.

对于少于6个自由度的操作臂来说，给定一个确定的一般目标坐标系，什么是最近的可达目标坐标系？一般来说，工具坐标系的变换与操作臂的正逆运动学无关，所以一般常去研究腕部坐标系{W}的工作空间。对于一个给定的末端执行器，定义工具坐标系{T}，给定目标坐标系{G}，去计算相应的腕部坐标系{W}。第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性例:试着描述三连杆操作臂的子空间.利用连杆参数求得操作臂的运动学方程为:

这里和是满足约束的任意变量,因此，子空间就建立了.连杆长度和关节的限位决定了操作臂的工作空间.第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

例:试描述下图两自由度操作臂的子空间.已知:

这里可以取任意值.它的方位是确定的，因为的方向取决于它的姿态受限，总是向下，而的方向是叉乘求得。第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

2.多重解一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作空间内的任何位置，因此在平面中有较大的灵巧工作空间（给定适当的连杆长度和大的关节运动范围）.系统最终只能选择一个解，比较合理的选择应当是取“最短行程”解.

第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

最短行程的确定：计算最短行程需要加权，使得选择侧重于移动小连杆而不是移动大连杆.在存在障碍的情况下，最短行程发生干涉，这时选择较长行程。

第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

解的个数取决于操作臂的关节数量，它也是连杆参数和关节运动范围的函数.例子:PUMA到达一个确定目标有8个不同的解.图中给出了其中的4个解.它们对于末端手部运动来说具有相同的位姿。对于图中所示的每一个解存在另外一种解，其中最后三个关节变为另外一种位形：

由于关节运动的限制，这8个解中的某些解是不能实现的.第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

通常，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式也越多.以一个具有6个旋转关节的操作臂为例，解的最大数目与等于零的连杆长度参数的数目相关。非零参数越多，解的最大数目就越大.第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

3.解法与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解方法，我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封闭解:封闭解是指基于解析形式的算法，或者指对于不高于四次的多项式不用迭代便可完全求解。可将封闭解的求解方法分为两类：代数解法和几何解法.数值解法:数值解具有迭代性质，所以比封闭解法的求解速度慢得多。通常，数值解的计算也依赖于解的解析形式，一般不用数值解来求解运动学问题，对运动方程的数值迭代本身已形成一个完整的研究领域.第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

关于运动学逆解的几个结论:

所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度操作臂都是可解的，但这种解一般是数值解.对于6自由度操作臂来说，只有在特殊情况下才有解析解。这种存在解析解（封闭解）的操作臂具有如下特性：存在几个正交关节轴或者有多个为0或.具有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件（sufficientcondition）是相邻的三个关节轴线相交于一点.第四章:操作臂逆运动学

4.2可解性

为了介绍运动学方程的求解方法，这里用两种不同方法对一个简单的平面三连杆操作臂进行求解.

第四章:操作臂逆运动学

4.3代数解法和几何解法

1.代数解法

该操作臂的运动方程为:

第四章:操作臂逆运动学

4.3代数解法和几何解法研究厕的是毕平面锐操作艘臂,通过屿确定争三个冠量匙就哄可以衬容易庆确定谢目标垂点的艘位置:恢.所有哲可达书目标珍点均遮位于截上式牺描述纳的子筹空间定内.第四注章:操作格臂逆闭运动俩学4.顺3代数荒解法秆和几扣何解屈法得到尝四个偶非线倘性方娃程:上式舱有解趟的条由件是孙的值睛必须度在-1和+1之间没。在驶这个柳解法熄中，姑可用倦这个造约束那来检证查解熟是否妖存在邪。如中果约缝束条益件不逐满足,则操梳作臂莲离目慎标点饿太远.第四距章:操作碗臂逆恶运动快学4.枯3代数论解法伪和几约何解鸣法假设辫目标选点在握工作落空间瓶内，弱则:上式旷是多皆解的店，可扬以选唤择正瞧或者去负.第四倾章:操作忧臂逆斩运动衔学4.杨3代数伤解法来和几筐何解兄法为便疯于计歌算引入宪新的暂变量:式中:为了窗求解符这种锁形式质的方痒程，蝇进行吉变量泳代换:令那么于是豪有第四柴章:操作乒臂逆辆运动饰学4.阶3代数滚解法亡和几泥何解吐法得到最后旬，我悠们解滔出:总之敞，用谁代数辟解法绞求解死运动侧学方炒程是瓶求解兆操作余臂的移基本杨方法菌之一刺，在绳求解伪方程排时，誉解的货形式足已经甘确定抹。可路以看叶出，炮对于颜许多滚常见恋的几竞何问坚题，怀经常运会出厚现几焰种形科式的寺超越兰方程冒。注：卫超越苦方程迎：等挠号两萌边至恰少有午一个轿含有朴未知彩数的绒初等枯超越缝函数拆式的久方程拖。如灰指数华方程斩、对奔数方见程、抓三角笋方程等、反猪三角慰方程章等。逼具有断未知瓦量的解对数凡函数斥、指测数函羡数、武三角逼函数超、反旺三角馋函数沫等的跨方程而。超某越方标程一隔般没快有解怖析解劈燕，而寨只有婶数值弊解或屿近似析解，快只有跑特殊铲的超咸越方患程才您可以蜓求出吩解析肆解来印。第四穿章:操作垦臂逆衔运动薄学4.叹3代数烧解法细和几狂何解灭法2.几何宅解法为求星出操渣作臂纺的解角，将惯操作塔臂的狸空间婶几何责参数划分解块成为乞平面易几何江参数孩，然羡后应窗用平那面几宜何方撇法求判出关有节角叛度。盼对于肉例子只中的3自由鹊度操鹅作臂伙，有傍于操猜作臂外是平铲面的拦，因膨此利汽用平吗面几蕉何关云系直户接求律解。We饼h假av抚e:第四换章:操作辰臂逆咏运动纺学4.还3代数蜡解法巩和几蛇何解口法为了郑使该翠三角酷形成弱立，宫到目等标点疼的距究离必须灰满足常小于来等于夸两个表连杆差长度齐之和,第四胀章:操作理臂逆技运动摩学4.丛3代数蚕解法魔和几樱何解驾法应用恒反正源切公厕式:应用涝余弦加定理:He田re叮,趋th锹e酱ar献cc侵os刑in绘e中mu驻st魄b菠e盈so银lv暂ed宁s抛o琴th骄at莫,氧i背n扛or萌de庙r献th早at厦t凡he线g猎eo晒me翅tr秧y丙wh届ic模h懒le积ad或t航o咱th造e星eq但ua艳ti府on障w泽il偿l寄be洗p漆re挎se眨rv秧ed烛.Th毙en叙w惯e恼ha旱ve烫:平面叶内的挥角度太是可琴以相窝加的虹，因蛮此三吊个连殿杆的存角度尿之和译即为姿最后刚一个倘连杆俘的姿提态:Th斜is旬e驳qu耽at浇io均n瓶is顿s倡ol券ve蛮d采fo册r饺t俯o灰co总mp订le绍te休o何ur减s塔ol佩ut移io住n.第四究章:操作厨臂逆垮运动黎学4.另3代数逆解法伪和几拴何解蛾法3.通过暗化简矿为多渴项式北的代磨数解红法万能反公式:第四服章:操作侮臂逆长运动赴学4.订3代数孕解法纤和几坝何解方法例子:求解翁超越益方程挤的.利用:得到:取u的幂咽函数蛾形式:得到:如果,那么.第四弦章:操作摊臂逆状运动傲学4.店3代数刻解法呢和几叨何解倘法尽管忧一般器具有6自由思度的古操作连臂没惠有封值闭解谁，但尾在某粗些特鱼殊情纷况下若还是灵可解炸的.P蓄EI虫PE惹R研究校了3个相括邻的乎轴相国交于继一点兴的6自由炭度操骆作臂遗。PE诱IP瓣ER的方活法主希要针甘对6各关灾节均匙为旋絮转关妄节的破操作蔽臂，如且后沸面3个轴址相交虾。该罚成果挺广泛唤应用棋于产煤品化南的机叶器人女中。第四营章:操作渡臂逆拉运动取学4.基4三轴翠相交暮的PI译EP我ER解法当最工后3根轴榴相交掠时，摔连杆摊坐标央系{4测}、{5为}、{6姨}的原播点均吐位于跌这个数交点堆上，糠这点战的基同坐标便如下厘：第四盼章:操作掩臂逆趣运动糠学4.皱4三轴族相交骡的PI风EP蹄ER解法第四袋章:操作陶臂逆刑运动勺学4.置4三轴点相交爱的PI泥EP共ER解法利用,得到:第四陆章:操作砖臂逆舱运动蝇学4.扯4三轴搅相交焰的PI腐EP慕ER解法We膏n驶ow某w讯ri险te碎a危n榨ex润pr燥es宁si滔on强f哀or记t衣he蔑s叙qu壁ar必ed岂m标ag观ni遍tu馋de从o师f填,躁wh很ic伤h逐we瓶w周il澡l跪de德no惠te伟a愤s初:We酱n殖ow咬w获ri匆te抹t敏hi稀s扰eq厌ua餐ti舌on旺,兆al信on炕g盛wi辈th枯t复he道Z饭-c姨om耍po屯ne株nt鼓e舰qu辅at止io滑n,笔a顷s金a客sy翼st倍em挤o练f岂tw漂o污eq支ua起ti乡丰on叔s补in农t万he呀f泼or汗m:wh碗er扭e:第四划章:操作牙臂逆犬运动梢学4.感4三轴挑相交潜的PI他EP傅ER解法Eq某ua棕ti笨on兵*株i稻s时us译ef政ul守b云ec屠au奸se税d著ep逗en怨de做nc种e列on牵ha胶s眯be锡en宏e搞li耍mi捉na讲te果d显an遵d飘be弦ca和us仔e补de译pe耗nd快en辟ce贝o纯n浓t环ak底es誓a余s首im槽pl胁e狱fo催rm捆.No港w键co拣ns泥id臂er俊t立he转s纷ol陈ut铸io依n矛of恶f辈or罢:1.回I晋f周,议t湖he选n脊,息wh佛er境e质r拾is干k序no区wn成.扭i指s斯a敢fu侵nc泰ti扛on掉o庄f朗on浊ly时.香Af卡te哲r礼th搜e揪su榴bs辆ti惹tu昨ti处on嫂,汤a袍qu斯ad帖ra镜ti馋c饲eq汪ua稳ti胶on谎i界n馆m剃ay馋b桃e厘so悬lv鲜ed伞f墨or底.2.干I那f必,拉t银he翅n驴we毅h振av闲e橡,津wh洽er布e稼z巨is亦k蛇no希wn袋.朝Ag毯ai彩n,嗓a腿ft饼er鞠s帽ub崭st提it决ut菊in殊g,慰a魔q服ua雄dr胁at乖ic捧e盈qu迎at坡io因n直ar种is除es抄t助ha周t鹊ca术n止be哪s醉ol讲ve背d芳fo织r如.3.边O卸th踩er派wi畏se缓,器el胶im腿in负at慨e斧an走d确,赶t汁he瓦e锦qu锹at裹io助n闪re另su脊lt为s显in笛a挠n愚eq弓ua映ti歼on盈o端f远de踪蝶gr梁ee果4约,妄wh你ic买h为ca颈n欠be特s肿ol爪ve邀d自fo倍r悲.第四午章:操作舞臂逆赌运动界学4.坏4三轴项相交村的PI菜EP介ER解法Ha巷vi立ng颈s杂ol舌ve恶d杠fo摩r军,奶w沉e导ca产n抛so艘lv乳e品eq页ua裂ti习on武*膊f眯or扩an幅d至**宽f它or威.To劣c炭om贤pl棕et岭e芳ou刊r虽so轻lu腹ti坟on俗,朽we寨n卡ee球d路to墨s缠ol赔ve逆f读or峰.恐Th猫es俘e饱ax餐es庸i亚nt妙er福se动ct绩,热so内t爪he骗se与j惠oi勤nt瓶a片ng聪le贺saf堤fa溪ctth哲e躺or来ie齐nt青at影io肆n把of窑o细nl亦y开th朗e抛la级st胃l略in阀k.拾W余e锯ca乖n杜co筐mp杂ut庄e辩th蜘em良f葛ro满m连no晃th蔑in蔬g旨mo睡re姑t扁ha熟n男th馒e蚀ro购ta躺ti膊on它p掉or俩ti签on活o买f大th撑e徐sp麦ec减if陕ie巾d夹go镜al箩,鲜.第四银章:操作海臂逆枣运动纹学4.睬4三轴见相交渣的PI罗EP瓣ER解法得到仪之后,我们蚀还需汪要求东，可由于准这些披轴相爽交，正所以绩这些搏关节谣角只妄影响孤最后榆连杆非的方串位，逆我们遗只需吩计算仓指定觉目标锄的方垫向:求出捐后，排当夏时，关可以欢由连谋杆坐嫂标系{4完}相对宿于基猎坐标信的方妙位计冲算出列。候坐标吴系{6狼}的期化望方杜位与饰连杆捏坐标忽系{4确}的方锅位差秋别仅戒在于轨最后痛三个老关节坦的作犹用。对于士大多娇数操兽作臂妻来说温，完刷全可煤以将贩之前针介绍话的Z-计Y-使Z欧拉岩角解虫法应剖用于.第四盗章:操作让臂逆盲运动侨学4.胳4三轴艳相交贫的PI根EP踩ER解法Ex金am泽pl疗e:Z-欠Y-羊Z欧拉惠角的奋求法描述精一个骆坐标罪系{B距}嫂:与参蚕考坐氧标系{A密}重合统，首堂先绕顽旋转墙然后保绕旋转伞，最梅后绕递旋转.第四疏章:操作宜臂逆脆运动损学4.限4三轴廊相交配的PI上EP侍ER解法解:如果斧或,解就谢简化术为:第四散章:操作从臂逆示运动兽学4.谢4三轴秤相交虾的PI肚EP融ER解法例子球：pu藏ma蛙56储0机器眼人逆姜解:将含齐有辽的纤部分竟移到倒方程撞的左别边第四岁章:操作秘臂逆动运动储学4.延4三轴阴相交臣的PI邀EP植ER解法转置:令元刃素(2汪,4掠)相等重，得毙到:进行馋三角桂恒等但变换:其中第四摊章:操作默臂逆惠运动狮学4.愤4三轴近相交河的PI酒EP拐ER解法We刃o要bt技ai钩nIf巴e皮qu粗at竿e国bo唉th恭t郊he治(纳1,萍4)肉a来nd叮(错3,色4)梁e改le胀me捆nt起s:We虑c阴an竖o朋bt渡ai虚n第四病章:操作歇臂逆嘱运动光学4.统4三轴看相交等的PI盾EP郑ER解法So厅lv鸽ed江b则y魂th码e巨sa露me胃k翼in泉d妄of阅t受ri委go框no岂me份tr晨ic押s扇ub兰st益it喂ut再io膜n:Re当wr甘it悟e窝ag具ai盛n锡(l川ef央t-着ha趁nd乘s互id睛e龄is乖a爆f邻un蔬ct萝io浸n层of钟o扛nl馒ykn裙ow恶nsan辛d油)壁:第四废章:操作养臂逆息运动轻学4.丹4三轴朗相交婆的PI泛EP杂ER解法Eq停ua扁ti南ng兵b锣ot卸h泊th毛e慨(1泳,4计)胜an缺d摆(2隶,4彩)讯el筹em挺en接ts锤:We阁c滚an促g终etWe泄c殖an久s讯ol唉ve第四布章:操作嘴臂逆汤运动鞠学4.宋4三轴凉相交妄的PI范EP掘ER解法Eq挤ua弟ti封ng可b喊ot佣h苹th抱e傻(1镜,3倍)君an叉d杠(3窑,3碧)距el贯em短en苦ts速:As鸭l隆on蔬g跳as矮,冤we狂c默an感s辫ol奶ve耍f动or貌as择:Wh倍en革,咸t讽he忌m香an端ip溜ul寻at偶or轨i旦s化in进a粱s顷in报gu坚la花r著co奋nf冰ig朱ur协at后io混n艳in爽w摩hi咬ch辉j歇oi仿nt脂a遍xe粒s稍4米an抢d杏6别li症ne尾u刻p距an臭d欢ca事us蒙e黑th扭e补sa久me迟m尸ot垫io诉n苹of太t盈he管l辰as竭t患li舞nk位.蔑In泽t败hi仿s染ca片se元,攀al项l野th跨at寄m居at窃te窃rs报(愤an华d伶al俭l赖th蒸at透c放an挣b咱e伍so宵lv阻ed弓f虚or翅)显is拼t眼he裂s赞um爽o龟r羊di角ff子er蒙en纯ce捞o窃f叠an炭d门.匙T放hi搂s草si姐tu郊at忆io晶n膝is第d火et锤ec帖te勒d承by大c沟he辛ck镜in滋g惯wh串et迈he腰r归bo苍th嫂a干rg劲um羡en溜ts捆o陶f兼