2021届湖南省长沙市某中学高三上学期月考(一)数学试题(解析版)

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合，.则（）A． B． C． D．答案：C解：根据对数函数的定义域化简，再利用交集的运算求解即可.解：由题意得，，因为，所以，故选：C.点评：本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题.2．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D解：化简复数，进而可得出复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.解：，则，复数在复平面内对应的点是，在第四象限，故选：D.点评：本题考查复数对应的点所在象限的确定，考查了复数的除法法则以及共轭复数的应用，属于基础题.3．已知且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．答案：C解：∵且，∴．∴．选C．4．在中，，，则（）A． B．C． D．答案：A解：直接利用平面向量线性运算法则求解即可,解：，故选：A.点评：本题主要考查平面向量线性运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5．设函数，则“函数在上存在零点”是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B解：由函数基本初等函数的单调判断函数的单调性，由函数在上存在零点，则，，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；解：解：函数在区间上单调递增，由函数在上存在零点，则，，解得，故“函数在上存在零点”是“”的必要不分条件.故选：B.点评：本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.6．已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（）A． B． C． D．答案：D解：设，分别表示出，构造函数，利用函数图象比较大小.解：设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，如图，当时，；当时，；当时，.故选:D.点评：本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键.7．已知，则函数的最小值为（）A．-5 B．-3 C． D．-1答案：A解：由可求出值，再将化为关于的二次函数，即可根据二次函数的性质求出最小值.解：由，有，解得，故，故当时，取最小值.故选：A.点评：本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.8．设函数，若存在区间，使在，上的值域为，，则的取值范围是A． B． C． D．答案：C解：判断的单调性得出在，上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出的范围．解：解：，，当时，，在，上单调递增，，在，上单调递增，，，，在，上单调递增，在，上的值域为，，，方程在，上有两解，．作出与直线的函数图象，则两图象有两交点．若直线过点，，则，若直线与的图象相切，设切点为，，则，解得．，故选：．点评：本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．二、多选题9．下列命题中正确的是（）A．， B．，C．， D．，答案：BD解：利用指数函数的单调性可判断A选项的正误；利用换底公式可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用对数函数和指数函数的单调性可判断D选项的正误.解：对于A，当时，，恒成立，A错误；对于B，，当时，，，，B正确；对于C，当时，，，则，C错误；对于D，由对数函数与指数函数的单调性可知，当时，恒成立，D正确.故选：BD.点评：本题考查全称命题和特称命题正误的判断，考查了指数和对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.10．已知数列前项和为.且，（为非零常数）测下列结论中正确的是（）A．数列为等比数列 B．时，C．当时， D．答案：AC解：由和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B错误；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．解：由，得.时，，相减可得，又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；由A可得时，，故B错误；由A可得等价为，可得，故C正确；，，则，即D不正确；故选：AC.点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知函数满足：对于定义域中任意，在定义城中总存在，使得成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（）A． B． C． D．答案：ACD解：由题意转化条件为函数的值域关于原点对称，逐项判断即可得解.解：由题意可得函数的值域关于原点对称，对于A，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于B，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；对于C，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于D，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；故选：ACD.点评：本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.12．下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（）A．函数的图象关于顶点对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．方程在区间上的所有实根之和为答案：ABD解：根据函数图象求出的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误.解：由已知，，，因此，∴，所以，过点，因此，，又，所以，∴，对A，图象关于原点对称，故A正确；对B，当时，，故B正确；对C，由，有，故C不正确；对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.故选：ABD.点评：本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.三、填空题13．已知向量、满足，，若，则向量与的夹角为______.答案：解：设向量与的夹角为，由已知条件得出，可求得的取值范围，结合角的取值范围可得出的值.解：，，可得，则，又，故.故答案为：.点评：本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，同时也考查了平面向量垂直的数量积表示，考查计算能力，属于基础题.14．若，则的最小值是___________.答案：解：根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简，结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可．解：解：，，得，得，即，则，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，故答案为：.点评：本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合1的代换是解决本题的关键．15．《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积为___________.答案：解：由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰长为，利用正弦定理可求出的值，再利用三角形的面积公式求解即可.解：由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰长为，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面积，则每块八卦田的面积为.故答案为：.点评：本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题.16．已知数列满足，则前48项之和为___________.答案：1176解：先写出前几项与的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值，代入求解前48项之和即可.解：由，则，，，，，，，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因，，而，，所以数列前48项之和为.故答案为：1176.点评：本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.四、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①；②的面积为；③.在中，角，，所对的边分别为，，.在已知，为钝角，.（1）求边的长；（2）求的值.答案：选择条件见解析；（1）；（2）.解：（1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求，进而可求，，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出，，然后结合余弦定理可求；方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求，进而可求，，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解．解：方案一：选择条件①（1）由，解得，为钝角，，，则，故；（2），∴，∴，，∴；方案二：选择条件②（1），，∴，由，解得，则，故；（2），∴，∴，，∴；方案三：选择条件③：（1）为钝角，，，，，由，解得，，则，故；（2），∴，∴，，∴.点评：本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18．已知是偶函数.（1）求实数的值；（2）解不等式；（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）或；（3）.解：（1）利用偶函数的定义求解；（2）先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式；（3）先写出函数，然后将转化为，即恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.解：（1）因为是偶函数，则对任意实数恒成立，即，对任意实数恒成立，则；（2），，当时，，在上是增函数，又因为是偶函数，∴，两边平方可得，解得或；故不等式的解集为或；（3），问题即为恒成立，显然，首先对任意成立，即，因为，则，所以，其次，，即为，即成立，亦即成立，因为，所以对于任意成立，即所以，综上，实数的取值范围为.点评：本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力.19．已知正项等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和为.，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和的取值范围.答案：（1），；（2）.解：（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求得，即可求得数列的通项公式，再由得，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）可得，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得，得到，再结合数列的单调性，即可求解.解：（1）设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，所以，即，解得或，由已知，所以，所以数列的通项公式为，由得，，可得，数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，因为，所以，又数列单调递增，则，则的取值范围是.点评：本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列剩余的项数导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.20．已知函数为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.答案：（1）单调递减区间为；（2）.解：（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据条件，可求出周期和，结合奇函数性质，求出，再用整体代入法求出内的递减区间；（2）利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出时的值域.解：（1），因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数为，时，，单调递减，需满足，，所以函数的单调递减区间为；（2）由题意可得：，∵，∴，∴，，即函数的值域为.点评：本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.21．节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数．（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取答案：（1）；（2）6次.解：（1）由题意得，，所以当时，，解得，所以，（2）由题意可得，，即，解不等式，即可解，所以至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．解：解：（1）由题意得，，所以当时，，即，解得，所以，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为；（2）由题意可得，，整理得，，即，两边同时取常用对数，得，整理得，将代入，得，又因为，所以，综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．点评：本题主要考查了函数的实际运用，属于中档题．22．已知点，，为坐标原点，设函数.（1）当时，判断函数在上的单调性；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）函数在上单调递减；（2）.解：（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得