2019年高考数学一轮复习等差数列

*2111mn2019年高考数学一轮复习：等差数列*2111mn等差数列____________＝＋aqmnN)但要注意：m在等差数列a＝kn＋中若＝p，易证得＝n等数列的定义一般地，如果一个数列从第项，每一项与它的前一项的____________于同一个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的通用字母表示，即____________d(nN，n或___________(nN．

＋a成的充要条件是b＝0故对一般等差数列而p言，若m＋q则a＝＋a并一定成立．mp若{}{}为等差数列，且公差分别为，nn则列{pa}＋}±b}_2nnnn数列，且公差分别为____________，，____________.在差数列中，按序等距离取出若干项也构成．差中项三个数a，，成等差数列，这时叫与b

一个等差数列，即，，anm2m公差为.

，…为等差数列，的_．．差数列的通项公式若{}是等差数列，则其式a＝nn____________.①{}成等差数列a＝＋，其中p＝nn____________，＝，(n，)是直线n____________一群孤立的点．②单调性＞0时{}____________数列n＜时{}___________数列；＝时{}n____________．差数列的前和公式等数列前n项和公式＝____________n其推导方法是．

等差数列的前项和为S，，S－nn3n－，为等差数列公差为n2若等差数列的项数为2n，则有SaS－＝，＝.San1自自．常数公差a－aa－n1n．差中项．a＋(－①a－dy＝＋(a－)11②单调递增单递减常数列n＋）（n－1．＋2a}等数列，求的值：n____________，若a＞d＜，且满足____________S最；n____________，若a＜d＞，且满足____________S最；n

时，时，

倒序相加法≥0≤≤0≥．m)(2)n等差±1或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．．差数列的性质－a(1)a－＝____________，即＝.mn－n

(2016·全卷)知等差数{}9项和n为，＝8则a＝()10100AB．98．在差数列中，若pm则有a＋pq＝a＋；若2m＝p＋q，则有m

解：由题意得

9a＋×＝，1＋9d，1

解得

1001于是，22222222n1n**nnnn1001于是，22222222n1n**nnnn所a＝＋99d＝故.在等差数列{}，a＋a＝27a，表示n96数列{}前和，则S＝)nA18B．99C．198D解：因为a＋＝27－aa＝＋a，以33963＝27，以a＝，所以＝(a＋a)＝a＝61111故选在等差数列{a}＝，S＝，则数列n10{}前n项和S的大值()nAB．SC．或SD．15161617解：因为＝，＝，110××19所以10＋＝20a＋d，得d－121，（－1）所以＝29n＋×－2)＝－n＋n2＝－(n－＋所以当＝15时取最大值．故选An(2015·广东)在等差数{}，若a＋a＋n345＋a＋＝，则a＋a＝________.672解因为{}等数列，所以a＋＝a＋＝n34＋a＝aa＋a＋a＋＋＝＝25得＝，28455＋a＝a＝故填.28(2016·江苏)已知{}等数列，是前nn项和若a＋a＝3＝10a的是．19解公差为由题意可得a＋a＋)＝－3，11a＋d解得＝－4d则a＝－＋8×3119＝20.故填20.

所以{}首为1，公差为2的等差数列．n由(1)得＝＋2(－＝－，n即－＝－1.n（-2k-1）+1所以a－a＝，＝n＋11又a＝1所{}通项公式为＝n－＋1nn【点拨】aa11aannaq(pq)nnSBn(ABn已知数列}中，＝，＝2－a1≥2∈N，设b＝(nN)．na－n求证：数列{b}等数列；n求{}通项公式．n1解证明因为＝2－所以a＝－.nann1所以－＝－＝－n1na－－1－－n－＝＝，－1－n所以{}首为＝＝1公差为等差n12－数列．类一

等数的定证

由(1)得＝即＝n所{}通项公na－n式为a＝1nn类二等数基量计数列{}足a＝，＝2＝an122－a＋n(1)设＝－a，明{}等数列；nn(2)求{}通项公式．n解：(1)明：由＝a－＋得nn1n－a＝－a＋n1n即＝＋2.n又＝－＝121

在等差数列{}，n已知a＝33，a＝，求a；15n已知a＝10，S＝，求S；6已知前和为，积为，且＞0，求a1解：(1)法一：设首项为a，差为d，依条件1得

n4515652122nnnn2nnnnnnn14d，n4515652122nnnn2nnnnnnn解＋，所以＝－23(－×44－27.n－a－－33解法二＝d＝＝－－1530，由＝＋－，得＝n－27.n1510(2)因为a＝10，＝，所＝解得＝－5，＝1（－1）313所以＝－5＋·＝－n2(3)设数列的前三项分别为－，a，a＋，依22题意有：＋a2（＋d，·（a2）＝48即d），解得因为＞，所以＝2，所以a＝－＝1【点拨】dna1Snn()等差数列{}前n项记为已知nn10＝30a＝50.20(1)求通项公式；n(2)若＝242求nn解由a＝a＋－d＝＝，n20，方程组＝50.解得＝12＝所以＝2＋10.1n（－1）(2)由＝＋，＝，n2n（－1）得方程12n＋×＝解得＝或n－22(舍去)．

则n________；a＋＝________.9解：由题意知a＋＋…＋＝36①1＋＋a＋…＋a＝180②nn2n5①＋②(＋)＋(＋a)＋…＋(a＋＝＋)126n＝，（＋）所以＋＝，又S＝＝，1所以18＝，所以n＝因为＋＝，n＝18所以a＋a＝，118从而＋＝＋＝36.填183691018设等差数列{a}前项为S，＝，nn6＝，则＋＋＝________.79解：{}等数列，得，－－为n3639等差数列．即S－)＝S＋－)，得到－＝63696－S＝45.故填6已知两个等差数{}{}前项分别nnAna为A和B，且＝，则使得为数的正整数nBn＋的个数是()A2B3C．D．5Ana14n＋解：由＝得：＝＝＝Bnb2n2nn＋1912使为数需＝＋为数，＋b＋n所以＝1，3，，，共有．选D【点拨】(1)“m()”“mna1pa”(2)qmnSS…(3)232nSn1)a2nnn(1)若一个项数为差数列的前3的类三

等数的质

和为，最后项和为，所有项的和为390则n设等差数列{}前n项为S，已知nn前项和为36最后的和为180＝n＞6)，n

已知等差数{}前n项和为S＝10，nS＝30则S＝2030

n5n51n11*19195959228*nn21n1n8*2*(3)若两个等差数列{}{}前n项分别为n5n51n11*19195959228*nn21n1n8*2*nnS7S和T，已知＝，则等于()nnTnb21A7B.8334，解：(1)题1n146，两式相加得(＋)(a＋a)(＋)＝1nn32因为＋＝＋＝＋a，以＋a＝1n213n1n

大值．解法三：解法二得d－a＜1设此数列的前n项最，则a＋n－1a即1－a1≤，解得即8≤≤960.

（＋）因为＝＝390所以n13.故填13n

又∈N，以当＝8或9时，有大值．n解法四：解法二得d－a＜，1(2)因为S，－，－成差数列，所以101030S－)＝＋S－)，所以40＋－，20101020所以S＝60.填60.30＋ab＋(3)因为a＝，＝，52＋a（a＋a）19721所以＝＝＝＝＝.故b＋（b＋b）T941919选D

又S＝得＋＋＋＋＋＋＝，571112所以7＝，所以＝99所以当＝8或9时，S有大．n【点拨】n(2)(3)Bn(A)nn类四

等数的值题等差数列{}首＞其n项和n为，S＝，当n何值时，有大值？n解法一题知＜0为＝n＋a－，n设fx)x＋a－x，如图，＋1217由＝知，抛物线的对称轴为＝＝，5122由图可知，当1≤n时单递增；当nn时，单调递减，且＝n89又∈N所以当n或时，有大值．n解法二：等差数{}公为，由＝n得a＋＝a＋，d＝－a＜0.11（－1）（n－11S＝na＋＝na＋·－n1172289＝－n－17n)－－＋，116164因为＞∈N，以当nS有1n

(2015·杭质量检测设为差数列n{}前n项和(n＋＜nS(nN)若＜，nn7则)A的大值是B．的小值是n8nC．的最大值是．S的小值是nnS解：由条件得＜，n1（a＋a）（＋1（＋）即＜，22＋1）化简得a＜a，以等差数列{}递增数nn列．又＜－，所以a＞，＜，所以数{}7n7项均为负数，第为正数，所以的小值为.n故选D.．差数列中，已知元素a，，，d，1n中的任意三个，便可求出其余两个．除已知a，d1求a，可直接用公式，其他情况一般都要列方n程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．注

6nnm11＝，117＝1，－那么＝＋1n－－＋－＋那么＝2[1＋6nnm11＝，117＝1，－那么＝＋1n－－＋－＋那么＝2[1＋14621

B.3

D．其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常重要的基本思想．．等差数列{a}n项绝对值{a|}之，首nn先应分清这个数列哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求和．．差数列前和的最值通常是在正负项分界的位置产生，利用这一性质可求其最值；另一种方法是利用二次函数的性质．灵运用等差数列的性质(等差中项的性质)，可简化运算．．差数{}前项满足：等差数列且项{}首项相同公差为{}差的一n

解：设S＝，＝x，因为，－，－242SS成等差数列所以－＝5即＝所以＝46S49＝.故选A4．等差数{}前项为，＝－2，nnm1S＝，＝，则m()m1A3B．C．．6解：由S＝S＝，＝，得a＝m1mm－＝2＝－＝3所以等差数列的公差m111m为d－＝3＝1，m＝＋－1）d，由1S＝m（m1）＝0半．

得

＋m＝，1解－）＝，

故在等差数列{}＝2＝＝)n2310A12B．14C．16．－解：＝，a＝4知d＝2.2－2所以＝＋d2＋8×2＝故选D102

选C．位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2，则该数列的首项．解：设首项为，＋＝2×1011，解得11＝3.故填31．(2017·全卷Ⅱ等差数{}前项和为，n．为差数列前项，差＝－2n若＝，a＝()1011

n＝3，S＝，则3k＝

＝________.A18BC．．24解：由＝S，a＝0.又已知d－2则a101111＝a＋d＝＋×(－＝0，解得a＝20.故选B1如等差数列{}，＋＋a＝，么n45＋a＋…a＝)12A14B．21C．D35解＋＋＝得＝以a＋a＋354＋a＋a＝×＝7＝28.故选C72

解：设等差数列的首项为a，差为d1＝，所以43解得＋＝，（＋n所以＝，＝，nn＝，Sn（n＋）n111Sn＋1k＝1

](2017·全卷Ⅰ记为差数列{a}前项n和．若＋＝24S＝，{}公差为()45A1B．C．D8

＝

2n＝故填＋1n＋9已知公差大于零的等差数{}前n项为n（＋）解：＝＝48a＋a＝16a＋a＝6164＋a＝24，作差－＝＝2⇒d＝4.故选C188S．知等差数{}前n项和为，＝4n2S则＝()S4

S，满足a＝117，＋＝，求和Snn解：因数列{}等数列，所以＋a＝an3＋＝22.5又·＝117，所以a，a是程－x＋1173434＝两实根，又公差＞0所以a＜a，以＝，a＝1333

2n**118nnnnnnS6767nn9，2n**118nnnnnnS6767nn所以所，所以通项公式＝－n（－1）所以＝na＋·d2－.n2知列{a}足a＝1＝(n∈，n＋1n≥，数列{b}足系式＝n∈)．nan(1)求证：数列{}等数列；n(2)求数列{}通公式．n解：(1)明：因为＝，a＝，na2＋nn2a＋1所以＝＝＝，nana＋na＋1所以－＝－＝2.nnan又因为＝＝，1a1所以数列{}以为项为差的等差数列．n(2)由(知数列{}通项公式为＝1＋－nn×2n－1又b＝，nn所以＝＝.nb2－所以数列{}通公式为＝nn2－设S是列{}前n和且＝－，nn＝，＝________.n1n解：因为＝1，a＝S，以＝－，1nn1S－＝S所以－＝1以数nnS1n首项为－，公差为－的等差数列，所以＝，所以＝.故－Snn

（＋）解{}等数列＝n2＝9(a＋)＝故选.514．知{}等差数列，a＋＋＝，a＋n32＋a＝99则a等)4A－1．1C3D7解：式相减，可得3d＝，d＝2.由知可得3a＝，a＝35，所以a＝a＋17＝35＋33×－＝故选.．S为等差{}前项，若＝1，n1公差＝2－＝24则＝()kA8B．．6．解：由a＝1公差d得项＝－，又1S－＝a＋a，以2＋1k＋＝24得2k1k＝故选D.已知正项等差数列{}前项和为Snn＝，则·的大值()6A36BC．D．2解：在差数列{}，＝a＋a)＝，所n126＋以a＋＝又＞＞所a≤6767＝，即·的大值为4.故选C.6．(2016·青二模设数列{}前n项为，nS若为常数，则称数列{}“祥数列”．已知等S2n差数列{b}首项为1差不为数列{}“吉n祥数列”，则数{}通项公式()nAb＝－1B．＝－1nnC．＝＋1D＝＋1nnS解：设差数列{}公为d(≠0)，＝k，n2n因为b＝，则＋n(－＝12k

n×（－）d，(n－dk＋kn．差数{}前项为，a＝，n3＝12，则等于()6A8B．10．12D解设差数列{a}公为d由等差数列的前n×和公式，得＝3×＋d，解得＝，则3＝a＋(6－d＝＋5×2＝故61

－1)，整理得(k－1)dn－1)(2)＝因为对任意的正整数式均成立以k－1)＝，(2k－－d＝0解得d＝，k＝.以数列{}通项公式为＝nn故选B．等差数{}前项和为，a＋ann5＝10，则＝18A20B．60C．90

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7．列{}等数列，若＋＋，a＋5n构成公比为等比数列，则q

2241*22222解为列{a}等数列以＋1＋3，2241*22222n1＋5也等差数列．又＋，a＋，a＋构为公53比为q的比数列，所a＋1a＋3＋为数135列，故＝1.填.．等差数{}，＝3，11＝a－，n则数列{}前项和的小值为．nn解：设公差为，则－34＝5(－＋d)，所以＝，所数列{}递数列．令≤，所以3(－≤0所以n，n5

－8(10＋1)，即≥，故取值范围为{d≤－2