连续型随机变量及其概率密度函数

一.连续型随机变量的概率密度若对于随机变量X的分布函数,存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x

有:则称

X为连续型变量，f(x)为X的概率密度函数第四节连续型随机变量及其概率密度1.定义注:连续型随机变量与离散型随机变量的区别▲离散型：连续型：[证]:让“交”往方向“挤”证法1证法2当时，两边取极限：这个结论的意义:2.由此可知连续型随机量X在某区间上取值的概率只与区间长度有关,而与区间是闭,开,半开半闭无关,即有:(不可能的事件的概率为0),但概率为零的事不一定是不可能事件.▲1.从积分的几何意义上说，当底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零.2.概率密度函数的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件.

f(x)xo面积为1性质1性质2

几何意义:性质3

物理意义:性质4若在点处连续，则有：

故

X的密度f(x)

在x

这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度，故称f(x)为概率密度函数。不计高阶无穷小(相当于积分中值定理)注：这表示落在区间上的概率近似等于，称为概率微分。的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以的确描述了连续型随机变量的概率分布的情况。

但要注意的是：密度函数

f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.

但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

f(x)xo

在连续型随机型变量理论中所的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似证明：函数是一个连续型随机变量的概率密度函数.一般只需验证f(x)性质中的这两条即可.例1.证明：(1).显然,(2).某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:(2).这台计算机在毁坏前能运行50到150小时的概率.(3).运行时间少于100小时的概率.例2.求:(1).解:(1)(2)50到150小时少于100小时(3)(1)(2)一般称:则称X为服从参数的指数分布.(3)若X具有概率密度:f(x)确定了分布函数F(x)，f(x)是F(x)的导函数，

F(x)是f(x)的一个原函数定义:二.连续型随机变量的分布函数若定义在上的可积函数满足：则称为连续型随机变量的分布函数注:可以验证F(x)具备了分布函数的性质:F(x)是不减的函数；F(x)，F(x)是右连续的。设有函数F(x)F(x)能否成为某个连续随机变量的分布函数.函数F(x)在上下降，即不满足性质(1).或者:故:F(x)不能是某个连续随机变量的分布函数.例3问:即不满足性质(2).解：注意到:解：它是扣一个托变上桐限的桃广义形分(2)(1趟)黎X的分抵布函讲数例4.(1华)求:综合井上述释得:(2想).解:求:F(x)设连步续型策随机台变量X的密独度函徐数为f(x)例5.当时,当即得香所求滔的分祝布函首数为:当时,

设随机变量X的分布函数为求X取值舞在区会间(0亚.3骡,0堆.7械)的概杀率；(2根)求X的概狡率密隆度.(1遵)P(0条.3桑<X<0泉.7贩)=F(0畏.7垮)-缺-F(0丛.3侨)=0纽奉.72--勾0.凳32=丽0.斧4(2挠)f(圆x)纵=例6.解:注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.三.几种巨常见蹈的连泪续型肿随机乘变量贤的分株布若连肌续型辣随机御变量X具有箩概率串密度f抗(x疯)为：1.均匀禽分布则称X在区覆间(a尘,尤b)上服配从均匀净分布(或等直概率吗分布)注:▲

易证满足：0若抽取其概率的背景，f(x)是一种的函数的图形：▲X落在什区间(a卧,喉b)中任理意等金长度达的子湖区间备的可饭能性贯是相砍同的坦，即举它落担在子日区间汗的概否率只锦依赖毙于子活区间疮的长糠度而盾与子乒区间膊的位胸置无雁关.服从均匀分布的随机变量具有如下性质:▲[证]:即X落在(c侍,眯d扛)内的散概率爹只与(c允,宅d)的长奋度有宁关,而与(c伞,扮d吃)在(a君,b贿)中的己位置舍无关.均匀疫分布脖常见牛于下衬列情厘形：比如:在数与值计被算中欢，由砍于四俩舍五涉入,小数百点后庙某一即位小死数引纵入的介误差年；公箱交线言路上挡两辆羊公共辞汽车翠前后昂通过阻某汽炭车停帝车站销的时违间，鹊即乘证客的锁候车要时间蛇等.由分君布函誓数定义可得卵：若X服从筛均匀涌分布兴，则X的分袋布函漫数为:图形:▲某公铜共汽上车站满从上弊午7时起桶，每15分钟稍来一秤班车，想即7:南00，7:体15，7:板30离,刘7惜:4挥5等时芝刻有扛汽车到达写此站沃，如赌果乘缘瑞客到敞达此堂站时蜻间X是7:遭00到7:低30之间违的均匀随机胸变量(1拦)乘客吵候车最时间木少于5分钟定的概助率(2慌)乘客畅候车另时间廉超过10分钟面的概男率例7.试求边：解：X～U(总0,尘3坡0避)设以7:带00为起点0，以部分为农单位为使届候车嘴时间X少于5分钟诵，乘客也必须站在7:恰10到7:搅15之间森，或甜在7:奴25到7:抓30之间安到达摊车站.从上熟午7时起迹，每15分钟条来一储班车巡寿，即7:品00，7:肚15，7:她30等时洗刻有胖汽车巷到达泪汽站故所恳求概栏率为膊：依题歼意，候车陵时间掘超过10分钟,则乘垫客必庸须在7:射00到7:拒05或7:英15到7:猛20之间孙到达折车间2.指数威分布若连震续型院随机防变量X具有忠概率罢密度f事(x潮)为：注:▲

易证满足：为常数其中则称

X为服从参数的指数分布

其密香度函掩数图形请企见教湾材P5客6，关娱于分布函弄数的信图形请自载行完翻成。由分布函数定义可得：若X服从指数分布，则X的分布函数为:▲▲指数分布的性质(无记忆性)若X服从呀指数选分布吃，则闸：对任意的有：

若设X是某一元件的寿命，则上式表明：元件对它已使用过小时没有记忆。正态斑分布宁是应励用最端广泛宵的一油种连粉续型很分布.正态师分布乱在十坏九世望纪前档叶由郑数学异家高逐斯加扛以推作广，恐所以椒通常吊也称冬为高怪斯分利布.

德莫佛数学穗家德奇莫佛喷最早篇发现标了二君项分括布的您一个搁近似规公式亿，这视一公指式被降认为标是正态数分布窜的首丽次露驳面.3.正态壶分布高斯(1惜).正态狮分布攀的定舒义若随既机变驻量X的概率脏密度醋为：记作:f(x)所确臣定的垫曲线句叫作正态何曲线.

和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.其中:(2).正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”

决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布的图形特点由密竹度函烤数的美表达头式，分析正态劈燕分布营的图形交特点即整掏个概楼率密据度曲改线都古在x轴的它上方.(3变)▲显然:

以μ为对称轴，并在

处达到最大值:▲令:x=μ+c,x=μ-c(c>0萌)f(μ+c)坛=f(μ-c)且f(μ+c)昆≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)证明:分别代入可得:

以μ为对称轴，并在

处达到最大值故得:▲这说研明：曲线f(x)向左姑右伸及展时篇，越秘来越滚贴近x轴。芦即f(x)以x轴为傅渐近劝线。因为槐当x→∞时，f(x)→0f(x)以x轴为转渐近店线(对f(x)求导镜即可举求得)为f(x)的两个拐点的横坐标x=μ

σ▲(4).正态分布的分布函数由分议布函雹数定圾义得雁出正眠态分丽布，宾若则分布函数是其图魂形为:正态晕分布誓由它黎的两冷个参睛数μ和σ唯一补确定玻，语当μ和σ不同妄时，也对应剑的是姿不同始的正盐态分染布。标准床正态具分布下面梁介绍猜一种蜂最重鹿要的驳正态赵分布—(5盆).标准徒正态泊分布其密度函数和分布函数常用

和

表示：的正态分布为标准正态分布.称其图游形为:▲密度函数分布函数(一般禽正态根分布吹与标村准正搅态分仗布的冠关系)引理:证明:作一佛个线济性变慰换标准录正态叛分布藏的重要肝性▲任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.由此可得:若▲即证浊得：则其分布函数注：根据引理，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。而现已编制了的表，可供查用。请见教材P382附表2教材P3丽82附表2为标据准正盖态分惩布函哄数数躲值表画，借里助于朝附表2，可忆以查墓表计偿算一样般正屿态分喊布的惨概率远问题烟。关于偏正态鹿分布枕表▲表中给出的是时,Φ(x)的值.当时有：~N(0,1)

注：若X～N(0,1),◆则有业：若◆则有顿：◆对任意区间则有暗：由标藏准正瓦态分剧布的恐查表纸计算鸣可以供求得它，这说叔明：X的取萄值几竟乎全狮部集哑中在[执-3,浑3]区间内，芝超出蛛这个稀范围委的可燥能性谣仅占延不到0.示3%当X～N(0旅,1堆)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974(6)3原则将上畜述结摊论推广捐到一般盏的正父态分枯布,有：

时，可以蹈认为贞：Y的取值几乎全部集中在区间内。这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）不知笋你们韵是否拘注意汤到街指头的慰一种棉赌博避活动?用一哄个钉孙板作束赌具惕。高尔顿钉板试验值得两一提厌的是耳：虽然称很少巴有人你会去关婚心小录球下稠落位置惜的规毒律性无，人们且可能帝不相屈信它是太有规肢律的狗。而一奖旦试内验次菌数增多满并且采注意率观察的撇话，路就会谋发现，贼最后邻得出勿的竟是画一条档优美唯的曲线，这条途曲线就近册似我码们将爆要介绍如的正态幻玉分布的密店度曲戏线。已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正态分布,如果规定零件的长度在毫米之间为合格品.求:生产雁零件敞是合洁格品论的概省率解:例1.所求的概率为：查附追表2例2.从旅馆到飞机场沿A路走(路程断，交通拥挤)所需时间(分钟)沿B路走（路程长，阻塞少)所需时间(分钟)若现恭在只娇有30分钟.问：分别锻选择香哪一灿条路反为好?解:依题怒意，盖选择雪所需袍时间粒超过盏规定漏时间梅的概阔率较小的扶路线蹦为好.当只鼻有30分钟未可用煤时:A路:B路:结论赖：此劝时应奏选择A路液体的温度X(以℃计)是一个随机变量，且将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在例3.(1)

若,求X小于89的概率.(2柴)若要栗求保掌持液撞体的箩温度爪至少疲为80的概挽率不低摊于0.凡99，问d至少现为多丘少?解:(2绘)按题禁意需鉴求d满足:反查正态分布表，由于表中无0.01的的值故采升用如雅下方委法处柱理:查表微可知:由此伏可得:故得泻：现公共之汽车森车门绍的高撒度是蓝按男视子与蹦车门熟顶头碰头刻机会车在0.伴01以下开来设萍计的.设男幸子身荣高X～N(17搭0,62)设车蚂门高稍度为hcmP(X≥来h)≤横0.胆01或P(X<h)≥0.宝99，的最引小的h例4.问：应如忍何确悲定车益门高疤度解:按设岸计要先求即酷求满足：因为:X～N(17恭0,62),故:查表解得:所以:即:h=170+13.98184结论:设计孕车门高度纯为18逗4厘米时，碗可使督男子盗与车门雕碰头林机会伏不超过0.萍01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.所以:1.定义则称点为标准正态分布的上分位点.2.图形:面积为四.关于分位点的概念0以点右侧面积总和它就是所有比大的概率.单侧分位点注:比如:反过四来可航以验甩证:▲用整块面积减去点以后的那块面积附表2上可查的从到的那块面积从正态分布表上如何求的值:▲对于给定的则:点概率所对应的值又比桃如:(同样距可以雾验证:则称为标准正态分布的双侧分位点.图形:两小面积相加之和=又比迫如:3.双侧

分位点的定义若0比如:注意:

在后续的统计学中还将介绍分布,分布,分布的上分位点的概念问题督的提智出在很摸多实屈际问章题中裂，需钓要研灵究随牢机变碑量间朝存在惰的函域数关席系，舞也就慕是研未究他矩们在劳概率设分布殊上的受关系.已知私圆轴揪截面锯直径d的分珍布，求截面面积A=

的分布.第五愚节爽随帅机变傍量函榆数的权分布例如失：已知t汪=劫t0时刻陷噪声翠电压V的分侍布求功胸率W=丽V2/R(R为电咱阻)的分蜡布等.研究焰问题:已知纷随机堤变量X及它艇的分灭布，要求这个随机变量的分布.从函剪数角株度看骆：随坛机变牧量X是基终本事排件的袜函数嫩，那乎么随轰机变婶量X的函富数Y实际唐上是临基本想事件钳的复壶合函弃数又例脾如：一.随机皇变量护的函送数的完定义设g(湿x)是定购义在祸随机协变量X的一惊切可煌能取楼值x的集合场上的直函数接，如果问对于X的每橡一个岭可能茂取值x淋,有另池一个括随机批变量y的相诊应取醒值y何=缎g(期x)粱,则称y为x的函差数,记为y器=勤g交(x通).本节丸的任简务:根据X的分布求出Y的分布,或由的分布，求出的分布.（这个愚问题困无论顿在实紧践中谷还是嚼在理厉论上羞都是冷重要的）定义:二.离散君型随恰机变逝量的耗函数详的分红布若X是离舌散型房诚随机耳变量,则Y仔=g贪(扫X)也是瓶一个茅离散刃型随书机变垮量，剃则：g万(X腰)的分呜布可源由X的分赠布直毛接求天出.例1.已知X的概景率分呀布为:分布雨律求:

的概率分布(分布律).解:并且:从而得的分布律为:例2.已知X的概锅率分胸布为:

求:

的概率分布(分布律)解:并且:所以洗得：分布律为：注意给：如果g(义xk)中有疯一些猛是相怠同的寺，把张它们读作适当并乌项即陕可.一般孤，若X是离至散型坦随符机变快量，X的概在率函钉数为归奇纳则的概率函数为：解:这是穷关键燥一步三.连续姥型随吓机变财量的抓函数稼的分晒布例3.设X服从院区间(窄0,秤2贼)上的目均匀金分布.求：的概率密度的取值在内的取值在内服从上的均匀分布(1)为求Y的概率密度,先求出的分布函数从而当时有:当时有:当时有:于是而求得配其分布垒函数为:(2万)又因默为密磨度函糟数是盯分布疗函数跃的导乒函数煤，现若设连续型随机变量X的密度函数为(3议)则的分布函数为:对故将求导即得的概率密度为：从上林述例修子中遣可以宾看到设，在针求P(Y≤y)的过蕉程中词，关键坟的一跳步是设详法从{g(X)故≤y}中解狂出X，从而得尾到与{g(X)物≤y}等价兵的X的不抵等式.用代替{X2

≤

y}这样则做是跃为了盏利用守已知煎的X的分陈布，绒从而渔求出暖相应仁的概率。备这是想求随拣机变套量函天数的佛分布胸的一肉种常煤用方陶法注：例如：定理:设随机变量X具有概率密度又设破函数g(众x)处处估可导畅，严格璃单调狂可微忠的函钢数则Y=约g鞭(X蹄)是连碧续型棚随机智变量容，其概也率密牢度为:且有：其中:的反函数[证]:它的反函数且在严格古单调变递增醋，可胶导。在此时严格单调递增，设先求的分布函数则同拢理有默：写出桃反函霸数再求的概率密度将关于求导数即得的概率密度为：综合以上两式得的概率密度为：注：▲若在X的可能取值范围内，y=g(x)是分段严格单调的函数，则应用定理求出y在各单调区间上的密度函数，再把各个结果相加，就得到例如渠：的严格单调区间为：与则可勒先由择定理圾求出y在各次单调甘区间治上的认密度茅函数各为打：与然后将它们相加后即为所求的的密度函数。则定理的条件只需假设在若在有限区间以外的值等于零。▲上恒有：或并且有：若y=别g(孝x)在x取值留范围贝内不虾单调厚，则拐此定义理不能直衡接应吉用，此祖时可厦通过煤求y=钳g(老x)的分职布函补数。然后河对分透布函恭数求毁导数刘得y=苏g(扛x)的密盈度函偿数。如果分布函数在相邻区间的交界点上不可微，则求导得到的密度函数在交界点上没有意义，此时相应的积分区间应为开区间。▲但对伯连续柔型随宇机变散量而翼言，玩对积拳分