常微分方程章演示文稿

常微分方程章演示文稿目前一页\总数六十九页\编于二十二点优选常微分方程章目前二页\总数六十九页\编于二十二点第一章绪论§1.1微分方程过程的数学模型§1.2微分方程的基本概念目前三页\总数六十九页\编于二十二点§1.1微分方程–变化过程的数学模型函数是反映事物变化过程中的量与量之间的关系，但是现实中稍微复杂一点的关系，一般都是很难直接找到的，而却比较容易找到这些量和这些量与量之间的导数（变化率）的关系式.这种联系着自变量、未知函数和它的导数（微分）的关系式称为微分方程.微分方程是反映事物变化过程的最常用也是最重要的数学模型之一.目前四页\总数六十九页\编于二十二点例1物体冷却过程的数学模型将某物体置于空气中，在时刻t=0时，它的温度u0=150°C，10分钟后测得温度为u1=100°C，求决定此物体的温度u和t的关系，并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为ua=

24°C由牛顿冷却定律：解：设时刻t时物体的温度为u，则此时温差为u–ua,所以将t=0时u

=u0代入得将u0=150，ua=

24，t=10时,u=100代入得热量总从高温物体向低温物体传导，温度冷却的速度与二物体温差成正比.目前五页\总数六十九页\编于二十二点例2R–L电路右图的电路中R为电阻，L为电感，E为电源，设t=0时，电路中没有电流.要求建立：当开关K合上后，电流I应该满足的微分方程.设R、L、E都是常数.由基尔霍夫定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零.有求出的I=I(t)应该满足I(0)=0若合上K后某时刻t=t0时，I=I0，电源E突然短路（即E=0），此后一直保持为零，这时电流I满足的方程应为求出的I=I(t)应该满足I(t0)=I

0解：目前六页\总数六十九页\编于二十二点例3R–L–C电路如右下图设电感L、电容C和电阻R都是常数，电源e(t)是时间的t的函数，试建立：当K合上时电流I满足的微分方程.解：由基尔霍夫定律有其中Q为电量.注意将上式对t求导得即若e(t)是常数，则若又加上R=0，则目前七页\总数六十九页\编于二十二点例4数学摆数学摆是系在一根长度为l，质量可忽略不计的细线上，质量为m的质点M，在重力作用下，在垂直于地面的平面上沿圆周运动，试确定摆的运动方程解：取反时针方向为计算摆与铅垂线所成的角的正方向.质点M沿圆周的切向速度为v.质点所受重力的切向分力为注意，若摆只作微小振动时重力的纵向分力与所受细线的拉力抵消，所以由牛顿第二定律得目前八页\总数六十九页\编于二十二点要确定摆的某一特定运动时，还应该给出摆的初始状态，即当t=0时，它们分别代表摆的初始位置和初始角速度.如果单摆是在粘性介质中运动，受到与运动速度成正比的阻力，则阻尼振动若单摆还受到一个始终与运动方向相同的力F(t)，则单摆的运动微分方程为强迫微小振动初始状态目前九页\总数六十九页\编于二十二点例5人口模型（Malthus）人口模型的基本假设是：人口在自然增长条件下，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，设为r（生命系数）.即设t=0时，N(t)=N0，代入(1.21)求出：所以方程(1.20)的满足上述初值条件的解为设人口数量为N=N(t)，由基本假设有在上述模型中，人口呈指数增长.如以一年或十年把它离散化，则人口是以er为公比的几何级数增长.荷兰生物学家Verhulst对它进行了改进，得到著名的logistic模型.目前十页\总数六十九页\编于二十二点logistic模型人类的生存空间是有限的，自然资源、环境条件只能提供一定数量人口的生活，因此Verhulst引入了环境最大容纳量Nm这个常数，并认为人口的净增长率为（r为生命系数，即自然增长率）所以人口关于时间的微分方程为目前十一页\总数六十九页\编于二十二点例5传染病模型设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t时健康人数为y(t)，染病人数为x(t).

上述模型称为SI模型，即易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)模型如传染病为无免疫性疾病，则病人治愈后还可能感染.设单位时间治愈率为μ（1/μ也称为平均传染期），则(1.24)式应修正为基本假设:单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为k，称为传染系数.由此假设可得以下微分方程此模型称为SIS模型，σ称为称为每个病人的有效接触人数.目前十二页\总数六十九页\编于二十二点如一些有很强免疫性的传染病，病人治愈后不会再被感染.设在时刻t时的愈后免疫人数为r(t)(称为移出人数）,而治愈率l为常数，即则（1.31）消掉r(t)可得上式称为SIR模型.目前十三页\总数六十九页\编于二十二点例6两种生物种群生态模型其中a为常数.叫做自然净增长率.但由于捕食鱼的存在，使其增长率降低.设单位时间内捕食鱼与被食鱼相遇次数为bxy(b>0,为某个常数)，并设相遇被食鱼即被吃掉.则类似地，捕食鱼因缺少被食鱼的自然减少率与它们本身的存在y成正比,即为–cy(c>0，为某个常数).自然增长率与它们本身的数目和被食鱼的数目成正比，即为exy（e>0，为某个常数，称为被食鱼对捕食鱼的供养能力），于是得到Volterra被捕食–捕食模型:(1.32）Volterra被捕食–捕食模型:意大利数学家Volterra把鱼分成被食鱼和捕食鱼，设时刻t时被食鱼的总数为x(t),而捕食鱼的总数为y(t).由于被食鱼的食物很丰富，因此种类斗争并不激烈，所以在不存在捕食鱼的情况下被食鱼的增长应成指数增长，即目前十四页\总数六十九页\编于二十二点两种种群竞争模型设竞争同一资源的两种生物种群甲、乙的数目分别为x、y，则两种生物的生长情况为当a、b、c、e均为正数时，称为竞争模型，当b、e为负数时称共生模型.一般Volterra模型其中a,b,c,d,e,f为常数，可正、可负或为0，视两种生物的关系而定，一般可分成竞争、共生、捕食–被捕食等情况。当x=0,或y=0种群内存在密度制约关系时，上式就成为一维的Logistic模型.目前十五页\总数六十九页\编于二十二点例7Lorenz混沌模型由美国气象学家Lorenz建立其中a=10,b=8/3,c=28.Lorenz发现，此方程的解对初值非常敏感.是关于所谓混沌现象的第一例微分方程.目前十六页\总数六十九页\编于二十二点

1.常微分方程与偏微分方程(1)只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程；(2)自变量的个数有两个或两个以上的微分方程叫做偏微分方程.微分方程中未知函数最高导数的阶数称为微分方程的阶.2.微分方程的阶例下列方程是常微分还是偏微分方程，并指出它们的阶：2阶常微分方程2阶偏微分方程一阶常微分方程一阶偏微分方程2阶偏微分方程一阶常微分方程一微分方程的分类§1.2基本概念目前十七页\总数六十九页\编于二十二点3.线性微分方程和非线性微分方程一般n阶常微分方程的形式为若上式左端为的一次有理整式，则称方程为n阶线性微分方程，即n阶线性微分方程具有形式为x的已知函数.不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程.例如分别为一阶线性微分方程和二阶非线性微分方程.目前十八页\总数六十九页\编于二十二点二微分方程的解设有微分方程若函数y=f(x)代入能使它成恒等式，则称y=f(x)为上面的微分方程的一个解.如果关系式Φ(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)是(1.21)的解,则称它为方程(1.21）的隐式解.例：微分方程有解关系式是它的隐式解.微分方程的显式解和隐式解都称为微分方程的解.1.微分方程的解解和隐式解目前十九页\总数六十九页\编于二十二点通常把特解必需满足的条件称为定解条件.常见的定解条件为初始条件，即当x=x0时，2.通解和特解

n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解.不含任何任意常数的解称为微分方程的一个特解.定解条件例如可以验证微分方程的通解为设初始条件为将它们代入通解得所以微分方程满足上述初始条件的特解为目前二十页\总数六十九页\编于二十二点关于通解的注：1.从命名来看，人们希望通解包含方程的全部解.但从定义上看，通解并不需要包含方程的全部解.例如y=ecex和y=cex

都是微分方程y'=y的通解，但前者只包含它的部分解，后者才是它的全部解.2.仅管通解并不要求是方程的全部解，但是我们在求通解时还是让它尽可能多地包含方程的解.3.通解确实包含了方程在一定范围内的全部解.4.当通解中的所有任意常数都成了确定的值时，就是方程的一个特解.目前二十一页\总数六十九页\编于二十二点设y=φ(x)是微分方程(1.23)的解，它是xy平面上的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.因而微分方程(1.23)的通解y=φ(x,c)对应于xy平面上的一族曲线，称为积分曲线族.显然，y=φ(x)是微分方程(1.23)的解的充要条件是曲线上每一点(x,y)处的斜率则好等于f(x,y).3.解的几何意义设有一阶微分方程(1)积分曲线与积分曲线族(2)微分方程的方向场（线素场）显然，过区域D上每一点(x,y)斜率为f(x,y)的一小段直线段(线素)，代表过该点的积分曲线在该点的切线方向，并且过该点的积分曲线在该点附近可以用这条小线段近似地表示.区域D上的全体线素称为微分方程(1.23)的方向场（或线素场）.利用方向场右以画出积分曲线的大致形状.目前二十二页\总数六十九页\编于二十二点右下图是微分方程的向量场目前二十三页\总数六十九页\编于二十二点第二章§2.1变量分离方程与变量变换

2.1.1变量分离方程 2.1.2可化为分离变量的方程 2.1.3应用举例§2.2线性微分方程与常数变异法§2.3恰当微分方程与积分因子

2.3.1恰当微分方程 2.3.2积分因子§2.4一阶隐式微分方程与参数表示

2.4.1可以解出y（或x）的方程 2.4.2不显含y

（或x）的方程目前二十四页\总数六十九页\编于二十二点§2.1变量分离方程和变量变换2.1.1变量分离方程形如的微分方程称为变量分离方程.这里f(x),g(y)分别是x,y的连续函数.变量分离方程的解法如果g(y)≠0，则(2.1)式可写为这样变量就分离出来了，两边分别积分得方程(2.1)的通解：上面的积分式看成某个确定的函数，以后也这样理解.一般还应该检验g(y)=0是否原方程的解.目前二十五页\总数六十九页\编于二十二点解变量分离方程的例例1求解方程解：分离变量两边分别积分得方程的通解也可写成显式解：或写成目前二十六页\总数六十九页\编于二十二点例2解方程解：分离变量两边分别积分方程的通解为：注意

y=0也是方程的解，但它并未包含在通解内.目前二十七页\总数六十九页\编于二十二点例3解方程解：分离变量即所以方程的通解为若则所以方程的解为(2)÷(1)得积分得目前二十八页\总数六十九页\编于二十二点例4求解Logistic方程解：分离变量两边分别积分为左边化成部分分式所以方程的通解为将初始条件代入得所以方程的解为：即目前二十九页\总数六十九页\编于二十二点例5求方程解：分离变量得积分得显然y=0也是方程的解，所以上述的c也可以等于0,即方程的全部解为其中c为任意常数.目前三十页\总数六十九页\编于二十二点课外作业目前三十一页\总数六十九页\编于二十二点§2.12可化成变量分离方程的类型(1)齐次微分方程形如的微分方程叫做齐次微分方程，这里g(u)是u的连续函数.解法：作变换则y=ux,微分得分离变量为两端积分就得到方程(2.3)的通解公式：目前三十二页\总数六十九页\编于二十二点例6求解方程解：这是齐次微分方程，作变换则y=ux,dy=udx+xdu方程（2.4)还有解tanu=0，即sinu=0.因此上式中允许c=0.所以方程的通解为：也可以直接代通解公式求得.目前三十三页\总数六十九页\编于二十二点用公式求解例6解：这是齐次微分方程，作变换所以方程的通解为余下与前同目前三十四页\总数六十九页\编于二十二点例7求解方程解：这是齐次微分方程，作变换两端同除以x得则所以原方程的通解为：注意u=0也是方程的解，但这个解不包含在通解中.将u=y/x代回，则原方程的通解为同时y=0也是方程的解.目前三十五页\总数六十九页\编于二十二点(2)形如的微分方程分以下三种情况讨论其中k为常数上述讨论中的解法也可以解决形如的微分方程问题：讨论下列微分方程的解法其中M(x,y),N(x,y)分别是x,y的齐次（次数可以不同）函数目前三十六页\总数六十九页\编于二十二点例8求解微分方程解：求方程组得x=1,y=2,作变换代入原方程为令则可以验证也是方程（2.4)的解，所以原方程的全部解为（c为任意常数）目前三十七页\总数六十九页\编于二十二点2.1.3应用举例例9电容器的充电和放电如右图所示，电路断开时电容器C两端电压uC=0.将开关S合上“1”后，电池E对电容充电，电容器两端电压uC逐渐升高，充电完毕后，再把开关S合上“2”，电容器C开始放电，求充、放电过程中电压uC随时间t的变化规律.只研究充电过程由基尔霍夫定律有代入(1)，得充电时uC

的微分方程分离变量得将t=0时，uC=

0

代入得故（2）的通解为解：所以充电时uC随时间t的变化规律为所以充电结果为uC=E目前三十八页\总数六十九页\编于二十二点例10探照灯反向镜面的形状要求从点光源射出的光线从镜面反射要沿同一方向平行地反射出去.求反射镜面的形状解：由对称性知镜面一定是一个旋转面.设点光源在原点，设这个旋转面由曲线绕x轴旋转而成，问题变成求y=f(x)，如右上图过曲线y=f(x)上任一点M(x,y)作曲线的切线MT，交x轴于N，这是一个齐次微分方程.也可以写成由题意，由O点射向点M的光线应沿平行于x轴的方向反射.由反射定律，应有ON=OM，并注意到目前三十九页\总数六十九页\编于二十二点令则微分方程为即分离变量得积分得将代回，并整理得所以所求反射镜面为旋转抛物面目前四十页\总数六十九页\编于二十二点是可分离变量的微分方程，前面已知其解为：称为一阶线性微分方程.当Q(x)=0时，称为一阶齐次线性微分方程，否则称为一阶非齐次线性微分方程§2.2一阶线性微分方程和常数变易法一阶线性微分方程微分方程一阶齐次线性微分方程非齐次一阶线性微分方程的解法常数变易法设一阶非齐次线性微分方程的解为代入原方程得所以非齐次一阶微分方程的通解为目前四十一页\总数六十九页\编于二十二点例1求微分方程的通解.解：先求对应的齐次方程的解.方程变形为这是一阶线性微分方程分离变量得所以齐次方程的通解为用常数变易法，设代入方程(1)得所以原方程的通解为目前四十二页\总数六十九页\编于二十二点例2求微分方程的通解.解：方程变形为即对应的齐次方程为分离变量为(2)的通解为设(1)的通解为代入(1)得所以原方程的通解为目前四十三页\总数六十九页\编于二十二点贝努利微分方程形如的微分方程叫贝努利微分方程.它可以化成线性微分方程.解：作变量代换z=y

1–n

，则由复合函数求导法则这是线性微分方程.注意：当n>0时，y=0也是原方程的解.即目前四十四页\总数六十九页\编于二十二点例3求方程的通解解：这是n=2的贝努利微分方程，令则这是线性微分方程，求得它的通解为所以原方程的通解为y=0也是方程的解.目前四十五页\总数六十九页\编于二十二点§2.3恰当微分方程积分因子2.3.1恰当微分方程如果微分方程的M(x,y)dx+N(x,y)dy恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分,则称(1)为恰当微分方程.设M(x,y)、N(x,y)

在矩形区域D连续且具有连续一阶偏导数显然上述恰当微分方程方程的通解为u(x,y)=c恰当微分方程的充要条件由数学分析知，(1)是恰当微分方程的充要条件是在区域D内恰当微分方程的求解由数学分析知积分路径为点(x0,y0)到点（x,y）的任意按段光滑曲线.目前四十六页\总数六十九页\编于二十二点例1求微分方程的通解解：所以上述方程为恰当微分方程.所以微分方程的通解为目前四十七页\总数六十九页\编于二十二点恰当微分方程的“分项组合”解法下面以例1说明求微分方程的通解把形如f(x)dx、g(y)dy分别积分求和，再把剩余的形如

M1(x,y)dx+N1(x,y)dy部分求积分，然后求和，即所以微分方程的通解为目前四十八页\总数六十九页\编于二十二点例3求解微分方程解：(容易验证这是恰当微分方程，用分项组合办法求解)所以原方程的通解为目前四十九页\总数六十九页\编于二十二点2.3.2积分因子如果存在函数μ(x,y)，使得成为恰当微分方程，则称函数μ(x,y)为方程(1)的积分因子.可以证明，只要微分方程有解，就一定存在积分因子,而且不是唯一的.由恰当微分方程的充要条件可得μ(x,y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的充要条件是这是一个关于μ(x,y)的偏微分方程，通过它来求方程的积分因子，比求解方程本身更困难，因此是不足取的.但是在特殊情况下，通过找积分因子求解微分方程仍然不失为一种方法.目前五十页\总数六十九页\编于二十二点特殊条件下的积分因子设有微分方程1.微分方程(1)存在微分因子μ(x)的充要条件因为是恰当微分方程等价于由此可知方程(1)有只与x有关的积分因子的充要条件是并且由(3)可求出(1)的一个积分因子目前五十一页\总数六十九页\编于二十二点前面得到方程(1)有只与x有关的积分因子的充要条件是是积分因子类似的方法得到方程(1)有只与y有关的积分因子的充要条件是是积分因子目前五十二页\总数六十九页\编于二十二点例4用积分因子法求线性微分方程解：将方程变形为所以原方程存在积分因子是恰当微分方程，故积分所以所以方程的通解为目前五十三页\总数六十九页\编于二十二点例5求解微分方程解：将方程变形显然它有积分因子两边同乘以它得所以原方程的通解为：两边同乘以ydx目前五十四页\总数六十九页\编于二十二点例6求解方程解法1：积分因子法设M=y,N=y–x,则所以方程有积分因子：原方程两端乘以积分因子分项组合所以原方程的通解为目前五十五页\总数六十九页\编于二十二点例6求解方程解法2分项组合观察法显然左边有积分因子因右边只是关于y的微分，故后者为方程的积分因子.剩下与方法1同.目前五十六页\总数六十九页\编于二十二点例6求解方程解法3将方程变形为这是齐次微分方程令则两边积分得代回原来的变量得方程的通解为：目前五十七页\总数六十九页\编于二十二点解法4将方程变形为这也是齐次微分方程令则方程为代回原来的变量得方程的通解为：例6求解方程两边积分得目前五十八页\总数六十九页\编于二十二点§2.4一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程的解法探究如果从(1)中可以解出则原则上可以按以前讨论过的方法求解.但是很多情况下存在如困难：(i)无法从(1)中解出y＇;(ii)解出的y＇表达式复杂难于求解针对上述问题，下面介绍可以采用参数方法将导数变成已解出的类型：目前五十九页\总数六十九页\编于二十二点2.4.1可以解出y或x的方程1.形如（f(u,v)关于u,v有连续的偏导数）的解法令代入(1)得两边对x求导得这是一个关于未知函数p的微分方程，且p的导数已求出.则(1)的通解为若(3)的通解为：若(3)的通解为：则(1)的通解为(其中p为参数，c为任意常数)则(1)的通解为若(3)的通解为：(其中p为参数，c为任意常数)目前六十页\总数六十九页\编于二十二点例1求解微分方