课件第章复变函数积分

第3章复变函数的积分第一节复变函数积分的概念性质及计算1.1积分的定义1.2积分存在的条件及其计算方法1.3积分的基本性质1第二节柯西－古萨定理及其推广2.1柯西－古萨基本定理2.2基本定理的推广—复合闭路定理2第三节原函数与不定积分第四节柯西积分公式与高阶导数公式4.1柯西积分公式4.2高阶导数公式与解析的无限可微性第五节解析函数与调和函数的关系31.1积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,4简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.52.积分的定义:6(7关于定义的说明:81.2积分存在的条件及其计算法1.存在的条件9在形式上可以看成是公式102.积分的计算法11在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.12复变函数积分的计算步骤13例1解直线方程为14这两个积分都与路线C无关15例2解(1壮)积分龟路径煮的参循数方讨程为y=x16(2翼)积分局路径滔的参浴数方馒程为y=x17y=x(3抢)积分隔路径骨由两闪段直虽线段纵构成x轴上登直线廉段的轰参数邀方程榴为1到1+i直线探段的苹参数甚方程拉为18例3解积分澡路径回的参量数方侨程为19例4解积分犹路径佳的参旱数方麻程为20重要羽结论：积流分值泻与路排径圆遥周的照中心容和半票径无课关.211.级3积分笑的性愉质复积支分与幼实变涉函数验的定侧积分偏有类叨似的役性质.估值拥不等提式22第一糟节小结本节车我们避学习锡了积牙分的梦定义容、存壤在条摘件以颠及计牌算和识性质.应注窃意复克变函惹数的其积分捕有跟情微积紫分学翻中的城线积茂分完筒全相易似的俭性质.本节趴中重止点掌粒握复忌积分或的一赠般方裹法.23思考须题24思考顿题答肯案即为丝式一元牛实函盯数的扮定积慨分.252.鸣1柯西拐古萨剥基本教定理1.问题抽的提娇出观察纵上节馒例1,此时散积分棋与路迟线无哪关.观察塘上节封例4,第二戏节诵柯西饼－古沸萨定猜理及市其推辨广26由以抱上讨搂论可咱知,积分峡是否与与路影线有娱关,可能匹决定氏于被积侄函数集的解敬析性及区域销的连机通性.272.柯西顿－古葵萨基诸本定荒理定理惩中的C可以惩不是戏简单竹曲线.此定虎理也在称为柯西凯积分夜定理.28关于晋定理雕的说悲明:(1夹)如果考曲线C是区栗域B的边加界,(2帖)如果赠曲线C是区奏域B的边爪界,定理纱仍成糟立.29例5解根据桶柯西双－古农萨定搜理,有30例6证由柯友西－市古萨粥定理,31由柯监西－判古萨疤定理,由上作节例4可知,32例7解根据予柯西逼－古宵萨定狱理得33342.远1小结重点略掌握做柯西刚－古录萨基职本定稻理:并注底意定喘理成老立的炭条件.35思考概题应用调柯西–古萨旁定理接应注魄意什形么?36思考叮题答售案(1亲)注意艺定理点的条晴件“剧单连斧通域涌”.(2粗)注意沉定理巾的不汽能反勿过来纲用.371.问题率的提套出根据圆本章牺第一菊节例4可知,由此带希望灭将基膝本定委理推窃广到咬多连扇域中.2.旧2基本拔定理踏的推摧广复宿合闭违路定虾理38︵︵2.闭路封变形粗原理39︵︵︵︵︵︵︵︵40得︵︵︵︵41解析渔函数屈沿闭堂曲线汗的积稳分,不因圈闭曲绞线在惹区域尼内作招连续泉变形提而改遣变它篇的值.闭路趁变形省原理说明:在变储形过凳程中任曲线塞不经禁过函想数f(z)的不饼解析街的点.423.复合继闭路炸定理那末4344例8解依题那意知,45根据伴复合之闭路医定理,46例9解圆环洗域的搭边界浴构成芒一条疤复合租闭路,根据菊闭路稀复合延定理,47例10解48由复娱合闭董路定帅理,此结救论非早常重患要,用起誓来很倡方便,因为不德必是走圆,a也不并必是丹圆的招圆心,只要a在简诵单闭蠢曲线件内携即可.49例11解由上洗例可恰知502.纽奉2小结本课贝所讲费述的吩复合涂闭路龟定理芒与闭警路变丧形原理是逢复积懂分中串的重宫要定傻理,掌握观并能升灵活迁应用擦它是本带章的饮难点.常用虾结论:51思考输题复合推闭路赌定理溜在积胖分计刃算中炊有什菌么用?要注悼意什眠么问么题?52思考男题答裕案利用摸复合净闭路荒定理暗是计汤算沿需闭曲省线积针分的易最主裙要方瓣法.使用隔复合踩闭路峡定理念时,要注个意曲柏线的猫方向.53定理扁一由定欺理一掠可知:解析毙函数茧在单名连通亩域内刊的积酸分只石与起耍点和券终点姻有关,碍(如下盛页图)1.两个隐主要尚定理:第三孩节攀原函起数和竿不定旗积分5455定理舒二此定渴理与嚼微积上分学核中的妄对变填上限狼积分散的求孤导定黎理完枯全类宾似.562.原函礼数的延定义:原函血数之器间的衡关系:57那末漆它就净有无雅穷多演个原干函数,583.不定俱积分医的定躺义:定理符三(类似新于牛分顿-莱布莫尼兹寸公式)59例12解(使用贱了微墙积分喂学中疫的“凑微套分”法)说明:有了匠以上挖定理,复变僚函数抖的积搂分就屯可以隙用跟则微积鸦分学魂中类理似的区方法臭去计恭算.60例13解由牛融顿-莱布终尼兹悠公式水知,61例13另解此方码法使缠用了榆微积光分中碍“分部迷积分少法”62例14解利用编分部顿积分获法可裤得课堂溪练习答案63例15解所以蒙积分祖与路崭线无径关,根据忍牛—莱公热式:64第三息节小拥结原函知数、宜不定骨积分靠的定旅义以胖及牛岁顿—莱布剃尼兹孩公式.在学逆习中殃应注扇意与《高等歌数学》中相制关内负容相结类合,更好颂的理弃解本子课内秘容.65思考男题解析箱函数财在单怒连通顽域内劝积分倡的牛丙顿–莱布废尼兹霞公式颜与实缘瑞函数策定积融分的享牛顿–莱布鸦尼兹替公式挤有何誓异同?66思考浇题答扣案两者卖的提姿法和裕结果晚是类汤似的.两者简对函晃数的且要求鸽差异界很大.671.问题收的提领出根据小闭路劝变形趴原理嫩知,该积绸分值母不随贵闭曲没线C的变业化而失改变,求这垄个值.第四车节痛柯西新积分遮公式4.症1柯西芦积分探公式68692.柯西随积分岛公式定理证7071上不父等式烤表明,只要R足够页小,左端猎积分指的模兔就可乓以任殊意小,根据斜闭路脆变形踢原理散知,左端散积分臭的值晶与R无关,所以遇只有属在对腥所有夕的R积分魂值为臂零时顽才有袜可能.[证毕]柯西捕积分坦公式72关于巾柯西性积分马公式着的说云明:(1食)把函组数在C内部替任一志点的银值用燥它在逗边界蒜上的君值表抄示.(这是虏解析奖函数红的又革一特惹征)(2贞)公式五不但压提供爆了计嚼算某渔些复含变函萄数沿负闭路插积分催的一锡种方飘法,而且餐给出绝了解脆析函隔数的奸一个粘积分精表达效式.(这是都研究上解析圣函数渣的有心力工奸具)(3计)一个贫解析弃函数烟在圆错心处劝的值讽等于最它在翁圆周时上的赤平均傍值.73例16解74由柯嫂西积桥分公帽式75例17解由柯两西积突分公哨式76例18解由柯申西积壤分公辆式77例19：解78解例19：79例20解根据碗柯西具积分礼公式献知,80例21解根据殊柯西裕积分局公式卸知,81比较脆两式缺得82课堂蜘练习答案834.浩1小结柯西键积分男公式歉是复饿积分押计算战中的拍重要姿公式,它的秧证明辱基于愤柯西–古萨熔基本宰定理,它的堂重要数性在于:一个玻解析僚函数后在区偶域内吊部的免值可邮以用惹它在边界玩上的士值通蒙过积牢分表峡示,所以炭它是随研究帅解析徒函数的启重要槐工具.柯西两积分欣公式:84思考除题柯西茅积分悟公式邀是对筹有界灯区域辞而言袍的,能否启推广迟到无匙界区犁域中?85思考昆题答勤案可以.其中进积分舅方向贞应是域顺时桐针方竭向.放映占结束崇，按Es偏c退出.861.问题厦的提字出问题:(1彼)解析爽函数始是否符有高血阶导柄数?(2愉)若有搬高阶梳导数,其定锁义和谷求法熔是否牛与实骗变函论数相椒同?回答:(1连)解析压函数鹊有各福高阶称导数.(2任)高阶尿导数料的值嫂可以达用函符数在话边界属上的阴值通棉过积折分来虹表示,这与遵实变持函数取完全叮不同.解析盟函数侦高阶瞧导数机的定个义是淘什么?4.钩2高阶令导数打公式矿与解飘析函予数的置无限腿可微惕性872.主要欣定理不在歉于通池过积难分来仰求导,而在脱于通母过求肯导来在求积胳分.88例22解8990根据歉复合择闭路载定理9192例23解9394例24解由柯炉西－符古萨傅基本素定理培得由柯仔西积帜分公而式得9596课堂直练习答案97练习解98根据猛复合蠢闭路肤定理威和高旦阶导坟数公于式,9910笋04.茂2小结高阶斯导数熔公式零是复变积分前的重似要公方式.它表泼明了解析捏函数塌的导查数仍辫然是权解析重函数这一柿异常剧重要的第结论,同时蜂表明梯了解晋析函品数与剂实变构函数董的本质区某别.高阶劈燕导数润公式10恰1思考阅题解析煌函数介的高度阶导筝数公傲式说阁明解挥析函接数的揉导数盯与实对函数葬的导沈数有触何不陆同?10感2思考愧题答射案这一慢点与壮实变撞量函拍数有宴本质姨的区那别.10曲31.调和绳函数疏的定师义调和衡函数越在流勿体力桥学和撤电磁残场理雁论等罢实际择问题侧中有悬很重蜂要的客应用.第五伏节疤解析越函数握与调欺和函聋数的湾关系10费42.解析翼函数炉与调马和函买数的剂关系1.两者生的关址系定理任何医在区消域D内解拖析的堆函数,它的释实部墓和虚纸部都柱是D内的蛾调和羞函数.证10罢5根据利解析脂函数比高阶朵导数氏定理,[证毕]10盾62.共轭没调和断函数欢的定迅义区域D内的驶解析裳函数责的虚器部为踏实部屿的共耐轭调壤和函救数.10答73.偏积静分法如果虹已知责一个以调和校函数u,那末程就可渣以利已用柯击西－软黎曼送方程荣求得虾它的刺共轭丽调和牙函数v,从而昨构成朗一个弊解析砖函数u+vi.这种