数学培优之圆(九年级)-第7讲-辅助圆

第7讲

辅助圆知点纳在处理平面几何中许多问题时需要借助于圆的性质问才得以解决而们需要的圆并不存（有时题设中没有涉及有时虽然题设涉及圆但是此圆并不是我们需要的圆这就需要我们利用已知条件助图形把需要的实际存在的圆找出来补辅助圆的常见方法有：1、利用圆的定义添补辅助线；2、作三角形的外接圆；3、运用四点共圆的判定方法：（）一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。（）底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。（）四边形ABCD的角线相交于，且

PAPCPBPD

，则它的四个顶点共圆。（）四边形ABCD的组对边ABCD的长线相交于P且的四个顶点共圆。例精

PA

,则它【例如图，四边形

中，AB=AC=AD,E是CB的点AE=EC。BACBD2

则AB=。思点

AD

（鄂州市中考题）有共同端点且相等，可用圆的定义画出图中隐藏的圆，从而可推导

BAC

、

为特殊角。【】图，若PA=PB

ACB,

与

PB

交于点

，且

则AD

().A.6B.7C.12D.16思点

”全国初中数学竞赛题作出以P点为圆心、PA长半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件。【3图中意长AC到延长ABBQ，1

求证：

的外心

与

A

、

P

、

四点共圆。思点

先作出

的外心

，连接

PQ

、

，将问题转化为证明角相等。【4如图，

BC,CD

垂足分别为B、。（）

AB4DC

，

BC4

时，在线段

BC

上是否存在点

P

,使

PD

？若存在，求线段

BP

的长；若不存在，请说明理由；（）

,

,

AD

那当

a

、

b

、

c

之间满足什么关系时在直线

BC

上存在点，PD?（南京市中考题）思点对（以为直径的上又点在BC上表明相交或相切。旋与【】图，已知正方形

在直角坐标系中，点

A

、

分别在

轴、

轴的正2

半轴上在标原点腰角三角板的直角顶点在点、分在、OC

上

OA4

三角板

绕O点时针旋转至

F11

的位置

1

、AE。1（）证：

OAEOCF11

;（）三角板OEF绕点时旋转一周，是否存在某一位置，使得OE//CF?若存，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由。（潍坊市中考题）【6如图，P是O外点PA切O于A，是O的线，PO于。求证：

PB

.（四川省联赛题）分

因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定

与

PCD

相似证明。此达到证明的目的。

BC、OD共圆这样连接OB就得到多对相似三角形，以3

基练1如图已矩形

ABCG(BC)

和矩形

全等点

B

、

、

在同一条直线上，APE的点在线段上移动，使APE直角的点P的数是个。（陕西省中考题）第1题

第2题

第3题2、如图和的径分别为1和2接12

O于PO=5.若将121绕点P按时针方向旋转

360

,则

1

和

2

共相切

次。（鄂尔多斯中考题）3、如图已

OAOC

且

则

ACB

是

BAC

的倍4、如图，铁路MN和路PQ点O处汇，30路PQ上处距离点240米如果火车行驶时围米以内会受到噪音的影响么车在铁路MN上方向以73千米时速度行驶时A受噪音影响的时间为（A.12秒B.16秒C.20秒秒

ON（武汉市中考题）4

5、如图，矩形

ABCD

中，

，

43

,点

E

是折线段

AD

上的一个动点（点

E

与点

A

不重合

P

是点

A

关于

BE

的对称点在E运动的过程中

为等腰三角形的点

E

的位置共有（A.2个个C.4个个（济南市中考题）6、如图，在，弦AB于E点，弦BC于，连接EF，CD与AG相于点

，则下列结论：①弧

BD

弧

BG

;②

DE

;③

ACDAFE

;④AF

。其中正确的结论的个数有（A.1个个C.3个个

GFM

OA

ED

7、如图已

Rt

中，

，

，

,

P

是

AB

边上的动点（与点、B不合是BC边的动点（与点、C不重合（）

AC

，且

为

的中点时，求线段

的长；（）与不平行时，CPQ可能为角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的的取值范围；若不可能，请说明理由。（广州市中考题）5

8、如图，已知

中，

AH

是高，

AT

是角平分线，且

，

TEAC

。求证：（）

AHD

）

。（陕西省竞赛题）能拓9、如图，正方形ABC的中心，面积19892，为正方形内一点，且OPB

,

::14,

则

PB

的长为。（北京市竞赛题）10、图，在

中，

AC

边上有100个不同的点

P1

、

P2

、...

P，记mBPi,2,3...100)iiii

，则

12100

。11、图，在四边形

ABCD

中，

ABAD

，若

BAC

，

CAD75

则6

BDC

；

DBC

。（第20届苏省竞赛题）12、图，AB

为半圆

的直径C

为半圆上一点AOC

点

P

在

AB

的延长线上，且

PBcm

连接

交半圆于点

，过

P

作

PHPA

交

AD

的延长线于点

H

，则

PHcm

.（第19届苏省竞赛题）13、图，已知在凸五边形

ABCDE

中，

BCCDDE,

且BCD180

求证：

CAD.（全国初中数学联赛题）14、图，

P

是

外一点，

PA

和

PB

是

的切线，

A

、

B

为切点，

OP

与

AB

交于点M，过任的CD。证：

。综创7

15、图，

AD

、

A