专题三不定方程地整数解问题(教案设计)

专三不方的数问所谓不定方程，是指未知数的个多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数的一般理论、方法有一定的了解而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本题中我们一起来学习不定方程整解的一些解法技巧。【础识1．不定方程整数解的常见类型（）求不定方程的整数解；（）判定不定方程是否有整数；（）判定不定方程整数解的个（有限个还是无限个2．解不定方程整数解问题常用解法：（）代数恒等变形：如因式分法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（）奇偶分析法：缩小变量的围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（）构造法：如构造一元二次程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（）枚举法：列举出所有可能情况；（）不等式分析法：通过不等估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（）无穷递推法。【型题析一代恒变、因分法【1已知y都是整数，且满足

xy)，2y的最大值.分析：由

xy)，得(xy因为

(

都是整数以或y

或

xy

或

xy解得

x，或，或，或yyyy故

xy

2

的最大值为25文档

实用标注一地整数

,,d

的次程

，可形：分，

2(ax)()ad

求数时只把数

bcad)

分成个数积转为几方组

axay

bcad

来解通过取求符题的数。【2求方程

x

22

x的整数解x,y)

.分析：原方程可化为

xy2y，配方得(2x2(2y32所以

(y5)(x因为

(xy

和

(x2)

的奇偶性不同得

xyy，或，或，或xyxyxxy解得：、配法

()8),(2,【3求

x

2xy

x

的非负整数解

(x,)

的组数为（）A、B、C、D、分析：由

x2xy2xy，方得2x2xy2当

x

时，左边

x2当

x0

时，左边

x2

1613所以

x0

或1当0时，代入原程得

y当

x

时，代入原方程得

或

因此共有组非负整数解文档

实用标准文案、分整法【例4】已是整数，满足

，则整数a的所有可能值有（）个4B.5C.6D.8分析：由

x，得x

a11

为整数根据整除性质，可知：1

，即

1,0,2,3,5

共6个值【例5】求

x(

的正整数解解：原方程可化为

y

251(2)(x49492)xxx因为

为正整数，且

49x

是整数，所以

x7

或49，即

x6

或48当时，y；当48时，

舍去故所求正整数解、换法

(x,)【例6】已：x为数，且

y

x2009x

，求y最大值为分析：原方程可化为

y

x20092011

，令

x2009,b2011，则ya2x(a)

2

因为

(),(a)

具有相同的奇偶性，且都是正整.故

ya

的最大值为

2010

.二奇分法【例7】证方程

x

2

无整数解.分析：不妨设原方程有整数解，为

x

2

为偶数，所以

具有相同的奇偶性若

都是偶数，令

xa,

，代入原方程，化简，a2z

，左右奇偶数不同，矛盾。文档

实用标准文若x,y

都是奇数，令

xyb

，代入原方程，化简，得

az因为

(b

都是偶数，所以上式左边为偶数右边奇数，矛.综上，原方程无整数解。【例8】求

x

2

y

2

的正整数解分析显然y，不妨设

x

，由于328是偶数故y的奇偶性相同，而328能4整除，偶数的平方被4除余0，奇数的方被余，所以

都是偶数.设

xa,，则a

282，a，得b2，取

2

对应

2，故只能

，即

b由xy

的对称性，因此所求正整数解

(x)

.三构法如构造一元二次方程，利用根的别式和韦达定理等性质进行讨论，且当方程有整数解时，判别式为完全平方式。【9已知

,

都是质数，且

2b2b

，求

m

的值分析：若

a2

，则

4

，即

22

；若则a看作关于的一元二次方程

x

x

的两个根由韦达定理，得

abm而是质数，由

，故a的值只是或11所以

m22因此，所求m的值为2或22.【10】已

,b

是数且足

c

2

c求

的。分析：由

2

c

，可构造以a,为根的一元二程

t

t

根据题意

4(c2)c2c

是一个完全平方式，因此存在非负整数，使得

c2)

22，即k2c2)2

所以

kcc，或，解得，或k134c所以

t

3322

，即

，或

b故所求正整数文档

(ac2,4),(

n实用标准文案n四枚法【11】方程

x2010

共有多少个正整数解？分析：当

xk1,2,3,

时，

y

，此时y

可取1到

(2009

，一共

(2009

个解.又

可取1到2008，故原方程一共有

2008k

(2009)2008

20092

2017036

个正整数解。注方程

y(n且n

的正整数解个数为：k

(n

((n22思：程

x2010

的负数共多个五不式析用整数性或不等关,确定出方程解的范围.【例12】求程

x2xy35

的正整数解分：对于正整数

，由原方程得到

2x7x因为

x，以

35x

，解得

1x分别取和2,到和即所求的解为

(,)(1,17),(2,3)注：本题也可以通过分离整数法行讨.【13】求方程

xy)

的正整数解

(z)

为多少组？分：方程化为

1x

①设

xy

,

由

11xyz5

，得

x

，所以

.当2，代入式①，得

11132，由yzyz10

，得

y

，所以

文档

实用标准文案将24,5,6分代入式①，得到所求的解(,z)当

x

时，代入式①，同样的方法可以方程①无整数.综上，及

,z

的对称性，得到原方程有12组整数.六无递法【14】试明程

x222

无零数.分析：我们只需考虑,y

都是正整数.显然

,

不能都是奇数，或一奇二偶，否左边为奇数，而右边是偶数，矛盾。若x,y,

是二奇一偶，不妨设

aybz

，则方程左边＝

x22a222)

不是4的倍数右边是4的倍数盾。因此

,

只能都是偶数，不妨设

xxyy,211

，代入原方程，得

x2xz1111

.类似于前面的讨论，可以证明

x,yz111

都是偶数。如此继续下去，……我们可得到：

x

x,y

y,

z

由于上述过程可以无限地进行下，因而k将无限地增大，即正整数

xzkk

k

将无限地小下去，这是不可能的故原命题得证.【对训题A组1、已知x满求整数的值.2、方程组

xyyz63

的正整数解的组数是（）A.1组B.2组C.3D.4组文档

实用标准文案3已知关于

的一元二次方程

x22(abx

无实数根求满足条件的正整数值.4、已知

,b,

都是整数，且

2

，求

a

的值5、方程

x

的有序整数解

(x,y)

共有

组6、设自然数

满足方程

xx

，其中

y

，则

xy

.7、试确定一切有理数r，使得关于的方程rx

2

r

有根且只有整数根B组8、已知

,b,

都是正整数，且满足

ab366

，则

的值为（）A.10B.12C.14D.169、一直角三角形两直角边a均是数，且满足

m

，试求这个直角三角形的三边长.10、已知：a为自然数，且关于x的方程值为.

至少有一个整数根，则可的11、已知三个正整数

,,

的最大公约数为3，且满足

xy2xy2

，则

x

.13、已知

,b

均为整数，且恒有

(x)(10)xx

，则整数

a

＝.文档

实用标准文案12、已知

,b

为整数，且满足

aa

，求

的值.C组14、已知正整数

满足

21

（

为正整数求

的值.15、方程

x

2

xyxy2