2021届北京市朝阳区高三上学期期中考试质量检测数学试题

北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题，每小题4分，共40分｡在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B2.已知则sin2x=（）A. B. C. D.【答案】B3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C4.如图，在△ABC中，D是BC的中点.若则（）A. B. C. D.【答案】C5.“lna>lnb”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A6.已知函数的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π，则f(x)的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】D7.在△ABC中，AB=4，AC=3，且则（）A.-12 B.-9 C.9 D.12【答案】B8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(∞，0]时，则（）A. B.1 C. D.【答案】B9.已知函数若存在实数m，使得成立，则实数a的取值范围是（）A.[-1，+∞) B.(-∞，-1]∪[3，+∞) C.[-1，3] D.(-∞，3]【答案】C10.已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题，每小题5分，共25分11.已知向量，，若，则实数________.【答案】612.已知，则的最小值为________，此时x的值为________.【答案】(1).(2).13.在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m³)随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a=_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.【答案】(1).(2).14.设是公差为d的等差数列，为其前n项和.能说明“若d>0，则数列为递增数列”是假命题的一组和的值为________.【答案】（满足均可）15.公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B在以线段AC为直径的圆O上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB，点F为EC的中点.设OA=给出下列四个结论:①②AB=2rsinα;③CF=r(1-cosα);④其中，正确结论的序号是________.【答案】①③④三､解答题共6小题，共85分｡解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程｡16.已知函数（1）求及f(x)的最小正周期;（2）若求f(x)的值域.【答案】（1），最小正周期是；（2）．（1），∴，最小正周期为；（2）时，，，∴．值域为．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦型三角函数的周期，值域，掌握正弦函数的性质是解题关键．解题方法是利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式．17.已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前n项和.条件①:；条件②:；条件③:【答案】选择条件①和条件②：（1）设等差数列的公差为，，则，；（2）设等比数列的公比为，，，解得，设数列的前n项和为，.选择条件①和条件③：（1）设等差数列的公差为，，则，；（2），设等比数列的公比为，，，解得，设数列的前n项和为，.选择条件②和条件③：（1）设等比数列的公比为，，，解得，，设等差数列的公差为，，又，故，；（2）设数列的前n项和为，由（1）可知.18.在△ABC中，AB=2，AC=3.（1）若B=60°，(i)求BC;(ii)设D是边BC上一点，且∠ADC=120°，求;（2）若AE是△ABC的内角平分线，求AE的取值范围.【答案】（1）(i)；(ii)；（2）．（1）(i)由余弦定理得，解得（舍去）；(ii)∠ADC=120°，则，又，∴是等边三角形，，∴，在中，，∴．（2）∵是角平分线，∴，设，则，由得．由余弦定理得，，又，∴，，∵．∴，∴．19.已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).（1）当时，求函数f(x)的极值;（2）若不等式对任意x>0恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）极小值为1，无极大值；（2）（1）函数的定义域为，当时，.由，得.所以，在上单调递减，上单调递增，所以，函数的极小值为，无极大值.（2）取,求导得，，所以，在上有，单调递增；在上有，单调递减；则，所以，在上，有，所以，当上时，，对，恒成立，即对，恒成立，由于,故，所以，对，恒成立，令，即，，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，所以，，即在上有，于是，在上单调递增，在上单调递减，，于是可得，所以，的取值范围是20.已知函数b∈R).（1）当时，判断函数f(x)在区间内的单调性;（2）已知曲线在点处的切线方程为(i)求f(x)的解析式;(ii)判断方程1在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由.【答案】（1）单调递减函数；（2）(i)；(ii)3个，理由见解析.（1）当时，求得，进而得到，即可求得函数的单调性；（2）(i)求得函数的导数，求得，得到，求得的值，进而求得的值，即可求得函数的解析式；(ii)令，求得，分，和三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解.【详解】（1）当时，，可得，因为，所以，即，所以函数在区间上为单调递减函数.（2）(i)由函数，可得，则因为函数在点处的切线方程为，所以，解得，当，代入切线方程，可得，所以函数的解析式为.(ii)令，则，①当时，可得，单调递减，又由，所以函数在区间上只有一个零点；②当时，，可得恒成立，所以函数在区间上没有零点；③当时，令，可得，所以在区间单调递增，，所以存在，使得在上单调递增，在单调递减，又由，所以函数在上有两个零点，综上可得，方程在上有3个解.21.已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数，()使得，则称数列是“S数列".（1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由;（2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列";（3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立.【答案】（1）是“S数列"；理由见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解.（1）因为显然是以为首项，以为公差的等差数列，所以其前项和为，则对任意正整数，都有当时，，即存在，使得；当正整数时，取，，则，都是正整数，且，则；综上对任意的正整数，存在正整数，()使得，所以数列是“S数列"；（2）由且可知，当时，有，当时，；若数列是“S数列"，则对任意的正整数，存在正整数，()使得，即对任意的正整数，存在正整数，()使得，当时，对于任意的正整数，都有为奇数；而对于任意的正整数，()，都有和为偶数，即为偶数；因此；所以数列不