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文档简介
本章小结知识回顾问题1
阅读课本,绘制本章知识结构图.C(α-β)C(α+β)C2α三角恒等变换S(α-β)以-β代βS(α+β)以α代βS2α诱导公式五或六T(α-β)T(α+β)T2α2cos2α=1+cos2α2sin2α=1-cos2α利用sin2α+cos2α=1cos2α=2cos2α-1cos2α=1-2sin2α
以-β代β以α代β以α代β以
代α
知识回顾问题2
向量在三角恒等变换中的有哪些应用?
由向量的数量积推导出两角差的余弦公式,以这个公式为基础,根据和、差、倍、半角的联系,用逻辑推理的方法得到其他公式.问题3
为什么说两角差的余弦公式是最基本的公式?因为两角差的余弦公式是推导其他公式的依据.知识回顾问题4
两角和与差的正弦、余弦、正切公式有哪些?sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ,tan(α±β)=
知识回顾问题5
二倍角的正弦、余弦、正切公式有哪些?sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=
知识回顾问题6
有关公式的逆用、变形有哪些?(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2.(2)cos2α=
,sin2α=
;
知识回顾★使用说明:本资源为《三角恒等变换》的专题总结,归纳整理了该知识点的相关概念,带领学生梳理知识脉络,加深理解.注:此图片为“微课”缩略图,如需使用资源,请于资源库调用.★资源名称:【知识小结】三角恒等变换总结.新知探究问题7
三角函数求值主要有哪些类型?三角函数求值主要有三种类型,即:(1)给角求值,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.(2)给值求值,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)给值求角,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.新知探究问题8
如何进行三角函数的化简与证明?三角函数式的化简与证明,主要从三方面寻求思路:一是观察函数特点,已知和所求中包含什么函数,它们可以怎样联系;二是观察角的特点,它们之间可经过何种形式联系起来;三是观察结构特点,它们之间经过怎样的变形可达到统一.新知探究问题9
三角恒等变换的应用有哪些?如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.比如求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题,一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式求解.例1
已知
,且
<α<π,求
的值.初步应用∴tanα=-3,
解析:
∵α∈
,∴cosα=
,
初步应用注意
与
之间的关系,再结合二倍角的正弦公式及两角和差的公式.
方法总结例2
初步应用
解法一:原式
例2
初步应用
解法二:原式
初步应用三角函数式的化简,主要从三方面寻求思路:一是观察函数特点,已知和所求中包含什么函数,它们可以怎样联系;二是观察角的特点,它们之间可经过何种形式联系起来;三是观察结构特点,它们之间经过怎样的变形可达到统一.方法总结
初步应用(1)求函数f(x)的最小正周期.(3)画出函数g(x)=f(x),x∈
的图像,由图像写出g(x)的对称轴和对称中心.(2)求函数f(x)的单调递减区间.
(1)T=
=π.
(2)
故函数f(x)的单调递减区间为
,(k∈Z).
初步应用(3)函数g(x)=f(x),x∈
的图像如图所示:
从图像上可以直观看出,此函数没有对称轴,有一个对称中心,对称中心为
(1)求函数f(x)的最小正周期.(3)画出函数g(x)=f(x),x∈
的图像,由图像写出g(x)的对称轴和对称中心.(2)求函数f(x)的单调递减区间.
初步应用追问:将例3的条件变为“已知
f(x)=
”,试求f(x)≥2的x的取值范围.
解析:f(x)
∵f(x)≥2,
∴kπ≤x≤kπ+
(k∈Z).
∴f(x)≥2的x的取值范围是{x|kπ≤x≤kπ+}.
初步应用三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.方法总结归纳小结(2)三角恒等变换的基本技巧是什么?(3)三角恒等变换的基本目标是什么?问题10
(1)三角恒等变换的基本方向是什么?(1)基本方向是变角、变函数、变结构.(2)基本技巧是弦切互化,异名化同名,异角化同角(角分析法);升幂或降幂,分式通分,无理化有理,常数的处理(如1的代换);变量集中(引进辅助角).
归纳小结(2)三角恒等变换的基本技巧是什么?(3)三角恒等变换的基本目标是什么?问题10
(1)三角恒等变换的基本方向是什么?(3)基本目标是复角化单角,异名化同名,转换运算形式试着相约或相消,达到项数尽量少,种类(名称)尽量少,次数尽量低;分母中尽量不含三角函数;尽可能不带根号,能求出值的求出值来,绝对值要讨论.1目标检测DB.–1D.2(2020年全国Ⅲ卷)已知
,则tanθ=()A.–2C.1整理得t2-4t+4=0,令t=tanθ,t≠1,则2t-
=7,
解得t=2,即tanθ=2.
解析:因为
故
2目标检测BB.D.
A.C.则
解析:由题意可得:
则
即
3目标检测(2020年北京卷)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值为_______________________.解析:f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx
解得sinφ=1,故可取φ=
.
(φ=2kπ+
,k∈Z均可)
4目标检测
(2020年江苏卷)已知
,则sin2α的值是________.
∴
解析:∵
∴
5目标检测(2019年江苏卷)已知
,则
的值是________.
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