【教学】《本章小结》教学

本章小结知识回顾问题1

阅读课本，绘制本章知识结构图．C（α－β）C（α＋β）C2α三角恒等变换S（α－β）以－β代βS（α＋β）以α代βS2α诱导公式五或六T（α－β）T（α＋β）T2α2cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α利用sin2α＋cos2α＝1cos2α＝2cos2α－1cos2α＝1－2sin2α

以－β代β以α代β以α代β以

代α

知识回顾问题2

向量在三角恒等变换中的有哪些应用？

由向量的数量积推导出两角差的余弦公式，以这个公式为基础，根据和、差、倍、半角的联系，用逻辑推理的方法得到其他公式．问题3

为什么说两角差的余弦公式是最基本的公式？因为两角差的余弦公式是推导其他公式的依据．知识回顾问题4

两角和与差的正弦、余弦、正切公式有哪些？sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ，tan（α±β）＝

知识回顾问题5

二倍角的正弦、余弦、正切公式有哪些？sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝

知识回顾问题6

有关公式的逆用、变形有哪些？（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；（3）1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2．（2）cos2α＝

，sin2α＝

；

知识回顾★使用说明：本资源为《三角恒等变换》的专题总结，归纳整理了该知识点的相关概念，带领学生梳理知识脉络，加深理解．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．★资源名称：【知识小结】三角恒等变换总结．新知探究问题7

三角函数求值主要有哪些类型？三角函数求值主要有三种类型，即：（1）给角求值，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．（2）给值求值，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．（3）给值求角，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．新知探究问题8

如何进行三角函数的化简与证明？三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．新知探究问题9

三角恒等变换的应用有哪些？如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．比如求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式求解．例1

已知

，且

＜α＜π，求

的值．初步应用∴tanα＝－3，

解析：

∵α∈

，∴cosα＝

，

初步应用注意

与

之间的关系，再结合二倍角的正弦公式及两角和差的公式．

方法总结例2

初步应用

解法一：原式

例2

初步应用

解法二：原式

初步应用三角函数式的化简，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．方法总结

初步应用（1）求函数f(x)的最小正周期．（3）画出函数g(x)＝f(x)，x∈

的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．（2）求函数f(x)的单调递减区间．

（1）T＝

＝π．

（2）

故函数f(x)的单调递减区间为

，(k∈Z)．

初步应用（3）函数g（x）＝f（x），x∈

的图像如图所示：

从图像上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心为

（1）求函数f(x)的最小正周期．（3）画出函数g(x)＝f(x)，x∈

的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．（2）求函数f(x)的单调递减区间．

初步应用追问：将例3的条件变为“已知

f(x)＝

”，试求f(x)≥2的x的取值范围．

解析：f(x)

∵f(x)≥2，

∴kπ≤x≤kπ＋

（k∈Z）．

∴f(x)≥2的x的取值范围是{x|kπ≤x≤kπ＋}．

初步应用三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．方法总结归纳小结（2）三角恒等变换的基本技巧是什么？（3）三角恒等变换的基本目标是什么？问题10

（1）三角恒等变换的基本方向是什么？（1）基本方向是变角、变函数、变结构．（2）基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角（角分析法）；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理（如1的代换）；变量集中（引进辅助角）．

归纳小结（2）三角恒等变换的基本技巧是什么？（3）三角恒等变换的基本目标是什么？问题10

（1）三角恒等变换的基本方向是什么？（3）基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类（名称）尽量少，次数尽量低；分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．1目标检测DB．–1D．2（2020年全国Ⅲ卷）已知

，则tanθ＝（）A．–2C．1整理得t2－4t＋4＝0，令t＝tanθ，t≠1，则2t－

＝7，

解得t＝2，即tanθ＝2．

解析：因为

故

2目标检测BB．D．

A．C．则

解析：由题意可得：

则

即

3目标检测（2020年北京卷）若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为_______________________．解析：f（x）＝cosφsinx＋（sinφ＋1）cosx

解得sinφ＝1，故可取φ＝

．

（φ=2kπ＋

，k∈Z均可）

4目标检测

（2020年江苏卷）已知

，则sin2α的值是________．

∴

解析：∵

∴

5目标检测（2019年江苏卷）已知

，则

的值是________．