【教学】《公式法 》示范教学

4.3公式法

第1课时第四章因式分解一、

学习目标1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)=a2－b2

的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。

2.会用平方差公式分解因式。二、

情境导入本图片是微课的首页截图，本微课资源前半部分讲解了利用平方差公式进行因式分解，并通过讲解实例巩固知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】公式法因式分解.问题1：请同学们观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同的特征？答：因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．二、

情境导入问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．答：多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)；9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．二、

情境导入事实上把乘法公式(a＋b)(a－b)=a2－b2反过来，就得到平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)．二、

情境导入1．平方差公式的再认识问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形式．现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？三、

探究新知公式

，从左向右用来处理特殊的整式乘法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．三、

探究新知问题2：你能给平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)一个直观的解释吗？答：如图1，在边长为a的大正方形左下角挖去一个边长为b的小正方形后剩下的图形面积为a2－b2；三、

探究新知将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧（如图2），图1

图2所以有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．在图2中阴影的面积为(a＋b)(a－b)．三、

探究新知（2）9a2－

＝(3a)2－(b)2＝(3a＋

b)(3a－

b)．例1分解因式：（1）25－16x2；（2）

9a2－解：（1）25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，再利用平方差公式分解因式；在（1）中公式中的a指代5，b指代4x；在（2）中公式中的a指代3a，b指代

b．四、

典例精讲例2把下列各式分解因式：（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．解：（1）9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n)．四、

典例精讲

（2）2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)．点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a在这里指代的是3(m＋n)，b指代的是m－n；四、

典例精讲（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．四、

典例精讲例3判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2．解：不正确．本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)．四、

典例精讲解：不正确．错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成(a＋1)(a－1)．正确解答应为a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．例3判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)·(a2－1)．四、

典例精讲1．判断正误．（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)；

(

)（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；

(

)（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；

(

)（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)．

(

)×××√五、

课堂练习2．把下列各式分解因式．（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)；（2）(m－a)2－(n＋b)2

＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)]

＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；五、

课堂练习（3）x2－(a＋b－c)2

＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]

＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；（4）－16x4＋81y4

＝(9y2)2－(4x2)2

＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2)

＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．五、

课堂练习

3．把下列各式因式分解：（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；解：36(x＋y)2－49(x－y)2＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)]＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y)＝(13x－y)(13y－x)；五、

课堂练习

3．把下列各式因式分解：（2）(x－1)＋b2(1－x)；解：(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1)

＝(x－1)(1－b2)

＝(x－1)(1＋b)(1－b)；五、

课堂练习

3．把下列各式因式分解：（3）(x2＋x＋1)2－1．解：(x2＋x＋1)2－1

＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1)

＝(x2＋x＋2)(x2＋x)

＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．五、

课堂练习1．我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．第