离散数期末复习3

复习1中包含了，第1到第5章的内容：1：命题、命题逻辑联结词命题变元、合式公式重言式、永真蕴含、恒等式带入规则、替换规则对偶原理范式及其判定问题命题演算的推理2：谓词、个体、量词合式谓词公式自由变元和约束变元含有量词的等价式和永真蕴含式谓词逻辑中的推理理论前束范式、斯柯林范式3：集合的概念与表示方法集合的基本运算包含与排斥原理多重序元迪卡尔乘积4：多重序元与笛卡尔乘积关系的基本概念关系的性质关系的表示关系的运算合成关系的关系图、关系矩阵特殊关系：等价关系和划分，相容关系和覆盖，偏序关系和哈斯图等。5：函数的基本概念函数的性质函数的合成、合成函数的性质特殊函数反函数、特征函数基数二元运算１、求下列公式的主范式，并判定公式的属性。例1.1(pqr)(pqr)(pq)解：上式=(pqr)(pqr)(pq)(rr)=(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)=m7,m3,m1,m0其中表示析取。该公式含三个变元，与其等价的主析取范式四项，所以它是可满足的。例1.2(p(qr))(p(qr))解：上式＝(p(qr))(p(qr))=(pq)(pr)(pq)(pr)=(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)=M4,M5,M6,M2,M3,M1其中表示合取。该公式是可满足的。

例1.3刚进入大学的小张与寝室里的其他三人聊天，这三个人根据小张的口音分别作出下述判断：甲说：小张不是苏州人，是上海人。乙说：小张不是上海人，是苏州人。丙说：小张既不是上海人，也不是杭州人。小张听后，笑曰：你们三人有一人全说对了，有一人全说错了，还有一人对错各半。试用命题逻辑推断小张究竟是哪里人。解：首先符号化：设：Ｐ：小张是苏州人Ｑ：小张是上海人Ｒ：小张是杭州人根据题意有：甲：PQ,乙：QP,丙：QR分析小张只可能是其中一个城市的人或者不是这三个城市的人。

根据甲乙丙三人的说话内容可以判断：丙至少说对了一半，因此甲或乙必有一人全错了。若甲全错了，则有QP即乙全对了。若乙全错了，则甲全对。所以丙必是一对一错。将小张的话符号化为：((PQ)((QR)(QR)))((QP)((QR)(QR)))⇔T化简得：(PQR)(PQR)小张不可能既是苏州人又是杭洲人，所以只能是上海人。例1.4甲乙丙丁４人中仅有两个人代表单位参加了市里的桥牌比赛，关于谁参加比赛，下列４种说法都是正确的：１甲和乙两人中有一人参加；２若丙参加，则丁必参加；３乙和丁两人中至多参加一人；４若丁不参加，则甲也不参加。试判断哪两个人参加了比赛。解：符号化命题如下：设Ａ：甲参加了比赛；Ｂ：乙参加了比赛Ｃ：丙参加了比赛Ｄ：丁参加了比赛依题意将1,2,3,4分别符号化为：((AB)(AB))(CD)(BD)(DA)⇔T

将上式化为主析取范式应有24=16个极小项即m0000,m0001,m0010,m0011,m0100,m0101,m0110,m0111,m1000,m1001,m1010,m1011,m1100,m1101,m1110,m1111根据题意去掉不合法的得到的结论是甲和丁参加了比赛。例1.5当p，q，r，s四个人考试成绩出来后，有人问四个人中谁的成绩最好，p说“不是我”，q说“是s”，r说是“q”，s说“不是我”。四个人的回答只有一个人符合实际，问哪一位的成绩最好。若有两人成绩并列最好，是谁？解：令p:p的成绩最好；q：q的成绩最好；r：r的成绩最好；s：s的成绩最好。若只有p回答正确：psqs若只有q回答正确：psqs若只有r回答正确：psqs若只有s回答正确：psqs由于(psqs)(psqs)(psqs)(psqs)=(pqs)(pqs)=(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)若只有一个人成绩最好，必是pqrs为真，即p成绩最好；若有两个人成绩并列最好，可能是p,s或者p,r练习：利用主范式判断下式的类型(p→q)(q→r)→((pq)→r)结果=M4,M6,M2该公式是可满足的２、仰对下寒面的半问题间首先庄符号截化，筛然后诉使用劳８条恐规则艘进行易有效沉推理荒证明鞋。2.摇1每一域个自产然数雅不是域奇数场就是踩偶数皂，自杂然数使是偶猜数当投且仅址当它净能被2整除爹，并套不是之所有誓的自志然数曲都能然被2整除苗。因岛此，幕有的福自然怖数是资奇数黑。解法1：首怨先定框义如撤下谓弟词：N(择x)鼻:x是自考然数Q(造x)码:x是奇耗数E(咱x)征:x是偶办数I(众x)极:x能被2整除于是伍问题丙可用沈符号巾表述对为：(∀耳x)氧(N(价x)(Q(金x)∇E(勇x)极))笋,(∀堡x)涨((N(肿x)E(痰x)起)⇌I(斧x)谨),(∀贼x)偿(N(戏x)I(亿x)么)，⇒(∃x铸)(N(啄x)Q(公x)西)推理惜证明牌过程森如下蚀：1(∀x妻)(N(纤x)I(异x)同)邮P规则2(∃x肃)(N(冠x)踪蝶I(肚x)却)网T规则昆和13墓N(就a)咸I(担a)掀ES规则航和24悔N(够a)森T规则念和35I(晨a)恢T规则以和36(∀粮x)屈(N(券x)(Q(坟x)∇E(缩慧x)伪))旅P规则7粘N(杏a)(Q(匹a)∇E(添a)伏)麻US规则笔和６8每Q(辟a)∇E(踩a)T规则译３和县７9(∀终x)番((N(通x)E(厌x)软)⇌I(脚x)施)稻P规则10骨(柱N(虹a)E(族a)祸)⇌I(跪a)US规则输和９11(N霸(a蓝)E(爱a)汁)色T规则5和1012N(难a)E(白a)驻T规则绿和1113E(汇a)惊T规则4和1214忆Q届(a摊)父T规则8和1315周N政(a译)Q(掘a)鱼T规则4和1416(∃x学)(N(块x)Q(齿x)封)槐EG规则体和15问题党得证彻。解法2：采咸用反晚证法退。证爆明过刃程如涛下1(∀诵x)籍(N(载x)I(普x)景)P规则2(∃x技)(N(航x)刘I(虚x)毛)兄T规则委和13达N(课a)甜I(痛a)通E杏S规则厦和24曾N(步a)瞧T规则岔和35I(东a)数T规则识和36(∃x习)(N(验x)Q(忘x)悠)都P规则(假设鸽前提)7(∀废x)夏(N(麻x)真Q(石x)赔)幻玉T规则词和68N(真a)丑Q(处a)遮U就S规则凡和７9Q(秒a)托T规则鹅４和810(∀个x)嫂(N(薄x)(Q(借x)∇E(衬x)蜓))P规则11屠N香(a科)(Q(腥a)∇E(暴a)泻)适T规则须和1012婚Q夹(a怜)∇E(呈a)颈T规则4和1113躺E作(a傅)劈燕T规则9和1214(∀示x)铸((N(功x)E(驶x)钱)⇌I(夕x)鞋)P规则15舅(特N(泥a)E(倾a)摊)⇌I(壁a)US规则初和14诊16乖N疲(a稠)E(旱a)笋T规则4和1317壤I齿(a访)促T规则15和1618跃I腥(a功)饲I(榆a)涛T规则5和1719(∃x嗽)(N(返x)Q(屿x)伸)魄F规则6和18问题胖得证攀．例2.锦2天鹅苗都会耐飞，至而癞隐蛤蟆印不会努飞；所以宣癞蛤叔蟆不焰是天测鹅。解：暂令TE育(x既):段x是天圣鹅l(敲x)榴:x是癞撇蛤蟆F(稍x)伶:x会飞于是令问题假可符丸号化绢为：(∀英x)庄(TE酷(x沿)F(鸟x)笔),(∀装x)原(l(挑x)F(惧x)急)⇒(∀裙x)鸽(l(潮x)TE启(x畅))举.证明补过程蚕如下班：1(∀拳x)坊(l(途x)TE驴(x烦))P规则(假设滩前提)2(∃x燥)(l(递x)TE怪(x且))T规则顿和１3l(寒a)TE朵(a厅)ES规则24l(期a)T规则35TE唉(a捆)T规则36(∀地x)低(T递E(对x)F(薯x)说)P规则7骡T蒙E(狂a)F(触a)粘U稿S规则寻和68重F绞(a薯)论T规则5和79鸡(∀宣x)文(l北(x零)F(扰x)醋)井P规则10渐l涛(a垄)F(疤a)疏U悲S规则统和911俱F(从a)l(铅a)堤T规则把和1012l(姥a)灾T规则8和1113淡l竞(a惜)铁l(晶a)暖T规则4和1214廉(煎∀x旨)(袭l(袜x)TE缓(x蔑))F规则繁１和13问题弱得证膨。例2.斩3所有责牛都知有角池，有凡些动忆物是蔽牛，距所以蔬有些搜动物站有角解：折设Ｎ(x邮):锯x是牛Ｊ(x征):棒x有角A(宿x)寸:x是动睁物于是星问题劣可描替述成轨：(∀粱x)吉(Ｎ(x和)→Ｊ(x理))擦,(∃x努)(A(扣x)∧Ｎ(x映))⇒(∃录x)袄(A(策x)∧Ｊ(x婚))证明这：１、(∃x粥)(A(占x)∧Ｎ(x浑))P规则２、A(融a)∧Ｎ(a坑)萄ES规则痛和１３、A(鉴a)T规则玩和２４、医Ｎ(a嘉)T规则春和２５、(∀莲x)票(Ｎ(x伶)→Ｊ(x叛))P规则６、涛Ｎ(a饼)→Ｊ(a球)闸U追S规则主和５７、慢Ｊ(a导)T规则山４和做６８、A(林a)∧J(虽a)T规则3和7９、(∃轧x)券(A(目x)∧Ｊ(x易))EG规则污和８求解绣这一库类问使题时困注意域：把衡实际块问题制符号污化时漂，全艇称量行词对赠应逻滩辑联棉结词至“”距，存舞在量谣词对膊应逻证辑联骡结词岸“鹅”；饿推论狸时保填证ES规则镇的首招先使拳用。暗使用UG规则领时，指由ES规则址引入妖的客咱体不判能进斥行推贷广，森即不达能加啄全称厘量词如。３、肃关系讽是笛敬卡尔辜积的方子集弄，因娘此关光系是吸集合或，是础以序章偶为暑元素捕的集管合。绢关系剩可以谈用关艰系图烫和关寄系矩伤阵来叼表示范。关连系是之集合快，所忧以集漫合上香的运雹算可排以平践移到绑关系葛上来拒，但水关系应还有昌自己妈独特伪的运滑算：西求逆砌运算梳，复否合运便算(也叫曾关系家的合僚成运晴算)，关就系的犹闭包积运算忆等。设Ｒ疲为X到Y的二鲜元关缓系,S为Y到Z的二越元关义系：RoS竹={驱<x散,z耻>|粗(∃y贯)<x助,y袜>∈R<牛y,平z>∈S}r(延R)题=R∪Ixs(素R)粪=R∪R颠~t(疲R)瓦=社∪i=蛮1nRi关系辞的性倚质：1)狡R是自鼻反的称＝(∀x吹)(叠x∈X汽<志x,杰x>忆∈R舟)2)R是反遮自反存的＝(∀x礼)(谈x∈X目<左x,匙x>洪∉R鹊)3)R是不上自反荣的(∃x斑)(塌∃y掠)(罢x,校y∈叹X宜<x残,x哭>∈孝R采<y健,y借>∉源R)4)池R是对染称的析＝(∀x脾)(∀y陶)(园x,捆y∈X榨极<x适,y暮>∈旅R您<响y,猎x>辆∈R猫)5)扔R是反鄙对称表的=(∀x说)(∀y的)(爱x,径y∈X抖<苦x,虑y>圆∈R惑斧<y惹,x副>∈胆R矮x=担y)6)Ｒ是巴不对脉称的=(∃x1)(∃y1)(∃x2)(∃y2)(霸x1,y1,x2,y2∈X矮<脖x1,y1>∈侄R至<华y1,x1>∈捆R们<装x2,y2>∈践R油<y2,x2>∉R)7)贪R是可押传递荷的=(∀x镰)(僻∀y什)(碌∀z煮)(x宣,y根,z∈X絮<反x,惭y>变∈R肿<帽y,顶z>兼∈R样<食x,躺z>览∈R疗)8)脱R是不塑可传武递的=(∃x园)(∃y偷)(∃z况)(x,余y,嫩z∈R<x庄,y帽>∈虾R乎<y看,z许>∈不R往<x珍,z蝴>∉R)3-寻1设A=卡{1谣,2鲜,3坚},旋R是ρ(A逐)上的库二元兔关系胀，且R=仰{<弦a,恋b>距|a真,b∈ρ(A仙),使a∩编b≠Φ},则R不满煮足下息列哪贯些性排质？裂为什捆麽？1)自反蜡性2)反自葬反性3)对称乎性4)反对妨称性5)传递蚁性解：1)因为Φ∈迹ρ(A夏)，但Φ∩Φ＝Φ所以<Φ,Φ>∉R，即肺Ｒ不胖满足秤自反铲性。2)因为{1条}∈ρ(A是)但{1蹈}∩斩{1绢}=阳{1吵}≠Φ即<{吃1}汪,{菊1}拳>∈R，因筛此Ｒ刷不是锯反自侦反的税．3)对任研意x,捆y∈ρ(A析),若x∩顽y≠Φ,即<x绘,y煮>∈R,则y∩吨x≠Φ即<y钻,x布>∈R即R满足候对称双性。4)取x=霞{1彩,2读},倘y=胀{1扇,3眨}显然x∩辛y=杂{1睡}=候y∩摩x即存胳在x,业y并且<x劈燕,y疗>∈R<y估,x姿>∈R但x≠葵y即Ｒ辛不是狐反对街称的啊。5)存在x=猾{1纽奉},形y=彩{1匠,2唱},答z=堂{2惹}并且x,辆y,面z∈ρ(A长)<评x,宅y>∈R<递y,伴z>∈R但<x胆,z惧>∉R即R不满额足可钳传递矿性。3-怖2设S为集茂合A上的题二元熊关系册，证吩明S是自哄反的植，传采递的联，则So苏S=毙S。其卧逆为故真吗君？证明齐：关感系是丹序偶令为元概素的西集合呀，所眯以我貌们可乱以把译证集捆合相涌等的狐方法烂用到划证关斥系的头相等驼上来拴。即魄证So夕S⊆SS福⊆So餐S即证闸明了So链S=膏S。对任检意x,畅y,饥z∈A和<x统,z绵>∈So学S,由复候合关恼系的杆定义拾知应询有<x衫,y她>∈S和<y章,z昂>∈S,而S是可爽传递肤的，透于是<x鹅,z离>∈S,由x,肃z的任备意性袖知So厌S⊆S，又Ｓ受是自严反的添和传刃递的涛，所扁以对悄任何<x毫,x半>∈S和<x面,y石>∈S应有<x松,y鸽>∈So宝S即S墨⊆So采S,于是瓦有So桃S=谈S。其逆珍不一舌定为舒真，建例如拘设A=球{1佩,2枯,3匪}S=位{<剑1,捡2>板,<姥2,向2>斩,<辈1,姿1>拍}我们个做Ｓ志的关颈系矩习阵如灶下：1矛2山31孟1搬1寺0Ms=絮2氏0撒1雪030腥0拆0于是MSo烛S=MsMs=请1帖1银0并1耍1岁00吸1浩00耐1带00跃0磨00往0街01托1卖0=汇0树1喜0王=应Ms0各0疫0显然湖Ｓ不按是自灿反的训，主毛对角屈线不银全是涌１。例3-饿3设R是复封数集轮合C上的核关系忆，定升义如客下：R=扛{<单x,惰y>阵|爽x,璃y∈C且x-吸y=胶a+化bi，其简中，a,裕b均为岸非负拦整数}试确舟定R的性巾质，克并说春明原皂因。解:丽(1华)对于症任意x∈C，因熟为x-者x=警0+岛0i，所镇以<x姻,x堪>食∈R，因毫此R是自唇反的殃；(2些)由(1略)知,<择1,另1>饱∈钉R，因春此R不具钱有反责自反团性；(3隶)取x=原3+娇2i壮,僵y=畏2+毙i，此国时x-盛y=撑1+律i，<x饭,y浪>助∈R，但助是y-伴x=总-1他+(栽-1埋)i，<y泥,x右>不属庄于R，因校此R不是询对称所的；(4作)任取x,挠y∈C，若<x脂,y吹>烂∈R且<y晒,x押>坟∈R，x-盲y=薪a钉+b逝i,孩y嘴-x轮=-枕a+剂(-庆b)撞i，则a,杀b,辨-a棉,-浅b都必指须是程非负调整数磨，于进是a=究b=踢0，因担而，x=油y。R是反梳对称茅的。(5宴)对于独任意避的x,垒y,治z∈C，若<x恶,y溪>里∈R且<y苍,z没>名∈R，则x-什y=依a+锅bi醉(a和b都是蕉非负饭整数),娱y既-z连=c酒+d欢i(别c,腥d都是篇非负谎整数)，于株是x-己z=贵(慈x-殃y)坊+(桃y-认z)亦=(牌a+烈c)孟+(色b+负d)置i，由弊于a+蜓c,鬼b+疲d都是观非负表整数夹，因售此<x损,z短>绸∈R吼.由x,扫y,猛z取值洒的任斜意性伐可知镇，R是可烟传递棉的。故R具有格自反疫性、愉反对驴称性烤、可认传递页性。3-定4确定扶三角写形之虫间的户相似喝关系总具有耍哪些料性质伪。解：孟自反蚕性、钓对称桂性、榴可传容递性稿。3-译5设R和S是集安合A＝{a,b,c,d}上的苏关系祥，其抗中R＝{<a,a>,组<a,c>,胳<b,c>,链<c,d>}混,S＝{<a,b>,西<b,c>,好<b,d>,智<d,d>}雁.计算R◦S,R∪S,R－1,S－1◦R－1解法权１：R◦S={<钢a,繁b>珠,<腊c,帅d>逼}R∪S={<a,a>,心<a,c>,婶<b,c>,榨<c,d>,呀<a溪,b命>,兆<b准,d史>,溪<d规,d拜>}R－1={岔<a蔑,a而>,融<c仇,a加>,岩<c辩,b慎>,尚<d歉,c饺>}S－1◦R－1={盟<b厦,a倘>,脱<d估,c毫>}解法2通过拉矩阵案求a绳b墨c扮da荐1斥0蛋1料0b键0雾0葬1御0MR=c峰0已0班0壳1d毫0脏0广0昏0a房诚b嚼c座da林0猪1衣0菌0b苗0虽0穿1撞1Ms=c0康0基0纯0d队0摧0同0暮1R◦S=MRMs=1亏0送1染0兆0堤1厕0筝00隔0岂1带00扔0木1舌10刃0拖0娇1鸭0佩0幸0脑00走0窝0炊0业0婆0然0牲10催1钟0贞0=0量0盲0锡00辱0钳0汁10图0怎0罢0R∪S=MR∨Ms=1紫0助1稿0坟0饲1尸0透00顾0隆1敞0∨0喜0淘1粮10絮0艺0危1卫0鼻0氏0葡00路0级0值0绣0裕0已0贴11碧1并1志0=0合0德1桂100邻0乏10辨0悄0嗓1R－1=(拐MR)T=1匀0遍0糖00武0尸0府01渗1誓0筐0001爸00添0省0肆01独0顺0盾0S－1=(苍MS)T=0算1乒0皱00制1骑0窑1S－1◦R－1=MS－1MR－1=0引0游0名0漫1踩0腊0佩01阿0瓣0胶0妇0澡0压0倘00忍1熔0议01沟1纵0离00冷1营0肾10稼0饺1绞00000=1降0成0狗00露0板0备00论0爷1凡03-愉6设R和S分别轮是集泛合A和集色合B上的色等价烦关系药，令T=女{<痛<x1,y1>,胳<x2,y2>>注|声<x1,x2>∈赶R智,欺<y1,y2>∈袖S}试证历明：T是A×剑B上的荐等价骄关系衰。证明德：(1戴)任取<x携,y管>∈咐A×才B，由倡于R和S是等张价关贼系，绪因此警，<x驾,x傲>∈霸R,肃<民y,役y>央∈S，于筑是<<苹x,招y>住,<姻x,欧y>拴>∈聋T，于吹是T是自驼反的飘；(2摘)任取<x1,y1>,爸<x2,y2>∈号A×主B，若<<悠x1,y1>,呈<x2,y2>>越∈T，则<x1,x2>∈冠R唇,担<y1,y2>∈梁S，由衔于R和S都是钉等价仿关系拔，因滩此<x2,x1>∈蚀R，<y2,y1>∈翁S，于高是可薄得<<扬x2,y2>,丹<x1,y1>>躺∈T。由<x1,y1>,神<x2,y2>的任衬意性腊可知六，T是对宇称的兼；(3载)任取<x1,y1>,域<x2,y2>,曾<x3,y3>∈判A×摩B，若<<头x1,y1>,乏<x2,y2>>滑∈T且<<右x2,y2>,陈<x3,y3>>钞∈T，则<x1,x2>∈尼R斥,盟<y1,y2>∈笔S，<x2,x3>∈塔R辞,袋<y2,y3>∈塘S。由茎于R和S是可暑传递仙的，关因此<x1,x3>∈科R徐,溪<y1,y3>∈狂S。于融是可乓得<<歉x1,y1>,何<x3,y3>>齐∈T。由<x1,y1>,贤<x2,y2>,缺<x3,y3>的任匠意性兵可知对，T是可宗传递雕得。综上衡所述筋，T是A×常B上的弯等价满关系垒。3-捡7设A=弓{a终,b巩,c遮,d扔}，R=岗{<毯a,峡c>汤,<财c,叛a>墓,<并b,倡d>样,<弱d,行b>袭}∪善IA，(1挽)验证R是A上的汤等价鸽关系致；(2资)求出匠商集A/礼R。解：(1脉)由于IA∈R，因芬此任计取x∈武A，<x筒,x刻>∈辉R，R是自僻反的啦；由裂于R=赔RT，因丢此R是对萄称的才；由乔于<a欧,c橡>∈泻R,毒<巷c,染a>赤∈R败,<萄a,爸a>届∈R脊,涛<c菊,c咳>∈旬R;序<券b,请d>随∈R备,托<d骄,b躺>∈爷R,滑<吓b,装b>朵∈R归,<尼d,涂d>旷∈R，因参此R是可言传递锡的。长因此R是A上的饭等价彩关系改。(2刘)由于[a蚕]R={拌a,逆c}穴=[漆c]R,油[b垒]R={腔b,斜d}呀=[芝d]R,因此A/跟R=类{[春a]R,[机b]R}=否{{糊a,责c}奖,{准b,姨d}凤}。3-糊8设R是偏蜜序关感系，冠指出条下列大运算暑后的花关系焦是否能是偏倘序关瞎系。R∪S,完R∩S,闸R遣-S痕,疗R⊕S,劝R◦S解：(1浴)取A=净{a纱,b慈},粪R惹={冻<a鸡,a活>,扫<b台,b箱>,显<a煤,b毙>}牲,系S=洞{<奥a,旨a>软,<浅b,庸b>阴,<忍b,经a>柿}，则R和S都是A上的鸣偏序退关系沾，而R∪S=稳{<业a,艰a>荒,<杯b,异b>钥,<信a,环b>宁,册<b挖,a磨>}不是弹反对或称的乞，R∪S不是A上的劈燕偏序堂关系澡。(2午)任取x租∈A容,由R和S是偏忠序关革系，币知<x者,x鲁>慰∈R疏,<附x,步x>煤∈润S,因此<x关,x块>叫∈肚R∩S,赔R∩S是自通反的捎；任琴取x,拘y践∈A沸,若<x守,y色>∈外R∩S,且<y箩,x颜>趴∈窗R∩S，则<x罚,y老>袭∈转R,婶<壮x,雷y>斗∈辅S届,<蓝y,徒x>闻∈袋R僵,浪<y桨,x务>墓∈部S，因计为R和S都是存反对劣称的呈，因盒此x=拿y，于坦是R∩S是反赵对称部的；(2圣)（续材）任用取x,恩y,者z短∈A聪,若<x犬,y看>∈测R∩S,且<y压,z钻>泡∈扫R∩S，则<x卖,y卸>住∈策R,捷<由x,幕y>条∈食S把,<倚y,方z>圣∈叉R忧,伶<y水,z蹄>雾∈辆S，因崭为R和S都是条可传针递的拍，因黎此<x牺,z妙>筒∈探R,求<x堵,z梨>每∈杰S，于访是<x歼,z愚>薯∈倚R∩S,蛮R∩S是可慕传递止的。昏综上凝所述恶，R∩S是A上的狸偏序除关系仍。(3则)例子演同(1拜)，R-夸S=奇{<介a,澡b>改}，不敌具有确自反我性，暑因此R-趟S不是A上的甲偏序伪关系约。(4龙)例子隙同(1雨)，R⊕S=既{<退a,透b>取,<格b,现a>萄}，不劣具有婆自反板性和宫反对闪称性宾，因骨此R⊕S不是A上的燥偏序垮关系荡。(5它)取A=插{a自,b妈,c钟},圆R跌={唇<a棋,b疼>,客<a星,c透>}∪IA,S驳={疤<求b,羞a>炕,史<b赢,c说>}∪IA,则R和S都是A上的非偏序词关系摄，而R◦S=伏{<圆a,逗b>擦,<影a,飘c>沾,<狭b,牺a>压,<仔b,签c>爷}，不忽具有太反对笋称性论，因菌此R◦S不是A上的朴偏序旗关系好。3-揭9设有扬函数f:短I刻→I厘(I表示碑整数艳集)，定厦义为f(肉x)咱=|贯x|荣-2夺x，试鹊问f是否片为内脊射(即单鼓射)，满楚射或惩双射决？解：托根据f的定巷义当x=肤0时，f(动0)绘=0赶-0亿=0当x>歼0时，f(底x)汉=x怀-2仅x=塘-x嗽(泡<0扩)当x<才0时，f(糠x)屠=-兴x-迷2x寒=-揪3x廊(谢>0抽)因此重，有弊如下险对应天关系心：x:歌……兴-姑3耗-挥2骗-1线0史1皇2酱…冷…f(扑x)炎:灰…剧…孟9去6固3它0朵-爹1咸-腿2虫……可知f是内转射，并不是貌满射嫂，不鹿是双洪射。3-库10设有奔函数g:研A敌→B骆,侵h:繁A臂→B，函音数f:慎B来→C，已缠知f◦逐g=独f◦自h，且f是单皱射，务试证蜡明g粥=搂h。证明踪蝶：任冲取x∈宣A，令g(梦x)良=b1,岁h(皮x)蜻=b2，则f◦锦g=苹f(次b1),渠f演◦h瓦=f推(b2)。由f◦宏g=筐f◦爪h可知待，f(斤b1)=由f(柜b2)。因为f是单捞射，害因此b1=b2，即g(杆x)河=h寇(x顾)。由x取值夫的任塔意性振可知耐，g域=终h3-炕11设有宫函数f:赌A佩→B和g:割B蛾→C，使画得g◦帖f是一茫个单吨射，陪且f是满乎射。改证明g是一两个单乌射。原举出遥一个岁例子数说明皆，若f不是沃满射茶，则g不一半定是极单射垒。证明佣：任俊取b1菊,b疑2∈果B，并露设b1安≠b能2，因街为f是满坐射，酷因此狐一定栽存在a1胖,a山2∈向A，使志得f(桑a1态)=每b1嗽,逮f(智a2拆)=境b2。由涌于b1贞≠b乖2，由格函数吼的定果义知a1季≠a捕2。又因台为g是由B到C的函拐数，爬所以造一定胶有c1瞒,c佳2∈健C，使局得g(讽b1森)=拿c1夹,矿g(庆b2男)=膀c2。于是邮，g◦牌f(尤a1垫)=狮g(棍b1肢)=狂c1乳,调g◦西f(薪a2蛋)=床g(仔b2豆)=获c2。因非为g◦纲f是单日射，费且a1泰≠a速2，因半此c1的≠c蚂2，也否就是g(祸b1剑)≠勇g(么b2菜)。由b1稼,b员2取值斜的任法意性宾知，g是单维射。举例揉如下奴：当f不是糖满射砌时，g不一川定是柄单射怪。3-否12设A＝{a缓,b盼,c液,d曲,e四}，回顷答下搏列问叹题，谋并说秀明理捧由：1)个A上共雾有多层少种宏二元乔关系君？2)上述抽二元糠关系饰中有杰多少害个是捞等价颈关系退？解1)动A上的揉二元验关系慨是Ax午A的子掌集，证而Ax粱A的基甩数＝25，所译以Ａ国上有225种不斥同的斧二元睛关系地。解2)等价态关系震和划薪分相领对应应，对债于Ａ丧的划来分有挨下面孤几种材情形贼：(1仙)分成母５块池的一芦种，禁每块摊只含凭一个肃元素(2渡)分成界４块陪，其蚂中一纯块含斧有２哑个元拍素，左另3块均菌含有备１个蜡元素垃有：C52=1庭0种(3喊)分成3块，举其中2块含宪有2个元炕素,另一仿块含丢有1个元雕素有(1圣/2觉)C51C42=1仓5种分成3块，卸其中1块含萝有3个元堆素，惰另2块含溪有1个元棉素，惰共有C53=1稍0种(4逮)分成2块，浓其中1块含蚊有3个元煌素，我另一附块含在有2个元垫素，魔共有C53=1渐0种分成2块，脉其中1块含皂有4个元图素，绕另一站块含身有１坡个元更素，喊共有C51=5种(5趣)分成1块，呆共有古１种府。综晃上,A上的绳等价赔关系禾共有分：1+跨10惯+1拒5+鱼10阅+1服0+箩5+毕1=疾52种3-穷13设A为含桶有n个元篮素的耽集合岸，则A上有皇多少掀个不雅同的愁等价肾关系拢？其想中秩战为2的划遥分有篇多少帽种？解：A上有丘多少腾种划固分就司有多被少种微等价康关系育，这减个划限分的滤数叫Be蜜ll数。Be邀ll数没唇有通项赞公式，但隔有一悲个递推青公式：B(扭n+伏1)盟=C寒(0通,n学)B手(0堂)+样C(做1,毅n)烫B(减1)臣+.鄙..姻+C北(n孝,n浅)B耻(n)