概率论课件第十四次课

一、复习：1、什么是协方差？计算协方差的公式怎样？设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：求解：2、什么是两个随机变量的相关系数？则3、相关系数有哪些性质？已知求解：则

设X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X和Y的相关系数设求：1）E(Z)和D(Z)；解：1）则开始则2）求X与Z的相关系数第五章大数定律与中心极限定理第一节契比雪夫不等式1.契比雪夫不等式：这就是著名的契比雪夫(Chebyshev)不等式.它有以下等价的形式：设随机变量X的期望及方差存在，则对任意的，有例1、抛一枚硬币，试问抛900次后，出现正面的次数介于400至500之间的概率至少为多少？设X表示出现正面的次数，故有则所求得概率为：则

例2、已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.3元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%.第五章大数定律与中心极限定理第二节大数定律

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律

研究大量的随机现象，常常采用极限形式，与大数定律中心极限定理性的学科,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.很广泛，其中最重要的有两种:由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容定理1(契比雪夫大数定律):

设X1,X2,…,Xn

,…是相互独立的随机变量则对任意的ε>0，恒有且分别有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2,·‥n)若方差有界，即存在常数C，使得:契比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述作为契比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.定理2(独立同分布下的大数定律):

设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量D(Xi)=，i=1,2,…,序列，且E(Xi)=，则对任给

>0,定理3枝(贝努琴里大董数定元律):或设nA是n重贝肢努里妖试验印中事处件A发生壁的次菜数，p是A发生嚷的概圈率，则对杆任给净的ε>赤0，证明撑：设则而则则第五安章嚷大数损定律绘与中路心极坚限定射理第三装节中心株极限处定理在实驻际问愚题中世，常渠常需党要考激虑许省多随飘机因栋素所例如罢：炮弹直射击井的落帮点与坝目标荐的偏析差，注就受防着许弓多空气赖阻力干所产恨生的渡误差魂，对我旁们来征说重践要的象是这斩些随机客因素阶的总趴影响.如瞄桂准时扒的误角差，炮弹顷或炮哪身结死构所幼引起膊的误戏差等形等.自从欠高斯低指出少测量已误差涌服从盐正态怕分布络之后依，人产生纷总影翻响.随机牵因素轮的影匙响.们发舌现，灶正态楼分布咬在自点然界世中极答为常吧见.观察私表明妄，如哪果一护个量纵是由牲大量很相互有独立华的随现在帜我们促就来捐研究畜独立斩随机幅变量堤之和堵所特怜有当n无限柔增大菜时，涛这个由和的远极限闷分布奶是什距么呢培？在什贝么条透件下冒极限宽分布医会是尚正态检的呢争？机因比素的衬影响夕所造苹成，付而每久一个喉别因图素在芹总影业响中所起闪的作惭用不泼大.则这疮种量忧一般名都服穗从或略近似脸服从正态闭分布.的规严律性蛇问题.定理1欧(独立惊同分携布下冠的中士心极呼限定歼理)：设X1,X2,虾…是独姜立同余分布栽的随猛机变席量序脾列，且E(Xi)=，它表吊明，层当n充分兔大时赚，n个具炕有期肥望和仔方差衔的独D(Xi)=，i=1,2,…，则即立同熊分布榆的变跪量之爹和近命似服零从正帖态分比布由题版给条耳件知X1,X2,亿…,X16独立,16只元秃件的腥寿命刘的总续和为解:且E(Xi)浊=廉10浮0,所求只概率竭为P(Y>1童92孩0)由中啊心极猴限定款理,近似N(0秋,1川).设第i只元抹件的略寿命容为Xi,i=1饮,暗2,脑…,避1盈6例1.根据侨以往乓经验大，某撤种电脸器元叠件的酷寿命杨服从感均值为10桑0小时悠的指惨数分架布.现随遗机地酬取16只，肾设它们的瓜寿命启是相埋互独凯立的.求这16只元赤件的翻寿命宵的总和大小于19虹20小时熟的概垄率.D(Xi)=荣10勒00胖0,P(Y>1虹92茧0)=1－(0充.8再)=1－0.跨78直81=伴1－P(Y19辫20肤)=0混.2覆11睬9.定理2(德莫挥佛－捕拉普贩拉斯牛定理)：

设随机变量服从参数n,p(0<p<1)的二项分定理饼表明录，，np(1－p)也不太小时），二项变量的分布近似布，洁则对钓任意x，有正态瞧分布N(np,np(1－p)).当n很大炭，0<p<1是一居个定符值时（或鲜者说例2、假朋设生芝产线瘦上组羞装每检件成间品的圾时间膛服从杠指数分布返，统渡计资见料表勺明该古生产叮线每裳件成语品的骂组装涌时间为10分钟导，各许件产内品的祥组装孔时间桥相互煮独立畅，试结求组装10谅0件成咱品需惰要15个小琴时到20个小念时的抚概率扬。解：设表示第件成品的组装时间，则相互独立，且服从的指数分布因为n=究10慕0较大骑，故有则所口求的叠概率廊为：答：战组装10炭0件成纤品，级需要15个小渠时至20个小网时的概猫率是0.芝81池85。例3、某煌单位她内部粮有26啄0架电扔话分蔑机，诉每个椒分机啊有4％的带时间究要用删外线牵通话部，可际以认影为各柜个电下话分键机用不云用外蜡线是纺相互经独立愉的，枝问总纽奉机要团多少烛条外捏线才能以95％的落把握灿保证茅各个汁分机脑再用送外线恒时不关必等般候解：独立床的试贸验，用表示第k部电话分机使用外线用表示第k部电话分机不使用外线则把考箩察每慕部电歇话分渡机是斥否使绑用外遮线作萌为一芝次由题炉意知狐：设X