统计学正态分布

统计学正态分布目前一页\总数二十九页\编于十七点正态分布目前二页\总数二十九页\编于十七点样本有几个特别重要的数字特征，这些数字是描述样本频率分布特征的，称之为样本特征数而在生物统计学中，样本特征数使用频繁的有以下几个1.算术平均数，简称平均数（）。目前三页\总数二十九页\编于十七点32.样本方差:样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数。3.样本标准差:样本方差的算术平方根做。目前四页\总数二十九页\编于十七点样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。目前五页\总数二十九页\编于十七点5正态分布的概念如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似服从数学上的正态分布。目前六页\总数二十九页\编于十七点当n∞，直方条面积(频率)各自的概率然后组距０时，直方条的宽度０，直方条垂直线，各个直方条顶点间的连线构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线，而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方条面积)。目前七页\总数二十九页\编于十七点正态分布的概念目前八页\总数二十九页\编于十七点正态曲线的定义：函数称f(x)的图象称为正态曲线式中:л=3.1416e=2.71828x----表示变量μ---表示理论平均数δ---表示总体标准差δ2—表示总体方差这个公式表示x变量区间内发生的概率目前九页\总数二十九页\编于十七点如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称该变量服从正态分布。记做目前十页\总数二十九页\编于十七点10

在σ不变的情况下函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。目前十一页\总数二十九页\编于十七点11在μ不变的情况下函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。目前十二页\总数二十九页\编于十七点12012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2正态曲线的性质（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)（4）曲线与x轴之间的面积为1（5）当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.目前十三页\总数二十九页\编于十七点13而整个正态分布则应该是各区间密度函数的累计积分.

一种连续的分布不可能求某项(某点)的概率,而只能求某个区间的概率.任意两点x1，x2且(x1x2)，X在(x1,x2)范围内取值的概率P,即正态分布曲线在(x1,x2)下面积目前十四页\总数二十九页\编于十七点14标准正态分布正态分布由μ和σ所决定，不同的μ、σ值就决定了不同的正态分布密度函数，因此在实际计算中很不方便的。需将一般的N(μ，σ2)转换为μ=0,σ2=1的正态分布。我们称μ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布(standardnormaldistribution)就是由正态分布密度函数得到标准正态分布密度函数：目前十五页\总数二十九页\编于十七点15

由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的计算也比较麻烦，最好的解决办法：将正态分布转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表直接查出概率值。

对于服从任意正态分布N（μ,σ2）的随机变量，欲求其在某个区间的取值概率，需先将它标准化为标准正态分布N（0,1）的随机变量，然后查表即可。目前十六页\总数二十九页\编于十七点16正态分布转化为标准正态分布可以将x作一变换，令u称为标准正态变量或标准正态离差，服从标准正态分布的随机变量这个变换称为标准化或u变换,由于x是随机变量，因此u也是随机变量，所得到的随机变量U也服从正态分布，因此，由任意正态分布随机变量标准化得到的随机变量的标准正态分布常称为u分布。目前十七页\总数二十九页\编于十七点17变换后的正态分布密度函数为：标准正态分布均具有μ=0，σ2=1的特性如果随机变量u服从标准正态分布，可记为：u～N（0，1）目前十八页\总数二十九页\编于十七点18标准正态函数012-1-2xy-33μ=0σ=1目前十九页\总数二十九页\编于十七点19事实上,上面的计算已经制成了表格,只要知道了平均数和标准差即可查出相应的区间概率.目前二十页\总数二十九页\编于十七点20特殊区间的概率:若X~N,则对于任何实数a>0,概率

为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。m-am+ax=μ特别地有目前二十一页\总数二十九页\编于十七点

我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。目前二十二页\总数二十九页\编于十七点T分布

几个重要概念从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布样本平均数和样本方差S2是描述样本特征的两个最重要的统计量如果原总体的平均数为μ，标准差为σ，那么样本平均数抽样总体：平均数为：标准差为：为样本平均数抽样总体的标准误差简称为标准误，标准误表示平均数抽样误差的大小，反映样本平均数与新总体平均数之间的离散程度。

目前二十三页\总数二十九页\编于十七点23经计算得出两个重要结论抽样的样本平均数的平均数等于总体平均数,即抽样的抽样平均数的标准差等于总体标准差除以样本单位数的平方根。即目前二十四页\总数二十九页\编于十七点244.t-分布（不要求）设有服从正态分布的随机变量x，正态分布的标准化公式为：

对于总体方差σ2已知的总体，根据公式可以知道样本平均数在某一区间内出现的概率，公式为：附：服从标准正态分布目前二十五页\总数二十九页\编于十七点25假如σ2未知，而且样本容量又比较小（n≤30）时：

标准化公式可变换为：它不再服从标准正态分布T分布类似于正态分布，也是一种对称分布，它只有一个参数，就是自由度所谓自由度是指独立观测值的个数，应为计算标准差时所使用的n个观测值，受到平均数x的约束，这就等于有一个观测值不能独立取值，因此自由度为df=n-1服从具有n-1自由度t-分布目前二十六页\总数二十九页\编于十七点26T分布的密度函数为：T分布的计算已列成表格,应用时可根据需要由t值,自由度查概率;也可以由概率,自由度查t值.目前二十七页\总数二十九页\编于十七点27t分布的双侧分位点假定X~t(n)，给定：0＜＜1，如果一个数c满足：P{|X|＞c}=，/2

oxtn(x)t/2(n)–t/2(n)/2则称这个数c是自由度n的t分布的双侧分位点(数)，记成

t/2(n)。对称分布的双侧分位点就是上侧/2分