有限元方法基本思路

计算流体力学有限元及其编程●北京化工大学Section1.有限元方法基本思路:Part1●目录（1/8）

有限元方法基本思路1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解1.1.1方程及精确解1.1.2有限元方法求解1.2一维二次常微分方程的有限元数值求解1.2.1方程及精确解

1.2.2有限元方法求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.1方程及精确解求解微分方程：

，0≤x≤1 （1.1）微分方程的边界条件主要分为两类：（1）第一类边界条件，又称为本质边界条件，即已知边界处场量的数值，如式（1.2）所示；

边界条件：x=0时，u=0

（1.2）●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.1方程及精确解（2）第二类边界条件，又称自然边界条件，即已知边界处场量导数的数值，如x=0时, 。带有第二类边界条件微分方程的求解，将在本章第二节中介绍。式（1.1）和（1.2）构成的微分方程的精确解为：

du/dx-1=0,0≤x≤1

x=0时，u=0 u=x

（1.3）稍后会对比有限元方法计算得到的数值解与该精确解的差别。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散①单元类型的选择

在进行有限元计算之前，需要将计算区域进行离散化，也就是通常所说的网格划分。

du/dx-1=0研究的是一维问题，使用一维线性单元对计算区域进行等距离散。离散结果如图1-1所示。图中n为结点序号，e为单元序号，共有N个结点、E个单元，且N=E+1。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解图1-1一维线性单元离散结果（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散②结点序号

结点序号共分为两类，单元内部结点序号和总结点序号。

●单元内部结点序号就是各个结点在单元内部的序号，与离散时所选单元类型及插值函数构造有关；

●

总体结点序号是结点在整个离散区域内统一排列的结点序号。同一个结点可能属于多个单元，该结点在不同的单元内总结点序号是唯一的，而内部结点序号可能是不同的。

1—— 2—— 3—— 4—— 5

1—— 2/1——2/1——2/1——2●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解总体序号（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散

③离散数据的存储

选择单元类型后，便可以建立离散数据，供有限元计算使用。离散结果通常包括以下数据：

●单元信息数据JM

●

结点坐标数据JX

●第一类边界条件数据JB1

●第二类边界条件数据JB2●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散

③离散数据的存储●单元信息数据JM

存储单元所包含的结点序号。其行数等于总单元数，列数与单元内结点个数一致。例如，第i行存储内容为第i个单元所包含的所有结点序号；

以图1-1所示一维线性单元离散结果为例：取单元数E=5、结点数N=6。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解表1-1JM数据表1223344556（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散

③离散数据的存储●

结点坐标数据JX

存储结点的坐标。其行数等于总结点数，列数与所研究问题的维数一致。例如，其第i行存储内容为第i个结点的坐标数据；

以图1-1所示一维线性单元离散结果为例：取单元数E=5、结点数N=6。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解表1-2JX数据表00.20.40.60.81（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散

③离散数据的存储●第一类边界条件数据JB1

存储第一类边界条件的相关数据。其行数等于处于第一类边界条件的总点数，列数与边界条件的分类及所研究问题维数有关。

例如：第一列为处于第一类边界上的结点序号，第二列为处于第一类边界上的结点对应的边界值。

以图1-1所示一维线性单元离散结果为例：取单元数E=5、结点数N=6。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解表1-3JB1数据表10（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（1）计算区域的离散

③离散数据的存储●第二类边界条件数据JB2

存储第二类边界条件的相关数据。其行数等于处于第二类边界条件的总单元边数，列数与所研究问题维数及离散单元类型密切相关。

应包括边界单元序号，单元内边界边序号，边界变法向余弦（二维、三维问题）及边界上个结点的边界值。

本节不涉及该类边界条件，相关内容见第1.2节。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函数和权函数

网格离散完成后，单元的差值函数也就随之确定。对于一维线性单元，插值函数包括Φ1和Φ2具体表达式为：

Φ1=1-

ξ

Φ2=

ξ

(1.4)

式中ξ为局部坐标，取值范围ξ

∈[0,1]●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函数和权函数

以第二个单元为例（图1-2），分析局部坐标

ζ

与笛卡尔坐标x

的对应关系： (1.5)式中，Δx(e)为单元长度，x1(e)为单元第一结点坐标，x2(e)为单元第二结点坐标。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解图1-2一维线性单元的坐标映射（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函数和权函数在已知单元结点处函数值ui(e)

的前提下，可通过与插值函数

Φi

的结合，近似地描述单元内部各处的函数值

u

(e)

，即：,i=1,…..,I

（1.6）

用向量形式表示为：

（1.7）

式中，I

为单元内结点总数。●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/8）

有限元方法基本思路1.1.2有限元方法求解（2）插值函数和权函数

插值函数具有两个特性，简述如下：

①插值函数的个数与单元结点个数一致；②单元内，插值函数只在其对应结点局部坐标处取值为1，其余结点处取值为0。

如：

Φ1=1-ξ，Φ2=ξ；

取值范围ξ∈[0,1]●1.1一维一次常微分方程的有限元数值求解（1/汇8）有限股元方唯法基田本思载路1.恢1.布2有限艰元方秧法求解（3）加拳权余斯量方拳程的渣建立设û为方响程（1.床1）du规/d棍x-1=肢0的一壶个近童似解档，即您有：（1.感8）式中r为残伶差。括用任殿意权悼函数u*乘以屈残差r，并敏在方狡程定旬义域[0，1]内进案行积查分：（1.丧9）数值氏方法键求解家方程习（1.勇1）的浮根本绢出发罪点就鱼是要拐使得葵残差惰。●1.肆1一维亏一次越常微振分方酒程的侍有限才元数狂值求戚解（1/丢8）有限陡元方挠法基袍本思促路1.串1.呈2有限恩元方乏法求解（3）加狮权余剂量方烦程的锡建立式（1.汉9）中u*又称肢为权炕函数迁。有揉限元爽方法票中，础权函认数的宗选择良具有路任意宣性。本课察程采礼用Ga夏le胁rk牛in有限助元方木法，束该方相法规贤定权脂函数愁等于歉插值刃函数，即危：u*麦=Φ（1.问10）为了锐简化门表达困式，器将式兼（1.泛9）式笨中û用u代替撒得到钢，即班得到省式（1.页11）的施加权谢余量省方程雅：（1.狐10）●1.肢1一维策一次呼常微迅分方牧程的置有限效元数性值求扑解（1/抹8）有限除元方蓄法基型本思胖路1.央1.访2有限兼元方晕法求解（4）单皮元有喷限元俯方程抹的建你立将式椅（1.喂11）的被积分沸区域狮转换跑到单帐元内营，有他：（1.控12）写成车局部雾坐标喷形式厘：（1.驼13）由式相（1.永5）求垂导，州有：（1.指14）（1.怒15）●1.昌1一维脊一次客常微竖分方篮程的袜有限京元数爆值求鲁解（1/铅8）有限嘱元方慕法基思本思辰路1.净1.泥2有限估元方顿法求解（4）单浮元有怜限元萌方程观的建哄立将式婆（1.暂7）、粘（1.薄14）和伪（1.蝇15）带矩入式所（1.宇13），帖有:（1.榜16）●1.吵1一维施一次截常微棕分方所程的临有限饱元数彻值求努解（1/乘8）有限框元方葱法基贺本思体路1.跨1.预2有限经元方飞法求解（4）单明元有剥限元唤方程攀的建擦立化简猎后得哄到：（1.唯17）写成题矩阵惰形式咏：（1.较18）式中Φ1,ξ和Φ2,ξ为Φ1和Φ2对ξ的导掌数。●1.春1一维树一次我常微误分方泛程的模有限尚元数岔值求也解（1/秤8）有限看元方仓法基始本思阶路1.古1.井2有限担元方烟法求解（4）单侦元有野限元洁方程榴的建殊立由式具（1.指4）求滴导，丧可得隔：Φ1=1-ξΦ1,ξ=在-1（1.吊19袍a）Φ2=ξΦ2,ξ=赛1（1.穷19而b）式（1.构19）带蛾入（1.垦18）得巴到：（1.倍20）积分创得到座：（1.舞21）（1.娇22）●1.费1一维谊一次劫常微菌分方先程的违有限五元数骑值求但解（1/避8）有限卧元方益法基潜本思持路1.吵1.魔2有限拉元方冤法求解（4）单罢元有蔑限元偿方程帜的建并立式（1.柴21）和向（1.活22）带喝入（1.祸20），是由于准单元蜓长度Δx(e某)=1仪/5，得到笋：（1.片23）写成权简化斧矩阵廉形式孤：KeuIe=be（1.榨24）●1.倘1一维平一次孙常微师分方亲程的扎有限幕元数辰值求奇解（1/塑8）有限县元方淹法基彻本思刚路1.滥1.卷2有限崭元方胡法求解（5）总钥体方遥程的细组合建立项单元肺有限误元方白程后他，进窝行总地体方凤程的岗组合予。总趁体方确程形虑式为功：KuI=b（1.饱25）式中抱，K为N×N矩阵刑；uI为N×1向量揭；b为N×1向量恨；N为总廉体结愤点数掏。●1.辜1一维内一次寄常微即分方才程的象有限隙元数主值求辜解（1/膀8）有限亮元方担法基痒本思姐路1.系1.笼2有限约元方赴法求解（5）总它体方退程的炼组合①找K矩阵秒的组晋合就本售节研汗究实常例来械讲，护第i-1，i和i+1个单摄元的午系数效矩阵Ke可写贯成：（1.证26）（1.表27）（1.泻28）●1.蜘1一维赛一次乓常微虏分方价程的买有限温元数疑值求董解单元章内部嗓序号总序抖号（1/揪8）有限城元方屑法基原本思耳路1.区1.停2有限愤元方补法求解（5）总作体方添程的宽组合①性K矩阵梨的组畏合三个籍系数触矩阵侍中第录二项缸表达玩式内Ke的下雪标为庄单元酿内结气点号够，第扶三项烤表达借式内Ke的下苹标为缺总体戒结点衰号。将每道个单粗元的群单元异方程俊系数逆矩阵Ke，按佛照总将体结话点序盼号对群应的馅位置歉放置促到总碗体方张程的挠系数狐矩阵K中。在图1-冷1中，映第i个结响点共继用于突第i-1和i单元熊，所草以Ke(i-1)和Ke(i)中均盏出现拼下标掉为(i,派i)的项镰，在K的(i,蚂i)位置柿要进贞行Ki,祖ie(i-1)和Ki,匹ie(i)的求块和，哑即:(1英.2繁9)●1.闻1一维女一次速常微睡分方庆程的话有限塞元数周值求镇解（1/墨8）有限烂元方室法基大本思茅路1.拉1.挨2有限植元方劳法求解（5）总盛体方雁程的阻组合①躁K矩阵严的组记合对于愁编写松程序副完成扎上述肚组合率时，樱需要腐利用JM数据婆进行链对位描求和辉。对于省第i个单锯元来翼说，同进行钉双层蛾循环速求和汪，第然一层岭循环洁指标m等于1到JM的列姿数（臂本例残为2），再第二现层循剂环指旋标n也是眼由1到JM的列拨数（抛本例冠为2），畜对于扛一组m和n，查遵找JM喇(i尖,m绵)和JM际(i可,n任)对应磁数值店，并拴完成锁如下野累加叶计算霜：K(尚JM帆(i暂,m棍),JM忍(i核,n阳))赶=蒸K(暑JM足(i灾,m疮),寒JM记(i这,n音))吃+Ke(桃i)(m祖,n种)(1彻.3请0)●1.端1一维委一次蜓常微秘分方晕程的杨有限哭元数寇值求号解1223344556（1/巧8）有限伏元方赤法基弓本思裙路1.瓶1.萍2有限恨元方卖法求解（5）总弦体方摩程的崖组合①借K矩阵扑的组税合值得守注意壳的时魂，m和n就是芹第i个单斧元系倾数矩径阵各苗个元间素对密应的芒单元透内部密结点惊序号宵，JM旺(i,m者)和JM凡(i,n炕)对应珍数值哀即为闻第i个单病元系嫩数矩脱阵各河个元秆素对挨应的涉总体赞结点喉序号嗽。组丘合后邻，总六体方弓程系待数矩夏阵K可写元成：(1王.3羡1)●1.播1一维冠一次察常微杰分方沟程的蒸有限抢元数梨值求宅解（1/功8）有限溪元方述法基陷本思廉路1.支1.按2有限傅元方脊法求解（5）总杜体方担程的鹊组合②衰向量凤的组纺合三个be向量声的第励二项哭表达雹式内be的下般标为呀单元俘内结护点号望，第殊三项泽表达表式内be的下哲标为欲总体崖结点邀号。般同样柳，对弯于第i个结扔点共问用于i-臂1和i单元贷来说矿，适向量索相应螺位置环也要脂体现带两个静结点挑的共念同作捉用：(1阻.3联5)●1.掀1一维毒一次慎常微切分方迟程的爱有限方元数撑值求铅解（1/扎8）有限晨元方航法基呜本思忽路1.狂1.断2有限漏元方码法求解（5）总只体方索程的渠组合②础向量拘的组卵合对于花编写跪程序播完成抵上述荐组合识时，摧需要漠利用JM数据便进行和对位刮求和仔。对冠于第i个单亭元来库说，川进行水循环爬求和炎时，颂循环惯指标m等于1到JM的列菜数（帝本例躬为2），灶查找JM桂(i闯,m奸)对应陵数值毛，并膏完成备如下亲累加狠计算洪：b(片JM痰(i秀,m址),计1)向=b感(J肾M(俯i,万m)旬,1事)+铺be(m彻,1即)(1血.3厉6)m为第i个单陵元右裂边向业量各伯个元驾素对谜应的践单元末内部吉序号便，JM放(i交,m宰)对应轧数值爷即为自第i个单插元右佳边向巩量各搞个元吸素对半应的鼠总体巨结点壶序号达。●1.护1一维页一次洪常微考分方男程的绕有限缴元数结值求灵解（1/今8）有限亿元方跨法基兽本思睁路1.敏1.充2有限原元方逝法求解（5）总风体方洲程的康组合②笨向量得的组怨合组合指后得绘到:b=[1训/1裕0踢1花/5眨1/堡5鉴1暴/5扒1/纪5们1鲁/1掀0]T(1钢.3杯7)总体渗方程面最终蓄可以鞠写成很：(1布.3象8)●1.角1一维浩一次歌常微肤分方废程的衔有限绍元数待值求来解（1/嘉8）有限归元方胃法基已本思帆路1.雄1.勿2有限堂元方鼻法求解（6）带笋入边撇界条议件求载解将第塌一类侦边界恒条件蒜数据JB悔1带入踪蝶到式努（1.吵38），起第一崭类边廉界条竞件的尊数据破见表1-节3。根臭据查大表1-港3，可摄知道赠结点1处于婆第一摧类边溪界条淡件上井，且装边界寒数值适为零扭。这示里先业介绍蹦消行魂移列睬法，贫具体伍带入极步骤独为：①将陆已知础场值猪结点亲对应调行删仅除，嗽即：●1.谊1一维兆一次先常微骄分方化程的术有限拔元数羡值求洁解10表1-乏3丘JB英1数据慕表（1/声8）有限洲元方局法基琴本思魂路1.贤1.骗2有限降元方旗法求解（6）带汉入边艳界条蚁件求累解②将嗓其它度行中委与有湾已知禾结点蠢对应散的项承与已盲知数覆值相周乘并蹄移动政到等披号右殃边●1.尘1一维乳一次尾常微纪分方食程的疑有限爬元数画值求饲解（1/和8）有限相元方杠法基皮本思缓路1.床1.腊2有限狮元方半法求解（6）带疯入边躬界条桥件求志解②将爪其它痒行中完与有银已知这结点库对应臭的项研与已疗知数真值相糟乘并票移动娃到等负号右雾边则式腰（1.竖38）变甲为：(1笋.3氏9)计算朋结果竿为:[u2u3u4u5u6]=鬼[0仗.2捕0脂.4天0窃.6滑0能.8过1]扮(1德.4笛0)●1.拾1一维努一次呀常微陶分方践程的属有限葡元数贫值求侦解（1/趁8）有限降元方博法基都本思胆路1.恢1.戚2有限课元方惭法求解（6）带顽入边取界条烦件求仔解这一富方法座能够誉让方领程降甲阶，端对于允结点伏较少糕的求油解问劲题，易适合年于手谣工求懒解。