文科数学第二章第十四节

第十四节导数在研究函数中的应用(二)第二章函数、导数及其应用课前自修基础自测1.(2012·合肥市质检)函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x＋3)·f′(x)<0的解集为 () A．(1，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1,1)3．(2012·大连市双基测试)函数f(x)＝(x2－2x)ex的最小值为f(x0)，则x0＝________.4．(2011·广东实验中学检测)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是______．考点探究考点一利用导数证明不等式点评：通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，利用单调性证明不等式．这也是证明不等式的一种有效方法．变式探究1．(2013·玉溪一中月考)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数y＝f(x)的最小值； (2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．考点二与导数有关的新定义问题【例2】

(2011·江西卷)设f(x)＝x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n<10(m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值[注：区间(a，b)的长度为b－a)].自主解答：变式探究2．(2013·自贡市检测改编)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义y＝f″(x)是y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：考点三与导数有关的综合问题【例3】(2012·北京市朝阳区二模)设函数f(x)＝alnx＋(a≠0)．(1)已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为2－3a，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f(x)≥3－x.思路点拨：(1)求导数，利用切线斜率为2－3a及点(1，f(1))，列方程，解之可得a的值；(2)构造函数g(x)＝f(x)－(3－x)；对g(x)求导；利用g′(x)的符号判断g(x)的极值(最值)；最后可得结论．x(0,1)1(1，＋∞)g′(x)－0＋g(x)↘极小值↗变式泳探究3．(2宰01逐2·深圳答市二蔽模)已知既二次疮函数f(x)的最戒小值闻为－4，且隐关于x的不农等式f(x)≤0的解铸集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1乏)求函蓄数f(x)的解遮析式宗；(2劝)求函墨数g(x)＝吴－4l摄nx的零梦点个无数．解析够：(1治)∵f(x)是二短次函稿数，孤且井关于x的不执等式f(x)≤0的解精集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)次(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.∵a＞0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，且f(1蔑)＝－4a，∴f(x)mi服n＝－4a＝－4，得a＝1.故函雷数f(x)的解蜓析式卫为f(x)＝x2－2x－3.(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗极大值↘极小值↗感眉悟议高草考品味贿高考1．(2持01殿2·浙江较卷)设a>0，b>0，()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b解析畏：对于胞选项A，若2a＋2a＝2b＋3b，必储有2a＋2a>2b＋2b.构造喜函数凤：f(x)＝2x＋2x，则f′(x)＝2x·l勾n神2＋2>脚0恒成裹立，尖故有备函数f(x)＝2x＋2x在(0，＋∞)上单庆调递闲增，巡寿即a>b成立区．其晴余选效项用皮同样阅方法珠排除.故选A.答案岸：A2．(2谦01弱2·北京省卷)已知慰函数f(x)＝ax2＋1(a>0搜)，g(x)＝x3＋bx.(1笋)若曲欣线y＝f(x)与曲苏线y＝g(x)在它射们的这交点(1，c)处具鼠有公洽共切虎线，院求a，b的值朱；(2尖)当a2＝4b时，躬求函达数f(x)＋g(x)的单纳调区轻间，循并求阴其在早区间(－∞，－1)上的疤最大润值．解析距：(1系)由(1，c)为公稼共切捉点可乐得f(x)＝ax2＋1(a>0壤)，则f′(x)＝2ax，k1＝2a,g(x)＝x3＋bx，则g′(x)＝3x2＋b，k2＝3＋b，∴2a＝3＋b.又f(1颠)＝a＋1，g(1只)＝1＋b，∴a＋1＝1＋b，即a＝b，代青入2a＝3＋b可得a＝b＝3.高考辆预测1．(2垦01刚2·广东歪金山咱一中棋等三迎校考总前测芽试)函数y＝谜在离区间(0量,1叫)上()A．是早减函戴数B．是壁增函祝数C．有桃极小茫值D．有宅极大耽值2．(2庸01爸3·河南译新乡引、许兄昌、需平顶盲山联远考)已知景函数f(x)＝ex＋(a－2)x在定季义域呼内不遥是单徒调函献数．(1浮)求函丑数f(x)的极丽值；(2抓)对于舅任意昨的a∈(2－e,衰2)及x≥0，求酸证：ex≥1＋x2.解析五：(1弊)f′(x)＝ex＋a－2，因稍为f(x)不是扣单调毁函数凉，所示以f′(x)＝0有解论，所污以a－2＜0.令f′(x)＝0得x＝ln它(2－a)，列筋表：所以f(x)有极是小值胁没有佣极大既值，互且极贡小值败为f