运算方法和运算器数据的表示方法

关于运算方法和运算器数据的表示方法第1页，课件共40页，创作于2023年2月第二章运算方法和运算器2.1数据表示2.1.1概述一、什么叫数据表示是指能由计算机硬件直接识别的数据类型，如定点数、浮点数等。而所谓“由硬件直接识别”意味着某种数据类型可以用计算机硬件直接表示出来，并能由计算机指令直接调用该数据类型。第2页，课件共40页，创作于2023年2月二、数据的表示方法数值数据:能进行算术运算能得到明确数值概念的数字数据。非数值数据:以数字数据形式进入计算机的声音、图像、文字等信息。第3页，课件共40页，创作于2023年2月2.1.2数值数据的表示法一、进位计数制（简称进制）及相互转换1、进制的概念

r进制：有0，…，r-1共r个单位数（unit）；逢r进一。任何一个r进制数N可以表示为：第4页，课件共40页，创作于2023年2月2.1.2数值数据的表示法若r=2，二进制数，各位的权是以2为底的幂；若r=8，八进制数，各位的权是以8为底的幂，有八个数码：0、1、2、3、4、5、6、7；若r=10，十进制数，各位的权是以10为底的幂；若r=16，是十六进制数，其各位的权是以16为底的幂，有16个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。为了明确表示一个数所采用的进位计数制，可以该数的后面加上下标(B)、(Q)、(D)、(H)，分别表示该数为二进制、八进制、十进制和十六进制第5页，课件共40页，创作于2023年2月2.1.2数值数据的表示法2、为什么计算机中采用二进制（1）运算简单；（2）易于物理实现（容易找到合适的器件）；（3）易于表示逻辑值的真与假（布尔代数）。第6页，课件共40页，创作于2023年2月2.1.2数值数据的表示法3、进制转换r进制数转换为十进制数：各位按权展开求和；例1.分别把二进制数1011.01和十六进制数F0.C用十进制表示十进制数转换为r进制数：整数部分和小数部分分别进行转换第7页，课件共40页，创作于2023年2月十进制数转换为r进制数整数部分的转换步骤：①把r写成十进制数；②将N除以r，记录商和余数，并用r进制表示余数，这余数便是用r进制表示的数的最低位数字；③把上次的商进行②中所述除以r取余的运算，用r进制表示余数；重复这种运算直到商为0，这时的余数即为十进制数N用r进制表示时的最高位数字。例2.把十进制数103用二进制表示例3.把十进制数506用十六进制表示第8页，课件共40页，创作于2023年2月十进制数转换为r进制数小数部分的转换步骤：①把r写成十进制数；②将N乘以r，记录积的整数部分和小数部分，并用r进制表示整数部分，该整数即为转换后r进制小数的最高位；③把上次积的小数部分进行②中所述乘以r取整的运算，用r进制表示积的整数部分；重复这种运算直到积的小数部分为0，或者达到所要求的位数，这时的整数部分即为十进制数N转换成r进制小数的最低位。例4.把十进制0.8125用八进制表示第9页，课件共40页，创作于2023年2月二进制与八进制、

十六进制的相互转换从二进制转换成十六进制时，从小数点位置开始，整数部分向左，小数部分向右，每四位二进制数为一组用一位十六进制的数字来表示，不足四位的用0补足，就是相应十六进制的表示。从二进制转换成八进制时，从小数点位置开始，整数部分向左，小数部分向右，每三位二进制数为一组用一位八进制的数字来表示，不足三位的用0补足，就是相应八进制的表示。例5.把二进制11011010111.11101用十六进制表示例6.把八进制数62.31用二进制表示第10页，课件共40页，创作于2023年2月2.1.2数值数据的表示法二、数的机器码表示（一）符号数、机器数、真值1、真值：带有正、负号的数据；2、机器数：符号位数值化了的数；（因为计算机只认识0和1，不认识+和-）例：1101若为原码机器数，则其真值为–5或-101，后者往往也叫符号数。第11页，课件共40页，创作于2023年2月二、数的机器码表示（二）定点数与浮点数1、定点数（Fix-PointNumber）（1）含义：定点、浮点的“点”都指二进制数中的小数点。定点指小数点位置固定。（2）常见的两种定点数：定点整数（Integer）定点小数（Fraction）第12页，课件共40页，创作于2023年2月1、定点数符号位

数值部分小数点位置小数点位置符号位

数值部分注意小数点均为隐含表示。定点整数（Integer）：小数点固定于最低位右边

Dn-1Dn-2………D0●定点小数（Fraction）：小数点固定于最高有效位左边

Dn-1●Dn-2………D0第13页，课件共40页，创作于2023年2月（3）定点数常见的机器码编码形式定点、浮点表示解决的是小数点的表示方法；而编码解决的是符号位如何数值化的问题。但编码后会对运算带来什么样的影响？于是先后使用了符号位编码时数值位不变、符号位编码时数值位按一定规律变化的几种不同的编码方法。这就是应该了解的原码、反码、补码、移码等编码方案。数X的原码记作[X]原，反码记作[X]反，补码记作[X]补。第14页，课件共40页，创作于2023年2月定点整数-原码定义：对于一个二进制数而言，若用最高位表示数的符号（常以0表示正数，以1表示负数），其余各位表示数值的本身，则称为该二进制数的原码表示法。(1)设某二进制数为X=+Xn-2Xn-3...X1X0B，即为正数则：[X]原=0Xn-2Xn-3...X1X0B=X注意：[+0]原=00...00B（共n位）=0(2)设某二进制数为X=-Xn-2Xn-3...X1X0B，即为负数则：[X]原=1Xn-2Xn-3...X1X0B=100...00B+Xn-2Xn-3...X1X0B=2n-1-X注意：[-0]原=10...00B（共n位）数的表示范围：-2n-1+1≤X≤2n-1-1第15页，课件共40页，创作于2023年2月则原码表示的定义是：

x2n-1–x=2n-1+|x|-2n-1+1≤x≤00≤x≤2n-1-1[x]原

=第16页，课件共40页，创作于2023年2月定点整数-反码定义：正数反码与原码相同。负数反码等于其原码符号位不变其余位取反。(1)设某二进制数为X=+Xn-2Xn-3...X1X0B，即为正数则：[X]反

=[X]原

=0Xn-2Xn-3...X1X0B=X注意：[+0]反=[+0]原=00...00B（共n位）=0(2)设某二进制数为X=-Xn-2Xn-3...X1X0B，即为负数则：[X]反+|X|=2n-1所以[X]反

=2n-1+X注意：[-0]反

=11...11B（共n位）反码数的表示范围:-2n-1+1≤X≤2n-1-1第17页，课件共40页，创作于2023年2月

x(2n–1)+x-2n-1+1≤x≤00≤x≤2n-1-1[x]反

=反码表示的定义是：第18页，课件共40页，创作于2023年2月概念

对时:（假设对为1时）

•一是将时针退10-9=1；

•一是将时针向前拨

10+3=1

这两种方法都能对准到1时。结论：负数用补码表示时,可以把减法转化为加法。定点整数-补码

由此可以看出，减9和加3是等价的，就是说3是(-9)对12的补码，可以用数学公式表示：

-9＝+3（mod12）第19页，课件共40页，创作于2023年2月模的概念计算机中运算器、寄存器、计数器都有一定的位数，不可能容纳无限大的任意数。当运算结果超出实际的最大表示范围，就会发生溢出，此时所产生的溢出量就是模（module）。

•定点小数的溢出量为2，即以2为模；

•一个字长为n位的定点整数的溢出量为2n，即以2n为模。第20页，课件共40页，创作于2023年2月定点整数-补码定义：假定某机器的字长为n位，那么它的模就是2n，它是一个n+1位数100...0B,由于计算机只能表示n位数，因此数2n在计算机中只能以n个零表示，而该数最左边的1自动丢失。由以上例子及讨论所得：[X]补＝2n

＋X对于正数X，[X]补＝[X]原＝[X]反

=X对于负数X，[X]补＝2n＋X＝0－|X|对于＋0：[＋0]补＝2n＋0＝0+0＝0

对于－0：[－0]补＝2n＋（－0）＝0－0＝0总结：已经解决了正负零问题（归一化）。数的表示范围：-2n-1≤X≤2n-1-1第21页，课件共40页，创作于2023年2月

x2n+x=2n–|x|

-2n-1

≤

x

≤00≤

x

≤

2n-1-1[x]补

=（mod2n）补码表示的定义是：第22页，课件共40页，创作于2023年2月[例]以定点整数为例,说明各种编码表示的范围。真值真值原码反码补码移码+127+1+00-1-127-128+0111,1111+0000,00010000,00000000,0000-0000,0001-0111,1111-1000,00000111,11110000,00010000,00001000,00001000,00011111,1111不能表示0111,11110000,00010000,00001111,11111111,11101000,0000不能表示0111,11110000,00010000,00000000,00001111,11111000,00011000,00001111,11111000,00011000,00001000,00000111,11110000,00010000,0000第23页，课件共40页，创作于2023年2月定点小数-原码NsN1N2…Nn定义：[X]

原

=例：X=0.10110;-0.10110;0.0000[X]原

=010110;110110;0000010000

结论：原码为符号位加数的绝对值，0正1负

原码零有两个编码，+0和-0编码不同

原码难以用于加减运算，但乘除方便X1-X-1<X≤0

0≤X<1第24页，课件共40页，创作于2023年2月定点小数-反码NsN1N2…Nn定义：[X]反=

例：X=0.10110；-0.10110；0.0000[X]反=010110；101001；0000011111

结论：反码为符号位跟数每一位的反，0正1负

反码零有二个编码，分+0和-0

反码难以用于加减运算X

(2-2-n)+X

-1<X≤00≤X<1第25页，课件共40页，创作于2023年2月定点小数-补码NsN1N2…Nn

定义：[X]补

=例：X=0.10110；-0.10110；0.0000[X]补

=010110；101010；00000结论：补码最高一位是符号位，0正1负

补码表示为2*符号位+数的真值

补码零只有一个编码，故能表示-1

补码能很好地用于加减（乘除）运算X2+X

-1≤X≤0MOD20≤X<1第26页，课件共40页，创作于2023年2月（3）定点数常见的机器码编码形式例：X=-0.101101，Y=+101101[X]原=1.101101，[Y]原=0101101[X]反=1.010010，[Y]反=0101101[X]补=1.010011，[Y]补=0101101三种编码方案简要比较：正数相同，负数有别。补码中“0”有唯一的机器表示；补码的最大优点在于其符号位可以与数值位共同参与运算而易于得到正确的补码结果。移码我们放在浮点数的内容中去了解。（4）定点数的表示范围表示数的范围非常有限-引入浮点数第27页，课件共40页，创作于2023年2月2、浮点数（1）浮点数的一般形式N=（R的E次幂）xM其中，N：要表示的浮点数；

R（Radix）：基数，常取2则N=2E*M；

M（Mantissa）：尾数，一般为定点小数；

E（Exponent）：阶码，一般为定点整数。可见，一个浮点数在机器中是用两个定点数表示第28页，课件共40页，创作于2023年2月浮点数的规格化:为充分利用尾数的有效位数,提高数据的表示精度,修改阶码同时左右移小数点,使尾数:1/2≤|M|<1浮点数与定点数的比较定点数:表示方法简单直观,但表示数的范围小.浮点数:表示的范围远比定点数大;运算过程中随时对中间结果的浮点数规格化,所以不易丢失有效数据,提高了运算的精度,但浮点运算教复杂.EsE1E2….EmMsM1M2….Mn阶符阶码数符尾数第29页，课件共40页，创作于2023年2月例1:写出二进制-110.0011在计算机中的浮点数形式.设阶码取4位补码,尾数是8位原码

解:-110.0011=-0.1100011*2+3

浮点数形式为001111100011阶符尾符浮点数举例第30页，课件共40页，创作于2023年2月浮点数举例

例2:计算机浮点数格式如下,

写出x=0.0001101B的规格化形式,

阶码为4位补码,尾数是8位原码

x=0.0001101=0.1101*2-3[-3]补=[-011]补=[1011]补=1101B

规格化浮点数形式是１１０１０１１０１０００第31页，课件共40页，创作于2023年2月（2）移码的说明移码，又名增码、余码，是原码、反码、补码后的又一种编码形式，通常用于表示浮点数的阶码。若定点整数移码形式为x0x1x2…xn时，移码的定义为：

[x]移=2n+X,

-2n≤X<2n

其中，X--真值，n--X数值位的位数。移码(增码)0-128+127负数正数机器数第32页，课件共40页，创作于2023年2月例：X=+10101，Y=-10101。n=5（数值位的位数）

[X]移=100000+10101=110101[Y]移=100000-10101=001011第33页，课件共40页，创作于2023年2月三、BCD码1、BCD编码：BinaryCodedDecimal，即二进制编码的十进制数，种类有很多，如Gray码、余3码、8421BCD码等。8421BCD码：用四位二进制数表示一位十进制数0-9。

0000-0，0001-1，…，1001-92、编码目的：以机器能表示与识别的二进制形式存在，又比纯二进制数（purebinary）更接近日常所习惯的十进制数。第34页，课件共40页，创作于2023年2月2.1.3非数值数据的表示-除数值数据以外的如文字、符号、图象、语言等。一、字符数据字符指字母、符号、控制字符等。按什么样的规则把字符表示成0、1形式是人为确定的。具体方案有多种，其中流行的是ASCII码，即AmericanStandardCodeforInformationInterchange，含四类128种字符。二、逻辑数据不带符号的一位二进制数。只有0，1两个值，代表两种成对的逻辑概念。不同于数学中0和1的数值概念。对