数值计算第六讲

数值分析与算法(6)NumericalAnalysis&Algorithms清华大学计算机系喻文健WenjianYu2第六章函数逼近与函数插值用较简单的函数近似表示未知函数、或已知的复杂函数逼近：整体上近似(整体误差最小)插值：离散自变量点上函数值相等(误差为0)本章内容函数逼近的基本概念连续函数的最佳平方逼近曲线拟合的最小二乘法多项式插值(拉格朗日,牛顿)分段多项式插值样条函数插值WenjianYu3函数逼近问题的例子

傅里叶变换,信号的频谱分析表格函数,曲线拟合WenjianYu4函数逼近的基本概念WenjianYu5函数逼近的基本概念

WenjianYu6函数逼近的基本概念

A

复内积则不同WenjianYu7函数逼近的基本概念

充分性的证明…矛盾!

WenjianYu8函数逼近的基本概念

(非负)(多项式可积)(无局部恒为零)(广义的2-范数)

不能做权函数WenjianYu9函数逼近的基本概念

WenjianYu10连续函数的最佳平方逼近WenjianYu11最佳平方逼近

n元二次函数

法方程方法

WenjianYu12最佳平方逼近

充分性的证明看书WenjianYu13最佳平方逼近

Hilbert矩阵6.2.2小节WenjianYu14正交函数族与正交多项式

正交

适合于任意线性空间

基的正交化WenjianYu15几种正交多项式名称定义域权函数表达式/递推公式勒让德

多项式[-1,1]切比雪夫多项式[-1,1]切比雪夫多项式-2[-1,1]拉盖尔多项式[0,+]埃尔米特多项式(-,+)

法方程的求解变得很简单,直接计算其他定义域的正交多项式有关习题We愧nj键ia瘦n捷Yu16曲线腊拟合饥的最剂小二文乘法We象nj港ia负n嚼Yu17曲线熔拟合纤问题最佳宝平方群逼近潮问题!实例思演示Ma坏tl冬ab战,骗Ex秆ce抬lWe抄nj或ia翻n饱Yu18线性孕最小羞二乘We模nj雨ia猾n族Yu19线性炉最小担二乘–法方莲程法算法6.班2We饭nj朵ia蚕n工Yu20线性各最小营二乘–法方跟程法(用多沙项式驴拟合指比较尾放心)用加权惰内积伐技术求解①①②We躁nj窑ia刻n衫Yu21线性走最小迅二乘–法方咽程法例6.丸5,象6错.6①②We拣nj茫ia洁n逢Yu22线性药最小伯二乘–正交那变换替法例6.摔7正交匆阵19浴65棋,晕G猪.腿Go报lu置b提出We售nj封ia搅n谋Yu23线性器最小类二乘–正交得变换砌法mnmmmnn列n行取等蜜号条萍件:数值盆稳定,实用We稻nj驰ia顺n会Yu24线性非最小刊二乘We席nj梅ia含n将Yu25多项犁式插献值We鸭nj志ia犯n圆Yu26插值唇与多教项式挡插值插值殃的基好本概府念为离盐散点俭配曲某线，晨并要枪求曲线通过各个拼离散边点一种丈特殊忧的“叶逼近樱”目的遥与用欣途MS牲W澡or驶d的曲惭线绘计制功辉能图形领学/C喝AD:画一条通过鸦离散点的秒光滑期曲线对表舰达式未知脑的表格棉函数,估算镰中间严点函坑数值快速纳、方广便地计算复杂秒数学港函数傲的函搞数值其他慕数值享方法赖的基羽础:简单函数镜近似复杂的或未知函数(非线绑性方程妥、数值根积分与微糖分、微女分方啄程数值爽解法)？We桌nj市ia件n撞Yu27插值晨与多冈项式齿插值定义6.夜6DF世TWe粘nj吐ia贞n踪蝶Yu28插值揪与多帽项式块插值解存赴在、谈唯一徐吗?(Va惹nd企er写mo暴nd僚e阵)Th助6.挖6We缓nj董ia雁n壳Yu29La疑gr蓝an毁ge插值沈法“两点富式”直线阁公式:不便福于计算、以巨及理论分析We枝nj盏ia宝n载Yu30La录gr膊an卷ge插值扫法(一个仇常用邻的技么巧)La竹gr摘an尘ge插值鹊函数We圾nj纸ia原n睁Yu31多项上式插而值误品差估赞计Ro叼ll占e定理至少励有n+丈1个互不拳相同孙的We防nj怀ia脏n码Yu32La扣gr右an挪ge插值文小结(例6.宁9)We闭nj异ia草n竹Yu33Ne绑wt棵on插值插值干多项投式“点斜贤式”直线帜公式:n个插值踢节点:

牛顿插值公式:怎么靠算?We捞nj似ia笼n疗Yu34Ne批wt乌on插值(为了兵方便顶地计饭算Ne防wt须on插值立系数)(递归展定义)Th灰6.慎8Th畅6.陷9We粪nj害ia众n露Yu35Ne扔wt功on插值有k-圣1个节削点相众同一阶差商二阶差商三阶差商(例6.充10遵)We追nj堆ia买n编Yu36Ne钱wt核on插值(多项色式插盐值余丽项的给另一阴种形虫式)插值巷余项We换nj粗ia正n震Yu37Ne兰wt查on插值计算裙复杂,速n较大时矩稀阵有障病态团性便于圣动态像增、烘减插值容节点思考碧题:比较两种插值法计算未知墓点处柜函数值的计算量We篇nj绞ia叛n与Yu38分段备多项称式插络值We玩nj点ia姐n笨Yu39插值肚与多森项式巷插值插值妨的基只本概际念为离馆散点同配曲油线，毛并要秆求曲线通过各个吸离散炼点一种组特殊烫的“靠逼近穴”目的护与用登途MS毅W狮or性d的曲牙线绘患制功田能图形扇学/C煎AD:画一条通过伸离散点的振光滑筹曲线对表帅达式未知械的表格壮函数,估算爸中间伴点函延数值快速粘、方传便地计算复杂温数学脸函数瓜的函岔数值其他鸦数值无方法垒的基浑础:简单函数蚀近似复杂的或未知函数(非线院性方程天、数值夹积分与微毛分、微造分方龙程数值伐解法)？We朗nj守ia盟n剖Yu40插值礼与多默项式砍插值定义6.勿6DF忍TWe掘nj咏ia钳n菜Yu41插值释与多也项式宫插值解存戏在、辱唯一熄吗?(Va柿nd解er是mo住nd棕e阵)Th姓6.谦6We甩nj眠ia啊n垄Yu42La读gr会an牙ge插值侧法“两点交式”直线墙公式:不便销于计算、以茧及理论分析We灾nj进ia汪n芬Yu43La锁gr巨an写ge插值刚法(一个富常用叼的技踢巧)La份gr起an惩ge插值弱函数We颤nj铃ia早n味Yu44多项尤式插炕值误统差估宫计Ro妨ll嘴e定理至少疲有n+战1个互不鞋相同慎的We廉nj拨ia脚n删Yu45La领gr挎an狼ge插值秘小结(例6.要9)We歌nj题ia肾n拆Yu46Ne擦wt笔on插值插值涉多项疏式“点斜艘式”直线恼公式:n个插值啦节点:

牛顿插值公式:怎么家算?We缎nj掏ia妨n壁Yu47Ne换wt此on插值(为了蜻方便举地计连算Ne冰wt昨on插值斥系数)(递归割定义)Th弹6.绩8Th臣6.惑9We叔nj遵ia菌n茧Yu48Ne陵wt疏on插值有k-统1个节药点相寻同一阶差商二阶差商三阶差商(例6.饼10依)We罗nj茎ia撒n好Yu49Ne降wt妥on插值(多项呜式插辜值余贵项的距另一减种形厦式)插值搞余项We身nj雅ia氧n核Yu50Ne赢wt混on插值计算悼复杂,笼n较大时矩芒阵有华病态混性便于盈动态非增、繁减插值者节点思考醉题:比较两种插值法计算未知址点处酸函数值的计算量We闲nj悼ia皆n汇Yu51分段若多项皱式插泉值We策nj蚊ia邮n惭Yu52高次并多项轰式插译值的传问题收敛菜性差保凸奴性差有多脉余拐侵点(起伏),违背鸦曲线市的凸性(单调吃性)数值姜稳定闸性差单个多项搬式满足所有捡的插床值要求,光滑扑性好沸、易种于理糟论分军析Ru贵ng绪e现象::某个企插值坛点函北数值短的误唯差,会影惩响整流个区脂间并非多项活式的关次数n越高,其逼术近程度瓶就越质好问题愤本身蝇的病团态性演示阅模块6.宋2We从nj届ia焰n根Yu53分段附线性论插值1时略读去)We持nj利ia劫n傅Yu54分段衣线性闸插值其中Th位6.和10:We私nj敬ia文n托Yu55He染rm涨it寒e插值飞与分使段He坐rm爆it物e插值称为He糟rm门it趣e桌(埃尔本米特)插值盈多项奸式思考锻题:如何票证明?We弄nj兵ia图n校Yu56He炼rm痰it荣e插值锅与分访段He纳rm拥it总e插值He冠rm碍it假e插值基函知数特殊中埃尔危米特忧多项锈式的贩构造验证渐它们!We险nj俗ia碍n参Yu57He配rm朽it松e插值瓶与分戒段He柱rm葛it咱e插值两点蔽三次埃尔诵米特遇插值棒多项戒式n=此1情况睛下的He雅rm坐it吓e插值基函夏数:验证腾与推导?整体伤上一雀阶导王数连馅续We峡nj稀ia牛n莲Yu58He倚rm抚it寨e插值战与分戴段He版rm迫it会e插值分段不三次埃尔子米特沿插值整体病基函竟数时略欲去)

011.局部非零的性质2.整体吐的收想敛性We大nj闯ia妙n历Yu59保形旋分段印插值(s寨ha伶pe蜂-p勉re伸se感rv停in槽g)否则叉取调峰和平用均,We凡nj退ia权n碌Yu60保形勒分段阿插值(s麻ha插pe心-p肥re漠se赶rv够in坡g)Wo术rd中的桨曲线绘制?We裙nj我ia握n杨Yu61样条但函数醉插值We迎nj貌ia场n疮Yu62三次多样条砖插值二阶驾导数兵连续We老nj肤ia它n汁Yu63三次狼样条具插值前面发已经得到2n+2(n-1且)=4n-2个方程程,还缺2个方土程！左导咸数=右导宋数

We场nj矮ia酷n呼Yu64三次贩样条夜插值(n坟ot紧-a奇-k音no爹t条件,寨Ma辜tl判ab中sp堂li列ne函数)三次欢样条径插值鲁函数贺的构半造介绍挣第②种垦方法We城nj岭ia码n晓Yu65三次心样条捐插值①以躺节点溜上一爬阶导北数值蚕为参数椅列分段He劲rm寒it世e公式,再定泛参数②以策节点主上二鸟阶导劲数值隶为参枣数,根据姥插值忆条件比确定不它们做两事次积逼分,得三次泳样条矿插值糖函数雕的构线造We遥nj锋ia稍n唤Yu66三次想样条活插值We眉nj驳ia炭n赵Yu67三次车样条材插值…未知刷量为怕位移土的二兔阶导数,在力学长上的以意义为”弯矩”(“三弯矩”方程)严格矛对角玩占