黄昆版固体物理学课后答案解析答案

:Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删=《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目口和小球体积V所得到的小球总体积nVnV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x=-VVc（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）4a=2r，V=—兀r3，Vc=a3，n=1344兀r3 兀r3TOC\o"1-5"\h\z« 3 3兀।..x= = =-=0.52a3 8r3 64\:3（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=v3a=4rna= x3n=2,Vc=a34 4c2x—兀r32x—兀r3 ：3；.x= 3 = = =--k~0.68a3 4.；3「 8（―r）3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=、；2a=4r,na=2v2rn=4，Vc=a3444x—Kr3 4x—Kr3=—00.746Y3 3=—00.746a3(2v2r)3x= a3(2v2r)3（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6xSaabo=6x勺"=323a2‘8・一-‘8・一-『一a=3V2a3=24七2r3\3晶胞的体积：V=SxC=—a2x2TOC\o"1-5"\h\zn=1212x-+2x-+3=6个6 2乙4 .6x3Kr3 <2x= =——= 兀~0.742442r3 6（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=t3a=4x2rna=-8L<3n=8,Vc=a3二二二二二二二二Word行业资料分享一可编辑版本--双击可删====二二二二二二二二Word行业资料分享一可编辑版本--双击可删====8x—兀r3

38x—兀r3

3a383-^r33V3v'3k6出0.341.2、试证：六方密排堆积结构中c=(8)1/2出1.633a3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、。的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO构成一个正四面体。…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)：〈4=2G+k)

a=a(i+k)2 2〃/:,「、a——(i+J)3 22兀-—、由倒格子基矢的定义：b―7r(a-xa-)入aa0,—,—2 2i,j,ka aa3 _faaaa2/- -•・•。―a•(axa)=-,0,-———，axa——,0,————(—l+]+k)1 2 32 24 2 3 2 2 4aaaa入—,—,0—,—,02 22 21234b=2兀x——xa3a2Z-i 2\ 2兀 r-i丁、(—l+J+k)= (_i+J+k)4 a- 2兀---b——(i-j+k).一2a同理可得： 八 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。2兀-b——(i+j-k)3a所以，面心立方的倒格子是体心立方。a1=2(-l+j+k)(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)：〈a=ai-j+k)2 2a=a(i+j-k)3 2==Word==Word行业资料分享--可编辑版本-双击可删二二二二==Word==Word行业资料分享--可编辑版本-双击可删二二二二由倒格子基矢的定义片不%”)aaTOC\o"1-5"\h\z2， 2\o"CurrentDocument"*.*Q—a•(axa)=—,一_1 2 3 2 2\o"CurrentDocument"a a~, ,2 2\o"CurrentDocument"2a2s2\ 2兀 -t\o"CurrentDocument":.b—2兀x一x一(j+k)———(j+k)1 a3 2 a- 2兀--b———(i+k)一，一2a同理可得： c 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。-2兀-b———(i+j)3a所以，体心立方的倒格子是面心立方。证明倒格子矢量G—hb+hb+hb垂直于密勒指数为(hhh)的晶面系。11 22 33 123证明:证明:aa—Xh'3G—hb+hb+hb11 22 33G•CA=0利用a•b―2而，容易证明Jh2h3一jj G-CB=0h1h2h3TOC\o"1-5"\h\z所以，倒格子矢量G=hb+hb+hb垂直于密勒指数为(hhh)的晶面系。11 22 33 123对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,kJ)的晶面系，面间距d满足：d2=a2；'(h2+k2+12)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：a±a±a，a=ai,a=aj,a=ak12 3 1 2 3axa axa axa由倒格子基矢的定义：b=2兀二七一十，b=2兀=七一匕，b=2兀_二2一1a•axa2a•axa3a•axa1 2 3 1 2 3 1 2 3====Word====Word行业资料分享―可编辑版本--双击可删========Word====Word行业资料分享―可编辑版本--双击可删====,，尸2兀-尸 2兀r尸2兀尸倒格子基矢：夕二丁“二"j'=-k一.二 .「 ： 一，2兀一.2兀一.2兀一倒格子矢量：G=hb+kb+lb,G-h——i+k——j+1——k1 2 3 aaa晶面族（hkl）的面间距:,2兀 1d—।,— —G h、人J、()2+(—)2+(—)2.■aaaa2d2- (h2+k2+l2)面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。第二章固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（a-21n2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。〈解〉设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有a_£，（±1）_2「1_1 1_1t 2[— + — +…]rrr2r3r4rjij前边的因子2是因为存在着两个相等距离厂的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和i后要乘2，马德隆常数为111a—2[1——+———+...]234X2X3 x4((1+X)-X———+—————+n X3 4...当X=1时，有1—1+1—1+...=/2234n/.a-2/2n、若一晶体的相互作用能可以表示为（、aPu（r）————+——rmrn试求：（1）平衡间距r；0（2）结合能卬（单个原子的）；（3）体弹性模量；（4）若取m-2,n-10,r-3A,W-4eV，计算a及P的值。0解：（1）求平衡间距r0du（r）由—：— -0，有：drr-roWordWord行业资料分享--可编辑版本--双击可删WordWord行业资料分享--可编辑版本--双击可删V’nV’n-mIn07man0rm+1 rn+10 0.结合能：设想把分散的原子(离子或分子)结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能(用w表示)(2)求结合能w(单个原子的)题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即umina即：W=-U(r)=+一rmrn

00

(可代入r0值，也可不代入)(3)体弹性模量由体弹性模量公式:r2—0—9V07r0(4)m由体弹性模量公式:r2—0—9V07r0(4)m=2，n=10w=4eV求a、100aU(r)=———+0 r204ario=50代入)

anW=—U(r)=

04a二4eV将r=3A,1eV=1.602x10-19J代入①②0a=7.209x10-38N•m2n0=9.459x10-115N•m2(1)平衡间距r0的计算晶体内能U((1)平衡间距r0的计算晶体内能U(r)=N(-三+22rm rndU平衡条件丁drr=r0(2)单个原子的结合能man0八 +——=0rm+1

0rn+10r=(型)亡

0 ma(-二+2(-二+2rm rnr=(鸣亡

0 mar=r=r0 ..P2。、（3）体弹性模量K二（可）晨匕晶体的体积V=NAr3,A为常数，N为原胞数目♦、N/aB、晶体内能U(r)=—(——十)2rmrndUdUdrNmanP 1 = = ( - ) dVdrdV2rm+1rn+13NAr2d2UNdrdmanP 1 [( - ) 2dVdrrm+1rn+13NAr2a2U29V2m2a+n2PV=V°由平衡条件a2UV=V)V=V0N129V22rm+1m2armrnrna2U29V2m2a+n2PV=V°由平衡条件a2UV=V)V=V0N129V22rm+1m2armrnrn+1manP—+一rmrn001-）二rn0=0，0]nPmarmrna2UN129V2[一mmarmrnV=V)rmrna2Umn9V2(-u)V=V)mn体弹性模量K二U019VNnm29V2rmrn((4)若取m=2,n=10,—ama(m)(n—ama(m)(nPL

(1)( )n-mma=—r10a=r2[A+2W]0r10P=P=1.2义10-95eV-m10，a=9.0义10-19eV-m2第三章固格振动与晶体的热学性质：：Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删：：Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删11 = (211 = (2〃〃)q]3.2、讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为〃)，其2N个格波解，当加二加时与一维单原子链的结果一一对应。解：质量为/的原子位于2n-l,2n+l,2n+3……；质量为加的原子位于2n,2n+2,2n+4……。-E根口=—0(2口—N—R)

牛顿运动万程2〃D2〃+l 2n-l]\dpl =—p(2|Ll —|"1 —|LL)2Ti+l 2Ti+l2n+22nN个原胞，有2N个独立的方程代回方程中得到设方程的解2n代回方程中得到|L1 = (2〃+l)〃q]271+1(2P-m(B2)A-(2Pcosaq)B=0-(2pcosaq)A+(2p-Mg)B=0A、5有非零解,2p-mCD2-2pcosaq-2pcosaq

20-M32TOC\o"1-5"\h\z(m+M) 4mM 1、32M一丁{即一而即81"2a]2}1sin2aq]2}1sin2aq]2}32=p-——^{1+[1-3__—+mM (m+M)2两种不同的格波的色散关系isin2aq]2}(misin2aq]2}32=P2 -{1-[1 -mM (m+M)2一个q2N.14Paq3=cosv

+ \m2当M=m时，邓'.aq3=sin—-m2两种色散关系如图所示：qa、qa长波极限情况下qf0,sin(今~卜,3=(2 )q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为P和10P，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为。/2。试求在q=0,q=〜a处的3(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。XCHOOXW2 2n-32n-l2ii+i211T答：⑴浅色标记的原子位于2n-1,2n+1,2n+3……；深色标记原子位于2n,2n+2,2n+4第2n个原子和第2n+1个原子的运动方程：m[l=—(0+0)旦+p^ +0N2n 1 22n 22n+1 12n-1m[l=—(0+0)旦+0N+0N2n+l 1 22n+1 12n+2 22n体系N个原胞，有2N个独立的方程N方程的解：2N方程的解：2n=Ae[31-(2n)2aq]令32=0/m,32=0/m，将解代入上述方程得:N=^^[31-(2n+1《aq]2n+1TOC\o"1-5"\h\z.1 .1(32+32-32)A-(32e2aq+32eT2做)B=01 2 1 2.1 .1(32eT2aq+32e2aq)A-(32+32-32)B=01 2 1 2A、B有非零的解，系数行列式满足：.1 .1(32+32-32), -(32e2aq+32eT2的)1 2 1 2.1 .1(32eT2aq+32e2aq),-(32+32-32)1 2 1 2.1 .1 .1 .1(32+32-32)2-(32e2aq+32eT2aq)(32eT2aq+32e2aq)=01 2 1 2 1 2.1 .1 .1 .1(32+32-32)2-(32e2aq+32eT2aq)(32eT2aq+32e2aq)=01 2 1 2 1 2c 10c -因为0=0、0=100，令32=32=—,32= =1032得到1 2 0 1m2m0(1132-32)2-(101+20cosaq)34=0两种色散关系：32=32(11±j20cosqa+101)当q=0时，32=32(11±1121)，3+32=32=32(11±间)，0当q=-时，aWordWord行业资料分享--可编辑版本--双击可删WordWord行业资料分享--可编辑版本--双击可删==Word==Word行业资料分享--可编辑版本-双击可册U===(2)色散关系图:设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有3（q）=3。-Aq2求证：f（3）=V—1—（3-3）/2,3<3;f（3）=0,3>3.4兀2A3/2 0 0… 0〈解〉3>3时，3-3=Aq2>0f（3）=0,3V0n3-3=Aq2nq=A2（3—3）20 0 0 0Vfds 依据V3（q）=-2Aq,f（3）=-7 r-Jj —，并带入上边结果有q （2兀6V3（q）1qds V1 A1/2V1/ 1=7 x- 4兀\3—3/y —=-7 X—, \3-3»/2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V3（q） （2兀）2A2 0 （3-3）/2 （2兀AA3/2 0q1 0有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比证明：在k到k+dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n+dn间圆环的面积2兀ndn,且\o"CurrentDocument"2兀ndn=——kdk=——kdk艮^p（3）= d3贝|2兀 2兀 2兀v2p3s3sJ3,2兀v20

p（，八2 （，八力3 ,力33s廉T}J①力]TTJ [TT,\o"CurrentDocument"B 3D B B2兀v2力2D e3/kT-1p3s（kT） x2dx B XD 2兀v2力2Dex-1pExT，.tC=（——）xT2

v ats第四章能带理论根据k=±-状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数W及W?,并说明它们的特性.说a 一+ 一+明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布*|2说明能隙的来源(假设Vn=V*)。简并微扰波函数为W=*(简并微扰波函数为W=*(x)+笔(x)<解>令k=+—,k=—一a a[E0（k）-E]A+V*B=0

VA+[Eo(^0-E]b=O带入上式，其中石=Eo(k)+\V|V(x)<0,V<0,从上式得到8=仄,于是nXsm——x取£=£,E=£o(^)-|y||V|A二—V5,得到A=5nXsm——x取£=£,E=£o(^)-|y||V|A二—V5,得到A=5n由教材可知，中及平均为驻波.,rm c2兀波矢左=——时，电子波的波长)=丁a k2A〃兀——xa在驻波状态下，电子的平均速度v(左)为零.产生驻波因为电子0—,恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与n反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。,兀写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=L2,3)中，简约波数左二丁的0级波函数。2。＜解＞^*。0= £ikx= 4l＜解＞^*。0= £ikx= 4l4T一.2jl“73mxe欣ea工2jl/x/mxela・ea1.2jl-—ea4l第一能带:第二能带:2兀b=b'^Ab'——a2兀第一能带:第二能带:2兀b=b'^Ab'——a2兀即小=—1,(aJL_).2*(x)=kxe2a第三能带:=-，即爪=1,\|/*(X)=el2aX71m--=0,m=0,V*(x)=2a 卜43、电子在周期场中的势能.==Word==Word行业资料分享-可编辑版本--双击可删======Word==Word行业资料分享-可编辑版本--双击可删====：：Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删2-m32[b2一(x一na)2],当na一b<x<na+b<a<na一bV(x)V(x)=其中d=4b,3是常数.试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度.＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示.V(x)=-JaV(x)dx=-Ja-bV(x)dx题设a题设a=4b故积分上限应为a一b=3b,但由于在tb,3b］区间内V(x)=0,故只需在Lb,b］区间内积分.这时，n积分.这时，n=0，于是V=IJV=IJbV(x)dx=m32Jb(b2一x2)dx=a一b 2a一bm321b2xb——x3b2a-b3一b=-m3b2。6(3),势能在［-2b,2b］区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V(x)=V+£0(3),势能在［-2b,2b］区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V(x)=V+£0m二一8，Vcosmm~x,V=—J2bV(x)cosm~xdx=-JbV(x)cosm^-xdx2b m2b0 2bb0 2b第一个禁带宽度Eg-二2|V|,以m=1代入上式E=m3之Jb(b2-x2)cos巴dx

1i1 g- bo 2bu利用积分公式Ju2cosmudu=一16m32(musinmu+2cosmu)]——sinmu得m3b2第二个禁带宽度E=2VI，以m=2代入上式代入上式g2 2m32f, 兀x,E=——J(b2-x2)cos--dx再次利用积分公式有g2 bo b2m32b2兀2解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成:Es(k)=8-J— J(R)e-汝(&)TOC\o"1-5"\h\zs0 s心=近邻在面心立方中，有12个最近邻，若取尺=0,则这12个最近邻的坐标是：m\o"CurrentDocument"乙 乙 乙 乙\o"CurrentDocument"②£(0,1,1)((0,l,T)((0,T,1)((0,T,T)乙 乙 乙 乙\o"CurrentDocument"乙 乙 乙 乙由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此/(左)有相同的值，简单表示为sJ=J(R)。又由于s态波函数为偶宇称，即①(-r)=<p(r)1s s s・•.在近邻重叠积分—/(衣)」①喈—衣)］。化)—V(衣)l(p(m)数中，波函数的贡献为正s i sL s」力・・・6〉0。于是，把近邻格矢尺代入Es出)表达式得到：s sEs也)=亡—J—J e-ik-RsS0 1 '&=近邻TT〃—产(k+k)I〉-i0(k~k),〃—产(—左+k),〃—产(—左-k)二匕—J—Je2* 2*—+e2 */+e2%ys0 1cos—(k+%)+cos—(k-k)+cos—(k+左)+cos—(k-k)

2xy 2%y」|_2yz 2yz〃一，(k+k)IQ—i(k—k)IQ—i(—k+k)।n—i(—k—k).n—i(k+k)।〃一产(左—k)।〃一，°(—左+k)।〃一产(一左—k)

十62ycos—(k+%)+cos—(k-k)+cos—(k+左)+cos—(k-k)

2xy 2%y」|_2yz 2yz-8—J—2J<~s0 1cos—(k+k)+cos(左-k2Z% zXJcos(a+0)+cos(a-P)=2cosacosP二£-J—4/so1ara7arararaT

cos—上cos—左+cos—kcos—左+cos—左cos—二£-J—4/so12% 2y2y2z2 2%(2)对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是:====Word====Word行业资料分享―可编辑版本--双